小学北师大版（2024）圆周率的历史优秀课时练习

这是一份小学北师大版（2024）圆周率的历史优秀课时练习，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
圆周率是怎样被一步一步算出来的？我们学过的周长与除法知识，能帮我们读懂这段数学历史吗？
一、学习目标
1. 了解圆周率的探索历史，知道“圆的周长总是直径的3倍多”，理解周长÷直径的结果是一个固定的数（圆周率）
2. 能说出阿基米德、刘徽、祖冲之等数学家探索圆周率的主要方法与结果（约率、密率、3.14、3.1415926～3.1415927等），会用表格或时间线整理史料
3. 感受数学家坚持不懈的探索精神和我国古代数学的成就，能用学过的周长知识解释圆周率，体会数学的文化价值
二、重点
• 圆周率是圆的周长与直径的固定比值，圆的周长总是直径的3倍多
• 圆周率近似值的演进线索：测量→正多边形逼近→割圆术→祖冲之的约率与密率→电子计算机
三、难点
• 理解“用正多边形逼近圆”和“割圆术”的数学思想，体会“精确程度取决于测量（计算）的精度”的含义
学习支架
圆周率探索对照表
圆内接正六边形示意图（边数越多，越接近圆）
阅读数学史料三步法
1. 圈出时间词和人物
2. 找出方法和结果
3. 列表或排序作比较
四、知识要点
1. 从“轮子滚多远”到“周长总是直径的3倍多”
问题从哪里来：轮子是古代的重要发明。由于轮子的普遍应用，人们很容易想到这样一个问题：一个轮子滚一圈可以滚多远？滚一圈的距离就是车轮的周长，轮子越大滚得越远——那么，滚的距离与轮子的直径之间有没有关系呢？最早的解决方案是测量。许多人多次测量之后发现：圆的周长总是它的直径的3倍多。也就是说，无论圆是大是小，用圆的周长÷圆的直径，得到的倍数总是大约3倍多，这个固定的倍数就是圆周率。测量法有局限：圆周率的精确程度取决于测量的精确程度，而许多实际困难（比如绳子是否拉直、读数是否准确）限制了测量的精度。因此，数学家们一直在寻找比测量更精确的方法。联系已学知识：我们学过圆的周长 C=πd（或 C=2πr），把它变形就是周长÷直径＝圆周率。教材第24页说的“圆的周长总是它的直径的3倍多”，正是这个固定的比值。
2. 阿基米德的正多边形逼近（公元前3世纪）
公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。这一发现提供了计算圆周率的新途径。阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形，从两个方向上同时逐步逼近圆，获得了圆周率的值介于 22371 和 227 之间。“内外夹逼”的思想：内接正多边形在圆的里面逼近，外切正多边形在圆的外面逼近，一里一外把圆“夹”住，圆周率就被限制在一个范围里；边数越多，这个范围越窄，结果越精确。这就是数学中重要的“逼近”思想，它把“测量”推进到了“计算”，是圆周率精确化的关键一步。
3. 刘徽的“割圆术”
在我国，首先由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了更精确的圆周率。他采用“割圆术”，一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14。割圆术的做法：用圆内接正多边形逐步逼近圆。正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆，用它代替圆来计算，得到的结果就越接近圆的周长，圆周率也随之越来越精确。3.14这个近似值影响深远：它是圆周率最常用的近似值，每年3月14日也因此成为国际数学日。
4. 祖冲之的贡献：约率与密率
1500多年前，我国南北朝时期科学家祖冲之进一步改进了刘徽的结果，得到了π的两个分数形式的近似值：约率为 227，密率为 355113，并且算出π的值在3.1415926和3.1415927之间。这一成就在世界上领先了约1000年。“约”与“密”的区别：约率 227≈3.1429，比较粗略；密率 355113≈3.1416，与π≈3.1415926一致到小数点后第6位，精确得多。从约率到密率，是祖冲之在刘徽3.14的基础上又向前迈进的一大步。祖冲之的成果是我国古代数学对世界的重要贡献，领先世界约1000年，体现了我国古代科学家的智慧和毅力。
5. 方法的突破与现代计算
用正多边形逼近圆，计算量很大，再向前推进，必须在方法上有所突破。随着数学的不断发展，人类开始摆脱求正多边形周长的繁难计算，求圆周率的方法也日新月异。电子计算机的出现带来了计算方面的革命，π的小数点后面的精确数字越来越多。2024年，圆周率已经可以计算到小数点后约105万亿位。从“周长总是直径的3倍多”，到精确到约105万亿位，人类探索了两千多年。数学与文化：每年3月14日是国际数学日，因为3.14是圆周率最常用的近似值；有人把圆周率的数字对应到和声小调音阶，写成了乐谱并弹奏出来，从中听到了数学之美。数学不仅是精确的计算，也是一种语言和艺术。
五、典型例题
【例1】
示范任务1（信息提取）：阅读教材第24页前两段，说一说：人们最早是怎样发现“圆的周长与直径有关系”的？
【解答】步骤一：找问题。文中提出的问题是“一个轮子滚一圈可以滚多远？滚的距离与轮子的直径之间有没有关系呢？”
步骤二：找方法与过程。最早的解决方案是测量——许多人经过多次测量。步骤三：找结论与局限。结论：圆的周长总是它的直径的3倍多；局限：圆周率的精确程度取决于测量的精确程度，许多实际困难限制了测量的精度。完整表述：人们最早通过多次测量发现，圆的周长总是它的直径的3倍多；但测量得到的圆周率不够精确，精确程度取决于测量的精确程度。
【点拨】阅读数学史料用三步法：①圈出时间词和人物；②找“用了什么方法”；③找“得到什么结果”，最后用自己的话连起来说一遍。
【例2】
示范任务2（数据比较）：祖冲之得到约率 227 和密率 355113。用分数除法算一算：这两个数各约等于多少（保留到小数点后4位）？哪一个更接近π（π≈3.1415926）？
【解答】① 227＝22÷7≈3.1429（实际是3.142857…）
② 355113＝355÷113≈3.1416（实际是3.1415929…）
③ 逐位比较：227≈3.1429与3.1415926从小数点后第3位起就不同（3.142…对3.141…）；355113≈3.1416与3.1415926一致到小数点后第6位，第7位才不同。④ 结论：密率 355113 比约率 227 精确得多，与“密率”的名称相符。祖冲之把π的值框在3.1415926和3.1415927之间，精确到小数点后第7位，这一成就在世界上领先了约1000年。
【点拨】比较两个近似值谁更精确，要看它们与真值（或更精确的近似值）从第几位小数开始不同；位数相同的，从高位往低位逐位比较。
【例3】
示范任务3（时间线梳理）：教材讲的圆周率历史分成了几个阶段？把“时代、人物、方法与结果”串成一条时间线。
【解答】① 圈时间词：公元前3世纪（阿基米德）→魏晋时期（刘徽）→南北朝时期、1500多年前（祖冲之）→2024年（电子计算机）。② 按时间先后排列：公元前3世纪·阿基米德：用圆内接、圆外切正多边形同时逼近圆，π介于 22371 和 227 之间；魏晋时期·刘徽：割圆术算到圆内接正192边形，得到3.14；南北朝·祖冲之：改进刘徽的结果，约率 227、密率 355113，π在3.1415926与3.1415927之间；现代·电子计算机：2024年算到小数点后约105万亿位。③ 串成时间线：测量发现→正多边形逼近→割圆术→约率与密率→电子计算机，这就是圆周率的探索历程。
【点拨】读史料先抓时间词，再用“时间线”把分散的信息串成整体，比零散记忆更牢固。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 许多人多次测量之后发现：圆的周长总是它的直径的（________）倍多。
2. 我国现存有关圆周率的最早记载，出自2000多年前的《（________）》。
3. 阿基米德发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆。（ ）
4. 阿基米德只用圆内接正多边形从圆的里面逐步逼近圆。（ ）
5. 刘徽采用“割圆术”，一直算到圆内接正（________）边形，得到圆周率的近似值是（________）。
6. 祖冲之算出π的值在（________）和（________）之间，这一成就在世界上领先了约（________）年。
7. 祖冲之得到的密率是 227。（ ）
8. 按时间先后给下列事件排序（只填序号）：① 祖冲之得到约率 227 和密率 355113
② 阿基米德用正多边形从两个方向逼近圆
③ 电子计算机把π算到小数点后约105万亿位
④ 刘徽用“割圆术”得到3.14
正确顺序：（________）→（________）→（________）→（________）
★★ 能力提升
9. 下面关于“割圆术”的说法，正确的是（________）。
A. 割圆术是用尺子直接测量圆的周长
B. 割圆术是用圆内接正多边形逐步逼近圆
C. 割圆术是电子计算机计算圆周率的程序
D. 割圆术是用圆外切正多边形单独计算圆周率
10. 教材开头问：“一个轮子滚一圈可以滚多远？”一辆自行车的车轮直径是70厘米。如果π取3.14，车轮滚动一圈大约前进多少厘米？
11. 一个圆形花坛的周长是62.8米，直径是20米。（1）这个花坛的周长是直径的多少倍？（2）如果把花坛按同样形状放大：直径40米，周长125.6米。放大后周长是直径的多少倍？这个倍数变了吗？这说明了什么？
12. 阿基米德得出：圆周率的值介于 22371 和 227 之间。用竖式或计算器算出这两个分数的近似值（保留3位小数），再判断：π≈3.1415926是不是真的在这两个数之间？
13. 阅读教材第24、25页，完成下面的《圆周率探索对照表》，把“时代、人物/工具、方法、结果”分别填进空行。（文中出现的阶段有：阿基米德、刘徽、祖冲之、电子计算机）
圆周率探索对照表（我来填写）
14. 电子计算机出现以前，人们只能靠测量得到圆周率。（ ）
★★★ 拓展延伸
15. 制作一张“圆周率小资料卡”。卡片上要写清三部分内容：①圆周率是什么（用一句话说明，可结合“周长÷直径”）；②你最感兴趣的一位数学家和他的研究成果；③一条关于圆周率的“小知识”（如国际数学日、π与音乐）。写好后和小伙伴交流。
16. 教材说：“用正多边形逼近圆，计算量很大，再向前推进，必须在方法上有所突破。”议一议：为什么祖冲之以后很长一段时间进展缓慢，而电子计算机出现后π的位数突飞猛进？把你的想法写下来，至少写2条。
17. 不用现成的数据，你能自己想办法“发现”圆的周长与直径的关系吗？请你设计一个测量方案：用什么工具、怎样测量一个圆形物体的周长和直径，怎样算出“周长÷直径”的商，预计会发现什么。把方案写下来。
参 考 答 案
第1题：3
【解析】教材第24页：人们多次测量后发现，圆的周长总是它的直径的3倍多。[错因:知识]
第2题：周髀算经
【解析】教材第24页：我国现存有关圆周率的最早记载是2000多年前的《周髀算经》，用的方法是测量。[错因:知识]
第3题：√
【解析】教材第24页：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。[错因:知识]
第4题：×
【解析】阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形两种图形，从两个方向上同时逼近圆。[错因:知识]
第5题：192；3.14
【解析】教材第24页：刘徽采用“割圆术”一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14。[错因:知识]
第6题：3.1415926；3.1415927；1000
【解析】教材第25页：祖冲之算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，这一成就在世界上领先了约1000年。[错因:知识]
第7题：×
【解析】约率才是 227，密率是 355113。两个分数不要记反。[错因:知识]
第8题：②→④→①→③
【解析】教材中的时间线索：阿基米德在公元前3世纪，刘徽在魏晋时期，祖冲之在1500多年前的南北朝时期，电子计算机时代是2024年。[错因:理解]
第9题：B
【解析】教材第24页说，刘徽采用“割圆术”，用圆内接正多边形逐步逼近圆，一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值3.14。A把割圆术说成测量，C把它说成计算机程序，都与教材不符；D只提圆外切正多边形，而刘徽用的是圆内接正多边形（圆外切正多边形是阿基米德用到的方法之一）。[错因:知识]
第10题：车轮滚动一圈前进的距离就是车轮的周长。已知直径 d＝70厘米，π取3.14。C=πd＝3.14×70＝219.8（厘米）
答：车轮滚动一圈大约前进219.8厘米。
【解析】车轮滚动一圈所走的距离等于车轮的周长，用周长公式计算：3.14×70＝219.8。这也印证了“圆的周长总是直径的3倍多”——219.8厘米正好是70厘米的3.14倍。[错因:方法]
第11题：（1）62.8÷20＝3.14，周长是直径的3.14倍。（2）125.6÷40＝3.14，还是3.14倍，倍数没有变。这说明：任意圆的周长总是它直径的3倍多，周长÷直径的比值是一个固定的数（圆周率），与圆的大小无关。
【解析】两问都用“周长÷直径”求倍数。花坛放大后，周长和直径按同样比例变大，相除的结果不变——这正是“圆的周长总是它的直径的3倍多”的含义：圆周率对任何圆都成立。[错因:理解]
第12题：22371＝223÷71≈3.141（实际为3.1408…）
227＝22÷7≈3.143（实际为3.1428…）
3.1408… ＜ 3.1415926 ＜ 3.1428…
所以π≈3.1415926确实介于 22371 和 227 之间，阿基米德的结论是正确的。
【解析】把分数写成除法算出小数，再与π逐位比较大小。阿基米德用内接、外切两种正多边形把π“夹”在中间，验证表明这个范围是正确的——这就是“逼近”思想的作用。[错因:方法]
第13题：① 阿基米德（公元前3世纪）：用圆内接正多边形和圆外切正多边形同时逼近圆；得到π的值介于 22371 和 227 之间。② 刘徽（魏晋时期）：采用“割圆术”，用圆内接正多边形逐步逼近圆，算到圆内接正192边形；得到圆周率的近似值3.14。③ 祖冲之（南北朝时期，1500多年前）：进一步改进了刘徽的结果；得到约率 227、密率 355113，π的值在3.1415926和3.1415927之间。④ 电子计算机（现代）：摆脱求正多边形周长的繁难计算；2024年算到小数点后约105万亿位。
【解析】填表时先圈出文中的时间词（公元前3世纪、魏晋时期、南北朝时期、2024年），再分别找人物、方法和结果。这张表把整课的史料压缩成一条清晰的探索线索。[错因:方法]
第14题：×
【解析】测量只是最早的解决方案。教材还介绍了另外两种方法：阿基米德用正多边形逼近圆，刘徽用割圆术。[错因:知识]
第15题：示例：① 圆周率是圆的周长除以直径所得的固定比值，约等于3.14。② 我最感兴趣的是祖冲之：他得到约率 227 和密率 355113，算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，领先世界约1000年。③ 每年3月14日是国际数学日，因为3.14是圆周率最常用的近似值。
【解析】讲评要点：①“周长÷直径”是判断圆周率概念是否理解的关键；②数学家与成果必须来自本课教材（阿基米德、刘徽、祖冲之三选一即可）；③小知识可以是国际数学日、把π的数字谱成乐曲等教材提到的内容。信息准确、表达完整即可，允许个人化表述。[错因:理解]
第16题：示例：① 祖冲之时代全靠手算，边数越多、计算量越大，人力很难继续推进；② 电子计算机计算又快又准，还能自动连续计算，所以π的小数位数快速增长；③ 从“3倍多”到3.14，再到3.1415926～3.1415927，每前进一步都靠方法上的突破，说明方法和工具对科学发展很重要。
【解析】讲评要点：学生能说出“计算量大、人力有限”与“电子计算机速度快、精度高”的对比即可；能进一步点出“方法突破推动进步”更好。答案开放，重在结合教材谈感受，不要求统一表述。[错因:理解]
第17题：示例：① 工具：软尺（或绳子＋直尺）、圆形物体（如水杯盖）。② 测量周长：用绳子绕杯盖一圈，量出绳子的长度；或让杯盖在纸上滚一圈，量出滚过的距离。③ 测量直径：用直尺量出过圆心的最长的距离，多量几次取平均。④ 计算：周长÷直径，得到的商大约是3.14。⑤ 发现：圆的周长总是它直径的3倍多，与教材第24页的发现一致。
【解析】讲评要点：方案须包含“工具—测量—计算—结论”四要素；滚动法与绕绳法均可；多量几次取平均能减少误差，正对应教材“圆周率的精确程度取决于测量的精确程度”这句话。[错因:方法]阶段
时代
人物/工具
方法
结果
测量发现
2000多年前
古人
多次测量
圆的周长总是直径的3倍多
正多边形逼近
公元前3世纪
阿基米德
圆内接、圆外切正多边形同时逼近圆
π的值介于 22371 和 227 之间
割圆术
魏晋时期
刘徽
用圆内接正多边形逐步逼近圆，算到正192边形
圆周率的近似值是3.14
约率与密率
南北朝时期（1500多年前）
祖冲之
进一步改进刘徽的结果
约率 227、密率 355113；π在3.1415926和3.1415927之间，领先约1000年
现代计算
2024年
电子计算机
摆脱求正多边形周长的繁难计算
算到小数点后约105万亿位
时代
人物/工具
方法
结果