冀教版（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.5 数据的分类优秀一课一练

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本课核心问题
面对一组数据，按什么原则、用什么方法把它分成几个层次，才能既合理又可计算？
一、学习目标
1. 理解数据分类的本质是按某种原则对数据进行分类，能举出生活中的分类实例
2. 掌握离差平方和的分解公式S²＝S₁²＋S₂²，理解组内差、组间差的含义，会计算一组数据的组内离差平方和
3. 掌握按组内差最小原则对数据进行二层次分组的完整步骤，并能解释其合理性
二、重点
• 离差平方和的分解：总离差平方和＝组内差＋组间差
• 按组内差最小原则分组的方法与步骤
三、难点
• 理解“总离差平方和不变，只需使组内差最小”，并说明为什么中位数分界不一定使组内差最小
学习支架
世界不同地区人均二氧化碳排放量（2019年）
8个地区人均二氧化碳排放量分布（对应图23.5-1）
8个数据的全部分组方案及组内差
31个省区市人均GDP频数分布（对应图23.5-2）
31个省区市人均GDP主要分组方案的组内差
四、知识要点
1. 数据分类的意义
在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一。例如：世界上的国家可以按某一指标分为发达国家与发展中国家；全体国民按人均收入分为高收入组、中等收入组与低收入组；初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格。关键认识：这些分类本质上都是按照某种原则对数据进行分类。利用百分位数可以按一定的比例对数据进行分类；根据问题的要求，有时还需要按组内离差平方和最小的原则对数据进行分类——这就是本课要学习的方法。
2. 离差平方和的分解：总离差平方和＝组内差＋组间差
把一组数据x₁，x₂，…，xn分成两组：第一组x₁，x₂，…，xm，第二组xm₊₁，xm₊₂，…，xn（按大小顺序分组），两组数据的平均数分别为a和b，全体数据的平均数为x̄。总离差平方和S²＝(x₁－x̄)²＋(x₂－x̄)²＋…＋(xn－x̄)²可以分解为：S²＝[(x₁－a)²＋…＋(xm－a)²]＋[(xm₊₁－b)²＋…＋(xn－b)²]＋m(a－x̄)²＋(n－m)(b－x̄)²。记S₁²＝(x₁－a)²＋…＋(xm－a)²＋(xm₊₁－b)²＋…＋(xn－b)²，称为组内离差平方和（简称组内差）；记S₂²＝m(a－x̄)²＋(n－m)(b－x̄)²，称为组间离差平方和（简称组间差）。关键公式：S²＝S₁²＋S₂²，即总离差平方和＝组内差＋组间差。
3. 分组原则：使组内差最小，组间差最大
一个合理的分组原则是使组内差达到最小，组间差达到最大。关键推理：由分解公式S²＝S₁²＋S₂²可知，总离差平方和S²只由数据本身决定，与如何分组无关。因此，要使组间差S₂²达到最大，只需使组内差S₁²达到最小。注意：以中位数为分界点把数据分为两组，只是一种直观的分组方法，它的组内差不一定最小。例如8个二氧化碳排放量数据按中位数8.0分界（两组各4个）时组内差为117.6，而把异常数据20.8单独分出一组（第一组7个）时组内差只有69.6。
4. 按组内差最小原则分组的步骤
第1步：把数据按从小到大排列。第2步：画出数轴或频数分布直方图，观察数据分布，寻找数据相对集中与相对分散的边界。第3步：以观察到的分界点把数据分成两组，计算组内差。第4步：每次把第一组的最后一个数据移入第二组（或把第二组的第一个数据移入第一组），重新计算组内差并进行比较。第5步：组内差最小的分组方案即为所求。注意：与其余数据差异很大的数据称为异常数据，如8个二氧化碳排放量数据中的20.8。异常数据常常会被单独分出一组，从而使组内差最小。例：31个省区市人均GDP数据共有30种可能分法。借助频数分布直方图发现前25个数据分布于4.5～10.5万元，后6个数据分布于10.5～19.5万元，先以10.5万元为分界点计算组内差，再逐步比较，最终确定第一组25个、第二组6个时组内差最小（104.1）。
五、典型例题
【例1】
“观察与思考”中8个地区的人均二氧化碳排放量（单位：t）如下表：非洲1.6，南亚和东南亚2.6，拉丁美洲4.8，中东7.4，东亚8.6，欧洲9.7，中亚和俄罗斯9.9，北美洲20.8。如果把这8个数据分成两个层次，你认为应该如何划分？请按组内差最小的原则说明。
【解答】①把8个数据按从小到大排列：1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8。②先看直观分法：中位数为(7.4＋8.6)2＝8.0。以中位数为分界点，两组各4个数据，由计算表知此时组内差为117.6。③从数轴上看，前7个数据集中在1.6～9.9之间，20.8远离其他数据，是一个异常数据。④列出所有可能的分组方案（按大小顺序连续划分，共7种），利用统计软件计算组内差：第一组7个、第二组1个：69.6；第一组6个、第二组2个：114.5；第一组5个、第二组3个：117.5；第一组4个、第二组4个：117.6；第一组3个、第二组5个：122.6；第一组2个、第二组6个：152.8；第一组1个、第二组7个：201.8。⑤比较可知：第一组7个、第二组1个时组内差69.6最小。结论：前7个地区（非洲、南亚和东南亚、拉丁美洲、中东、东亚、欧洲、中亚和俄罗斯）为一个层次，北美洲（20.8）单独为一个层次。
【点拨】当数据中出现远离其他数据的异常值时，把它单独分出一组往往能使组内差最小。直观观察（数轴、异常值）要与定量计算（组内差比较）互相验证。
【例2】
国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市（不含港澳台地区，简称31个省区市）的人均GDP数据（单位：万元）为：19.03，17.99，14.44，12.68，11.92，11.85，10.19，9.65，9.21，9.07，8.60，8.29，7.37，7.36，7.36，7.09，6.98，6.88，6.86，6.78，6.66，6.21，6.17，6.07，5.84，5.70，5.53，5.23，5.22，5.11，4.50。按照组内离差平方和最小的原则，把这31个省区市的人均GDP分为两个层次。
【解答】①把31个数据由小到大排列。②画出频数分布直方图（图23.5-2）：以2万元为组距，频数分布为——4.5～6.5万元10个，6.5～8.5万元10个，8.5～10.5万元5个，10.5～12.5万元2个，12.5～14.5万元2个，14.5～16.5万元0个，16.5～18.5万元1个，18.5～20.5万元1个。③观察图形：前25个数据分布于4.5～10.5万元的范围，后6个数据分布于10.5～19.5万元的范围。因此先以10.5万元为分界点，把数据分成两组并计算组内差。④再每次把第一组的最后一个数据移入第二组（或把第二组的第一个数据移入第一组），重新计算组内差并比较：第一组25个、第二组6个：104.1；第一组24个、第二组7个：110.3；第一组23个、第二组8个：118.7；第一组26个、第二组5个：117.7；第一组27个、第二组4个：126.2。⑤经比较，第一组25个、第二组6个时组内差104.1最小。结论：人均GDP小于10.5万元的25个省区市为一个层次，人均GDP大于10.5万元的6个省区市为另一个层次。
【点拨】数据较多时，先画频数分布直方图观察分布、确定分界点，再只比较分界点附近的几种方案，可以避免逐一计算全部30种分法。这种“先观察、后比较”的思路能大大减少计算量。
【例3】
把数据2，3，7，8分成两组，共有3种不同的分法。请先直观猜想哪种分法的组内差最小，再逐一计算每种分法的组内差并验证。
【解答】设第一组取排序后前m个数据（m＝1，2，3）。①m＝1：第一组{2}，第二组{3，7，8}，第二组平均数(3＋7＋8)3＝6。组内差＝(2－2)²＋(3－6)²＋(7－6)²＋(8－6)²＝0＋9＋1＋4＝14。②m＝2：第一组{2，3}，平均数2.5；第二组{7，8}，平均数7.5。组内差＝(2－2.5)²＋(3－2.5)²＋(7－7.5)²＋(8－7.5)²＝0.25＋0.25＋0.25＋0.25＝1。③m＝3：第一组{2，3，7}，平均数4；第二组{8}。组内差＝(2－4)²＋(3－4)²＋(7－4)²＋(8－8)²＝4＋1＋9＋0＝14。比较：组内差最小的是m＝2的分法，即{2，3}一组、{7，8}一组，组内差为1。
【点拨】计算组内差的关键步骤：先求每组平均数，再求各组内每个数据与组平均数的离差平方并求和，最后把两组的和相加。注意分组必须按大小顺序连续划分，n个数据只有n－1种分法。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 全体国民按人均收入分为高收入组、中等收入组与低收入组，初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格，这些本质上都是按照某种（________）对数据进行分类。
2. 称S₁²为组内离差平方和，简称（________）；S₂²为组间离差平方和，简称（________）。
3. 把一组数据分成两组后，总离差平方和S²＝（________）离差平方和＋（________）离差平方和。
4. 在8个地区的人均二氧化碳排放量数据中，20.8与其他数据差异较大，是一个（________）数据。
5. 按组内离差平方和最小的原则，8个地区的人均二氧化碳排放量数据应分为：前7个数据一组，（________）单独一组，此时组内差为（________）。
6. 组内离差平方和等于各组数据与其各自组平均数的离差平方和之和。（ ）
7. 按组内差最小原则分组时，由于总离差平方和不变，组间差会同时达到最大。（ ）
8. 以中位数为分界点把数据分成两组，一定是组内差最小的分法。（ ）
9. 把数据2，6，8按第一组{2，6}、第二组{8}分组，求这组数据的组内离差平方和。
10. 把数据3，5，7按第一组{3}、第二组{5，7}分组，求组内离差平方和。
★★ 能力提升
11. 关于把一组数据分成两组，下列说法正确的是（________）。
A. 分组时数据可以任意组合，不必考虑大小顺序
B. 以中位数为分界点分组，组内差一定最小
C. 按组内差最小原则分组，通常先把数据按从小到大排列，再划分组界
D. 组间差的大小与如何分组无关
12. 把数据2，3，7，8分成两组，共有3种不同的分法。请先直观猜想哪种分法的组内差最小，再逐一计算验证。
13. 按照组内离差平方和最小的原则，把数据1，3，5，8，11分成两组，并通过计算进行验证。
14. 某市全民健身活动中心调查了10名超重人员的身体质量指数（单位：kg/m²），数据如下：26，28，39，30，36，30，28，32，38，37。请按照组内离差平方和最小的原则，将上面的身体质量指数分成两组，以便制订两种不同的健身方案。
★★★ 拓展延伸
15. 如果将31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分？请结合频数分布直方图说明你的划分方案和理由。
31个省区市人均GDP频数分布
16. 在“观察与思考”的8个地区人均二氧化碳排放量数据中，如果把异常数据20.8暂时去掉，只对剩下的7个数据（1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9）按组内差最小原则分成两组，结果与包含20.8时有什么不同？请计算验证，并说明原因。
参 考 答 案
第1题：原则
【解析】教材指出：在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一，这些分类本质上都是按照某种原则对数据进行分类。[错因:知识]
第2题：组内差；组间差
【解析】教材术语：组内离差平方和简称组内差，组间离差平方和简称组间差。[错因:知识]
第3题：组内；组间
【解析】由离差平方和分解公式S²＝S₁²＋S₂²，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和。[错因:理解]
第4题：异常
【解析】教材指出：前7个数据的差异相对不大，而20.8是一个异常数据。[错因:知识]
第5题：20.8；69.6
【解析】7种分法中，第一组7个、第二组1个时组内差69.6最小。[错因:计算]
第6题：√
【解析】这是组内离差平方和的定义：S₁²＝(x₁－a)²＋…＋(xm－a)²＋(xm₊₁－b)²＋…＋(xn－b)²。[错因:知识]
第7题：√
【解析】由S²＝S₁²＋S₂²，总离差平方和S²与分组方式无关，S₁²最小时S₂²最大。[错因:理解]
第8题：×
【解析】反例：8个二氧化碳数据按中位数8.0分界，两组各4个，组内差为117.6；而第一组7个、第二组1个的分法组内差只有69.6。[错因:理解]
第9题：组内差为8。第一组平均数＝(2＋6)2＝4，第二组平均数＝8；组内差＝(2－4)²＋(6－4)²＋(8－8)²＝4＋4＋0＝8。
【解析】先求每组平均数，再求各组数据与组平均数的离差平方和并相加。[错因:计算]
第10题：组内差为2。第一组平均数＝3，第二组平均数＝(5＋7)2＝6；组内差＝(3－3)²＋(5－6)²＋(7－6)²＝0＋1＋1＝2。
【解析】只有一个数据的组，离差平方和为0，注意不要漏算第二组两个数据的离差平方。[错因:计算]
第11题：C
【解析】A错，教材约定第一组取排序后最小的m个数据，n个数据只有n－1种分法；B错，中位数分界不一定使组内差最小（8个二氧化碳数据中4＋4分法组内差117.6，而7＋1分法为69.6）；C对，先排序再划分组界是基本步骤；D错，组间差m(a－x̄)²＋(n－m)(b－x̄)²依赖两组平均数，随分组方式改变，只有总离差平方和不随分组变化。[错因:方法]
第12题：组内差最小的是第②种分法，组内差为1：{2，3}一组，{7，8}一组。3种分法（m为第一组数据个数）逐一计算：①m＝1：{2}与{3，7，8}，组内差＝0＋(3－6)²＋(7－6)²＋(8－6)²＝0＋9＋1＋4＝14；②m＝2：{2，3}与{7，8}，组内差＝(2－2.5)²＋(3－2.5)²＋(7－7.5)²＋(8－7.5)²＝0.25＋0.25＋0.25＋0.25＝1；③m＝3：{2，3，7}与{8}，组内差＝(2－4)²＋(3－4)²＋(7－4)²＋0＝4＋1＋9＝14。
【解析】按大小排序后依次移动分界点列出全部分法，逐一计算组内差比较。直观猜想与计算结果一致：两个较小的数据、两个较大的数据各自聚成一组。[错因:计算]
第13题：组内差最小为12.5：{1，3，5}一组，{8，11}一组。排序后数据为1，3，5，8，11，第一组取最小的m个，逐一计算：①m＝1：{1}与{3，5，8，11}，第二组平均数6.75，组内差＝0＋(3－6.75)²＋(5－6.75)²＋(8－6.75)²＋(11－6.75)²＝36.75；②m＝2：{1，3}与{5，8，11}，组内差＝(1－2)²＋(3－2)²＋(5－8)²＋(8－8)²＋(11－8)²＝1＋1＋9＋0＋9＝20；③m＝3：{1，3，5}与{8，11}，组内差＝(1－3)²＋(3－3)²＋(5－3)²＋(8－9.5)²＋(11－9.5)²＝4＋0＋4＋2.25＋2.25＝12.5；④m＝4：{1，3，5，8}与{11}，组内差＝10.5625＋1.5625＋0.5625＋14.0625＋0＝26.75。
【解析】完整枚举所有分法后比较，不能只凭直观判断。组平均数不是整数时，离差平方保留小数计算。[错因:计算]
第14题：组内差最小为27：第一组6个、第二组4个。将数据由小到大排列：26，28，28，30，30，32，36，37，38，39。对m＝1，2，…，9逐一计算组内差（可用计算器），部分结果：m＝5时组内差为40.4，m＝6时组内差为27.0，m＝7时组内差为66.0，其余分法组内差均更大。第一组{26，28，28，30，30，32}，平均数29；第二组{36，37，38，39}，平均数37.5；组内差＝(26－29)²＋(28－29)²＋(28－29)²＋(30－29)²＋(30－29)²＋(32－29)²＋(36－37.5)²＋(37－37.5)²＋(38－37.5)²＋(39－37.5)²＝9＋1＋1＋1＋1＋9＋2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝27。所以身体质量指数较小的6人制订一套健身方案，较大的4人制订另一套方案。
【解析】10个数据共9种分法，按大小排序后逐一计算比较。组内差最小意味着同一方案内人员体质更接近，方案更有针对性。[错因:计算]
第15题：参考方案：在二层次划分的基础上再细分。由频数分布直方图可见，前25个数据集中在4.5～10.5万元之间，后6个数据在10.5万元以上且彼此分散（11.85，11.92，12.68，14.44，17.99，19.03）。可把后6个数据再分成两层：第一层次：人均GDP小于10.5万元（25个省区市）；第二层次：人均GDP在10.5万～14.5万元之间（11.85，11.92，12.68，14.44，共4个）；第三层次：人均GDP大于14.5万元（17.99，19.03，共2个）。理由：各层次之间差距明显，且每个层次内部数据接近。也可以选择8.5万元和10.5万元为界，把前25个数据再细分，答案不唯一。
【解析】开放题。合理的划分应使层内数据接近、层间差距明显，可参照直方图的疏密分布确定分界点；说出层次大小与分界值并给出理由即可。[错因:方法]
第16题：组内差最小为9.34：{1.6，2.6，4.8}一组，{7.4，8.6，9.7，9.9}一组。剩下的7个数据共6种分法（m为第一组数据个数）：m＝1：组内差≈42.45；m＝2：组内差≈17.93；m＝3：第一组{1.6，2.6，4.8}，平均数3；第二组{7.4，8.6，9.7，9.9}，平均数8.9，组内差＝(1.6－3)²＋(2.6－3)²＋(4.8－3)²＋(7.4－8.9)²＋(8.6－8.9)²＋(9.7－8.9)²＋(9.9－8.9)²＝1.96＋0.16＋3.24＋2.25＋0.09＋0.64＋1＝9.34；m＝4：组内差≈20.86；m＝5：组内差≈36.1；m＝6：组内差≈54.49。与包含20.8时的结果（前7个一组、20.8单独一组，组内差69.6）相比，去掉异常值后分组更均衡，组内差大幅下降。原因：20.8远离其他数据，把它单独分出一组能使组内差最小。这说明异常值会显著影响分组方案，分组前应先识别并处理异常数据。
【解析】本题综合运用组内差计算与异常值分析：同一组数据，异常值存在与否会改变最优分组方案；组内差越小，说明同一层内数据越接近。[错因:方法]序号
地区
人均二氧化碳排放量/t
1
非洲
1.6
2
南亚和东南亚
2.6
3
拉丁美洲
4.8
4
中东
7.4
5
东亚
8.6
6
欧洲
9.7
7
中亚和俄罗斯
9.9
8
北美洲
20.8
● 1.6、2.6
● 4.8
● 7.4、8.6
● 9.7、9.9
● 20.8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
分组情况
组内差
第一组7个，第二组1个
69.6
第一组6个，第二组2个
114.5
第一组5个，第二组3个
117.5
第一组4个，第二组4个
117.6
第一组3个，第二组5个
122.6
第一组2个，第二组6个
152.8
第一组1个，第二组7个
201.8
分组情况
组内差
第一组25个，第二组6个
104.1
第一组24个，第二组7个
110.3
第一组23个，第二组8个
118.7
第一组26个，第二组5个
117.7
第一组27个，第二组4个
126.2