初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）25.4 相似三角形优秀第4课时当堂检测题

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本课核心问题
怎样判断两个三角形相似，并利用“对应角相等、对应边成比例”求未知边长、求角度或证明平行？
一、学习目标
1. 理解相似三角形的定义，知道两个相似三角形的对应角相等、对应边成比例
2. 能按对应顶点正确写出相似三角形对应边的比例式，并利用比例式求未知边长或角度
3. 掌握“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”这一结论，会用它证明三角形相似，并能由相似说明平行
二、重点
• 相似三角形的定义与性质（对应角相等、对应边成比例）
• 按对应顶点写对应边的比例式，用比例式求未知量
• 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似
三、难点
• 证明三角形相似时，要同时配齐“三个角分别相等”与“三条边成比例”两个条件——教材例用辅助线构造平行四边形完成配齐
学习支架
全等三角形与相似三角形的对比
基本图形：截两边的延长线（X形）
四、知识要点
1. 相似三角形的定义
三角形是最简单的多边形，相似多边形的概念可以直接用到三角形上。定义：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形，记作△ABC∽△A'B'C'，读作“△ABC相似于△A'B'C'”。关键结论：①两个三角形相似，首先要三个角分别相等；②其次要三条边成比例，两个条件缺一不可。注意：书写“∽”时，对应顶点要写在对应位置上，如△ADE∽△ABC 表示 A与A、D与B、E与C 分别对应。
2. 相似三角形的性质与对应关系
由定义可直接得到性质：两个相似三角形的对应角相等、对应边成比例。关键结论：三组对应边的比值相同，这个比值叫作相似比；相似比可以大于1、小于1，等于1时两个三角形全等（全等是相似的特殊情形）。找对应关系的方法：按书写顺序逐位对应——△ABC∽△A'B'C' 中 A↔A'、B↔B'、C↔C'，于是 AB↔A'B'、BC↔B'C'、CA↔C'A'。比例式写法：ABA'B' = BCB'C' = CAC'A'。
3. 利用对应关系求边长与角度
求未知边长：先按对应关系写出比例式，再代入已知数据，利用比例的基本性质（交叉相乘）转化为方程求解。若点D在AB上且BD已知，则 AD=AB−BD，要把这种隐含关系先写出来。求角度：由对应角相等，把所求角转换到已知角；必要时先用三角形内角和（180°）求出第三个角。关键结论：每个比例式都来自“对应边成比例”，对应关系写错结果必错；求出结果后，用“两组比值是否一致”复核。
4. 平行于三角形一边的直线
回顾（25.2节）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。本课结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。关键结论：三种截法——①截两边；②截一边和另一边的延长线；③截两边的延长线——结论都成立。反向使用：若△ADE∽△ABC，点D在AB上、点E在AC上，则由对应角相等得 ∠ADE=∠B，同位角相等，故 DE//BC。证明思路：教材例通过“过点D作DF//AC”构造平行四边形DFCE，把FC转化为DE，结合平行线分线段成比例得到三边成比例，与三角分别相等一起满足定义。
五、典型例题
【例1】
如图，△ADE∽△ABC，点D在AB上，点E在AC上。已知 AD=3，AB=5，DE=2.4，求 BC 的长，并写出这两个三角形三组对应边的比例式。
基本图形：DE//BC 截两边
【解答】第一步，定对应：由△ADE∽△ABC，按顶点书写顺序对应，得 A↔A，D↔B，E↔C。第二步，写对应边与比例式：AD↔AB，DE↔BC，AE↔AC，所以 ADAB = DEBC = AEAC。第三步，代入已知数据，求 BC：由 ADAB = DEBC，得 35 = 2.4BC。交叉相乘：3×BC = 5×2.4 = 12。解得 BC = 4。第四步，检验：35 = 0.6，2.44 = 0.6，两组比值相同，计算正确。所以 BC 的长为 4。
【点拨】第一步永远是“按记号定对应”——两个三角形书写时对应顶点按顺序排好，对应边就清楚了；第二步列比例式、代数据、解方程；最后用“比值一致”检验。注意比例式的分子分母必须来自同一组对应边。
【例2】
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE//BC。求证：△ADE∽△ABC。（若D、E分别在两边的延长线上，结论同样成立）
基本图形：DE//BC 截两边
【解答】证明：（1）添加辅助线：过点D作 DF//AC，交BC于点F。（2）证三边成比例：∵DF//AC，直线DF平行于△ABC的一边AC，截其他两边AB、BC，∴由平行线分线段成比例，得 ADAB = FCBC。又∵DE//BC，同理得 ADAB = AEAC。（3）证 DE=FC：∵DE//BC，DF//AC，∴四边形DFCE是平行四边形（两组对边分别平行），∴DE = FC（平行四边形对边相等）。（4）综合边的比例：ADAB = AEAC = FCBC = DEBC，三组对应边成比例。（5）证三个角分别相等：∵DE//BC，∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）；又 ∠A = ∠A（公共角），三个角分别相等。（6）由相似三角形定义：三个角分别相等、三条边成比例，∴△ADE∽△ABC。同理可证点D、E在一边或两边的延长线上时的另外两种情况。
【点拨】证明相似要“配齐”定义的两个条件——角与边。角的部分由平行得到同位角相等；边的部分用已学的平行线分线段成比例，再加平行四边形把 FC“搬”成 DE，从而把三组对应边的比连成一条等式链。辅助线 DF 的作用就是造出平行四边形。
【例3】
已知△ABC∽△A'B'C'，∠B=60°，∠C=45°，求∠A'的度数。
【解答】∵△ABC∽△A'B'C'，对应角相等，∴∠A = ∠A'，∠B = ∠B' = 60°，∠C = ∠C' = 45°。在△ABC中，由三角形内角和定理：∠A = 180° − ∠B − ∠C = 180° − 60° − 45° = 75°。∴∠A' = ∠A = 75°。检验：∠A' + ∠B' + ∠C' = 75° + 60° + 45° = 180°，符合三角形内角和。所以∠A'的度数为75°。
【点拨】相似三角形的角“只变位置、不变大小”——对应角相等。求某个对应角时，先利用原三角形内角和求出原角，再对应过去；用“两三角形内角和都等于180°”检验。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 三个角分别相等、三条边（________）的两个三角形叫作相似三角形。
2. 若△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠E=（________）°，∠F=（________）°。
3. 已知△ABC∽△A'B'C'，AB=6，A'B'=9，则 AC 与 A'C' 的比为（________），即两个三角形的相似比为（________）。
4. 如果△ABC∽△A'B'C'，那么 ABA'B' = BCB'C' = CAC'A'。（ ）
5. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，由三角形中位线定理得 DE//BC，所以△ADE∽△ABC。（ ）
6. 两个相似三角形的相似比一定大于1。（ ）
7. 已知△ADE∽△ABC，点D、E分别在AB、AC上，AD=4，AB=6，AE=3，求 AC 的长。
8. 已知△ABC∽△DEF，AB=9，DE=6，AC=7.5，求 DF 的长。
9. 若△ADE∽△CAB，则对应边的比例式为 ADCA =（________）（________）=（________）（________）。
10. 在△ABC中，过AB上一点D作 DE//BC，交AC的延长线于点E，则△ADE∽△ABC。（ ）
★★ 能力提升
11. 如图，在△ABC中，点D在AB上、点E在AC上，△ADE∽△ABC，下列比例式正确的是（________）。
△ADE∽△ABC
A. ADAB = DEBC = AEAC
B. ADAB = AEBC = DEAC
C. ADAC = DEAB = AEBC
D. ADDE = ABBC = AEAC
12. 如图，在△ABC中，点D在AB上、点E在AC上，△ADE∽△ABC。若 DE=8，BC=12，BD=3，求 AB 的长。
△ADE∽△ABC
13. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠C。求证：△ADE∽△ABC。
在△ABC中，D、E分别在AB、AC上
14. 已知：如图，在△ABC中，点D在AB上、点E在AC上，△AED∽△ACB。求证：DE//BC。
△AED∽△ACB
15. 已知△ABC∽△DEF，∠B=70°，∠C=50°，则∠D的度数是（________）。
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
16. 已知△ABC的三边长分别为6、8、10，有一个三角形与△ABC相似，它的最长边为5，求这个三角形另外两边的长。
★★★ 拓展延伸
17. 如图，在某县地图上，以三个村庄A、B、C为顶点构成的三角形的三边长分别为 AB=3.2cm，BC=2.6cm，AC=2.2cm，地图的比例尺为1:50000。求每两个村庄之间的实际距离。
三个村庄构成的地图三角形
18. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，点F为BC的中点，连接AF，交DE于点G。求证：△ADG∽△ABF。
DE//BC，AF交DE于点G
19. 如图，有一锐角为30°的三角板，它的内、外两个三角形是相似的。三角板斜边的长为16cm，其内部三角形的最短边长为2cm。这个三角板内、外两个三角形的相似比是多少？
锐角为30°的三角板（示意图，非按比例）
参 考 答 案
第1题：成比例
【解析】相似三角形的定义：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形。[错因:知识]
第2题：70；60
【解析】对应关系：A↔D，B↔E，C↔F，所以∠E=∠B=70°；∠F=∠C=180°−50°−70°=60°。[错因:知识]
第3题：2:3；23
【解析】对应边成比例且比值相同：ACA'C' = ABA'B' = 69 = 23，即 AC:A'C' = 2:3，相似比为 23。[错因:知识]
第4题：√
【解析】对应边成比例：AB↔A'B'，BC↔B'C'，CA↔C'A'，三组对应边的比相等。[错因:知识]
第5题：√
【解析】中位线 DE//BC（八年级已学），直线DE截△ABC的边AB、AC，由“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”，得△ADE∽△ABC。[错因:方法]
第6题：×
【解析】相似比是“前一个三角形与后一个三角形对应边的比”，可以大于1、小于1；等于1时两个三角形全等。如△ABC∽△DEF且AB=3、DE=6时，相似比为12。[错因:理解]
第7题：AC=4.5
【解析】由对应关系 ADAB = AEAC，代入得 46 = 3AC，交叉相乘：4×AC = 6×3 = 18，AC = 4.5。检验：46 = 23，34.5 = 23，比值一致。[错因:计算]
第8题：DF=5
【解析】对应关系：AB↔DE，AC↔DF，由 ABDE = ACDF，得 96 = 7.5DF，交叉相乘：9×DF = 6×7.5 = 45，DF = 5。检验：96 = 1.5，7.55 = 1.5，比值一致。[错因:计算]
第9题：DE；AB；AE；CB
【解析】按书写顺序对应：A↔C，D↔A，E↔B，对应边为 AD↔CA、DE↔AB、AE↔CB，所以 ADCA = DEAB = AECB。[错因:方法]
第10题：√
【解析】直线DE平行于BC，与边AB、AC的延长线相交，截得的三角形△ADE与原△ABC相似——这是平行截线结论的第二种截法（截一边和另一边的延长线）。[错因:理解]
第11题：A
【解析】由△ADE∽△ABC，A↔A、D↔B、E↔C，对应边 AD↔AB、DE↔BC、AE↔AC，所以 ADAB = DEBC = AEAC。B中AE对应BC、C中AD对应AC、D中AD对应DE，都是对应关系错乱。[错因:方法]
第12题：AB=9
【解析】对应关系：AD↔AB，DE↔BC，得 ADAB = DEBC。点D在AB上且BD=3，所以 AD = AB − BD = AB − 3。代入：(AB−3)AB = 812 = 23，去分母得 3(AB−3) = 2AB，即 3AB − 9 = 2AB，AB = 9。检验：AD = 9 − 3 = 6，69 = 23，812 = 23，比值一致。[错因:计算]
第13题：证明：∵∠AED=∠C（已知），∠AED与∠C是直线DE、BC被直线AC截得的同位角，∴DE//BC（同位角相等，两直线平行）。∵DE//BC，直线DE截△ABC的边AB、AC，∴由“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”，得△ADE∽△ABC。
【解析】条件给的是角，目标要的是相似，中间桥梁是平行：对应角相等→两直线平行→截得的三角形与原三角形相似。关键要识别∠AED与∠C是同位角。[错因:方法]
第14题：证明：∵△AED∽△ACB，对应角相等，∴∠AED = ∠C（A↔A，E↔C，D↔B）。∠AED与∠C是直线DE、BC被直线AC截得的同位角，∴DE//BC（同位角相等，两直线平行）。
【解析】这是平行截线结论的逆向使用：先由相似得对应角相等，再由同位角相等得两直线平行。注意△AED∽△ACB中E↔C，所以∠AED对应∠C。[错因:方法]
第15题：B
【解析】对应关系：A↔D，B↔E，C↔F，所以∠D=∠A。在△ABC中，∠A = 180° − 70° − 50° = 60°，故∠D = 60°。A把∠C当成∠D，C把∠B当成∠D，D是内角和算错。[错因:方法]
第16题：3和4
【解析】最长边对应最长边：10↔5，相似比（新三角形比原三角形）为 510 = 12。于是另外两边分别为 6×(12) = 3，8×(12) = 4。检验：3:4:5 与 6:8:10 对应边的比都是12，两三角形相似。[错因:方法]
第17题：AB两村相距1600米，BC两村相距1300米，AC两村相距1100米。
【解析】地图按同一比例尺缩放，地图上的三角形与实际三角形相似，对应边成比例，实际距离 = 图上距离×50000。AB：3.2×50000 = 160000cm = 1600米；BC：2.6×50000 = 130000cm = 1300米；AC：2.2×50000 = 110000cm = 1100米。注意单位换算：100cm = 1米。本题用到转化化归思想：把图上长度按比例转化为实际长度，用比例关系建模解决真实测量问题。[错因:计算]
第18题：证明：∵点G在DE上，点F在BC上，且DE//BC，∴DG//BF。在△ABF中，点D在AB上，点G在AF上，直线DG平行于边BF，∴由“平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似”，得△ADG∽△ABF。
【解析】关键是把复杂图形还原为基本图形：把△ABF看作原三角形，直线DG平行于它的一边BF，截AB、AF两边——这正是本课平行截线基本图形。要先认出“哪个是原三角形、哪条线平行于它的哪一边”。本题用到转化化归思想：把新图形转化为已学的基本图形处理。[错因:方法]
第19题：内、外两个三角形的相似比为1:4
【解析】三角板外形是30°、60°、90°的直角三角形，内部三角形与它相似，同样是30°、60°、90°的直角三角形；最短边是30°锐角所对的直角边。外部三角形：斜边16cm，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”（八年级已学），得最短边 = 16÷2 = 8cm。内部三角形最短边 = 2cm。内、外两三角形对应边成比例：2:8 = 1:4，所以相似比为 1:4。检验：若相似比为1:4，则内部三角形斜边 = 16÷4 = 4cm，内部最短边与斜边的比 2:4 = 1:2，与外部三角形一致，结果自洽。本题用到数形结合与转化化归思想：把相似比问题转化为30°直角三角形特殊性质下的对应边计算。[错因:方法]三角形关系
对应角
对应边
符号
全等三角形
相等
相等
≌
相似三角形
相等
成比例（三组比值相同，即相似比）
∽