初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）25.3 相似图形精品第3课时同步练习题

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）25.3 相似图形精品第3课时同步练习题，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十一章_第2课时_二次函数yax²+bx+c的图象和性质第2课时_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十一章_第2课时_二次函数yax²+bx+c的图象和性质第2课时_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样判断两个多边形是否相似？判断相似之后，我们能求出哪些未知的边和角？
一、学习目标
1. 理解相似图形的含义，知道全等图形是特殊的相似图形
2. 掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例），能依据定义判断两个多边形是否相似
3. 能由相似多边形的对应角相等、对应边成比例求未知角和未知边，会求相似比
二、重点
• 相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例
• 相似比的含义与顺序性，以及用对应边成比例列比例式求未知边、用对应角相等求未知角
三、难点
• 判断相似必须同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”两个条件；相似比与两个图形的书写顺序有关
学习支架
全等图形与相似图形对比
判断两个多边形是否相似的步骤
1. 确定对应顶点，找出对应角、对应边
2. 检验对应角是否分别相等
3. 检验对应边的比是否都相等
4. 两个条件同时满足，才下“相似”结论；否则不相似
相似多边形对应边成比例
四、知识要点
1. 相似图形
研究图形之间的关系，除了全等（形状、大小都相同），还要研究“形状相同、大小可以不同”的图形。像这样，形状相同的图形叫作相似图形。两个图形相似与它们的大小无关：大小不同的两个魔方、同底片洗出的不同尺寸的照片，形状相同，都是相似图形。关键结论：全等图形是特殊的相似图形。全等图形不仅形状相同，大小也相同；可以说全等是“相似比为1”的相似图形。
2. 相似图形的“放大”与“缩小”
两个图形相似，可以把其中一个看成由另一个“放大”或“缩小”后得到的图形。例如，用复印机把一个图形按比例放大或缩小，得到的新图形就是原图形的相似图形。计算机屏幕上的图形投影放大到大屏幕上，形状不变、大小改变，这就是相似图形的直观含义。注意：“按比例”放大或缩小才能保持形状不变；只拉伸一条边而不按比例改变图形，得到的就不是相似图形。
3. 相似多边形的定义
对于多边形，相似可以用两个数量条件刻画：对应角相等、对应边成比例。一般地，对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。两个条件缺一不可：· 只满足对应角相等（如任意两个矩形），对应边不一定成比例；· 只满足对应边成比例（如边长都为3的正方形与菱形），对应角不一定相等。特殊结论：任意两个等边三角形、任意两个正方形都是相似图形，它们的各角分别对应相等，各边分别对应成比例。
4. 对应角与对应边
两个相似多边形中，位置对应的顶点所对的角，称为对应角；位置对应的边，称为对应边。例如在教材图25.3-3的两个三角形中，经过测量与计算可以发现：∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'分别相等，是对应角；AB与A'B'、BC与B'C'、CA与C'A'的比都相等，是对应边；两个四边形中也有相同的结论。找对应角、对应边的关键是确定对应顶点：通常按两个图形中相同位置的顶点（或按字母书写顺序）确定对应关系。
5. 相似比与相似记法
相似多边形对应边的比叫作它们的相似比。两个相似的多边形可以记作“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”，读作“四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'”。注意：相似比是有顺序的。“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”的相似比指第一个四边形与第二个四边形对应边的比，即AB与A'B'的比；把两个图形的顺序反过来，相似比就是它的倒数。
6. 相似多边形的应用：求边、求角
已知两个多边形相似，就可以把未知的边和角求出来：· 求未知边：由对应边成比例列比例式求解；· 求未知角：由对应角相等直接得到，必要时结合多边形内角和公式(n−2)×180°；· 周长：相似多边形周长的比等于相似比，因为各对应边都按同一比变化，各边之和也按同一比变化。教材例题（第87页）：五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，AB=15，A'B'=10，CD=21，∠B=130°，∠C=∠D=90°，∠E=145°，由对应边成比例列式1510=21C'D'，解得C'D'=14；再由五边形内角和求得∠A=(5−2)×180°−130°−145°−2×90°=85°。
五、典型例题
【例1】
如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，AB=15，A'B'=10，CD=21，∠B=130°，∠C=∠D=90°，∠E=145°。求C'D'的长和∠A的度数。
例1：五边形ABCDE示意图（示意，不按比例）
【解答】第一步：由相似得对应边成比例。∵ 五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，∴ ABA'B'=CDC'D'（对应边的比相等）。把AB=15，A'B'=10，CD=21代入：1510=21C'D'，即32=21C'D'，交叉相乘，得3×C'D'=2×21=42，∴ C'D'=42÷3=14。第二步：由相似得对应角相等，结合内角和求∠A。五边形内角和=(5−2)×180°=540°，∠B=130°，∠C=∠D=90°，∠E=145°，∴ ∠A=540°−130°−90°−90°−145°=85°。答：C'D'的长为14，∠A的度数为85°。
【点拨】求未知边用“对应边成比例”列比例式，交叉相乘求解；求未知角用“对应角相等”，必要时结合多边形内角和公式。注意对应顶点、对应边、对应角的顺序要保持一致。
【例2】
一个长为8、宽为6的矩形，与一个长为12、宽为9的矩形相似吗？若相似，求第一个矩形与第二个矩形的相似比。
【解答】判断两个多边形是否相似，要看对应角是否相等、对应边是否成比例。第一步：比较对应角。两个矩形各有四个直角，对应角分别相等。第二步：比较对应边。把矩形的长与长对应、宽与宽对应：长边之比=8:12=2:3，宽边之比=6:9=2:3，两组对应边的比相等。第三步：下结论。对应角相等、对应边成比例两个条件同时成立，所以这两个矩形相似。相似比=第一个矩形与第二个矩形对应边的比=2:3。
【点拨】判断相似必须两个条件同时满足：对应角相等且对应边成比例。写相似比时注意顺序：前一个图形比后一个图形。
【例3】
小六边形与大六边形的相似比为2:5。若小六边形的一条边长为3，求大六边形对应边的长；若大六边形的周长为45，求小六边形的周长。
【解答】第一步：由相似比求对应边长。小六边形与大六边形的相似比为2:5，即对应边的比为2:5。设大六边形对应边的长为x，则3:x=2:5，2x=15，解得x=7.5。第二步：由周长比等于相似比求周长。各对应边的比都是2:5，周长是各边之和，所以两个六边形周长的比也是2:5。设小六边形的周长为y，则y:45=2:5，5y=90，解得y=18。答：大六边形对应边的长为7.5，小六边形的周长为18。
【点拨】相似多边形周长的比等于相似比——因为每条对应边都按同一比例变化，各边之和也按同一比例变化。设未知数列比例式是这类问题的一般方法。
同 步 练 习
方格纸中的两个三角形（每个小方格的边长都为1）
正方形与菱形（边长都为3）
在坐标系中描点并连接
★ 基础巩固
1. 形状相同、大小不同的图形叫作（________）图形；全等图形是特殊的（________）图形。
2. 两个全等的图形一定是相似图形。（ ）
3. 用复印机把一个图形按比例放大后得到的图形，与原图形是相似图形。（ ）
4. 任意两个等边三角形都是相似图形。（ ）
5. 任意两个菱形都是相似图形。（ ）
6. 对应角（________）、对应边（________）的两个多边形叫作相似多边形。
7. 若△ABC∽△DEF，AB=6，DE=9，则△ABC与△DEF的相似比为（________）。
8. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=9，A'B'=6，BC=12，求B'C'。
9. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A=100°，则∠A'=（________）。
★★ 能力提升
10. 下列各组图形中，一定相似的是（________）。
A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形
C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
11. 下列说法正确的是（________）。
A. 对应边成比例的两个多边形一定相似
B. 对应角相等的两个多边形一定相似
C. 对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似
D. 任意两个相似多边形的形状不一定相同
12. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB=12，A'B'=9，BC=10，∠A=110°，∠B=80°，∠D'=90°。求B'C'的长和∠C'的度数。
13. 如图，方格纸中每个小方格的边长都为1，两个三角形的顶点都在格点上。（1）分别计算两个三角形各边的长；（2）判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由；（3）若相似，写出它们的相似比。
方格纸中的两个三角形
14. 小多边形与大多边形的相似比为3:5。若大多边形的一条边长为20，求小多边形对应边的长。
★★★ 拓展延伸
15. 在平面直角坐标系中（每个小方格的边长都为1个单位长度），描出点A(1,2)、B(3,2)、C(3,0)、D(1,0)，用线段顺次连接A、B、C、D、A，得到四边形ABCD；再把各点的横坐标、纵坐标都乘2，描出对应的点A'、B'、C'、D'，顺次连接得到四边形A'B'C'D'。（1）四边形ABCD是什么四边形？（2）四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似图形吗？为什么？（3）写出它们的相似比。
在坐标系中描点并连接
16. 小明说：“正方形和菱形的边长都为3，对应边的比都是1，所以它们是相似图形。”小明的说法对吗？请说明理由。
正方形与菱形（边长都为3）
17. 小六边形与大六边形的相似比为2:3，小六边形的周长为36，求大六边形的周长。
参 考 答 案
第1题：相似；相似
【解析】由定义：形状相同的图形叫作相似图形；全等图形形状相同、大小也相同，满足“形状相同”，是特殊的相似图形。
第2题：√
【解析】全等图形形状相同、大小也相同，满足“形状相同”这一条件，所以一定是相似图形，是相似比为1的特殊情形。[错因:概念]
第3题：√
【解析】按比例放大只改变图形的大小、不改变形状，所以得到的图形与原图形相似。
第4题：√
【解析】任意两个等边三角形的三个角都是60°，对应角分别相等；各边对应成比例，所以一定相似。
第5题：×
【解析】菱形只保证四条边相等，并不能保证对应角相等。例如边长为3的正方形与一个锐角为60°的菱形，四条边对应成比例，但对应角不相等，不相似。[错因:概念]
第6题：相等；成比例
【解析】这是相似多边形的定义，两个条件缺一不可。
第7题：2:3
【解析】相似比指第一个多边形与第二个多边形对应边的比：AB:DE=6:9=2:3。[错因:方法]
第8题：8
【解析】由相似得对应边成比例：ABA'B'=BCB'C'，即96=12B'C'，交叉相乘得9×B'C'=72，解得B'C'=8。
第9题：100°
【解析】相似多边形的对应角相等，所以∠A'=∠A=100°。
第10题：C
【解析】等边三角形的三个角都是60°，对应角分别相等，各边对应成比例，一定相似；等腰三角形的顶角可以不同，矩形的长宽比可以不同，菱形的角可以不同，都不一定相似。[错因:概念]
第11题：C
【解析】相似多边形的定义要求对应角相等与对应边成比例同时成立；A、B都只满足一个条件；D错误，相似多边形的形状一定相同，只是大小可以不同。[错因:概念]
第12题：B'C'=7.5，∠C'=80°
【解析】由对应边成比例：ABA'B'=BCB'C'，即129=10B'C'，交叉相乘得12×B'C'=90，解得B'C'=7.5。由对应角相等得∠D=∠D'=90°，四边形内角和为360°，∠C=360°−110°−80°−90°=80°，再由对应角相等得∠C'=∠C=80°。
第13题：（1）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5（由勾股定理AB²=AC²+BC²=3²+4²=25）；△A'B'C'中，A'C'=6，B'C'=8，A'B'=10。（2）△ABC与△A'B'C'相似。理由：对应边之比AC:A'C'=BC:B'C'=AB:A'B'=1:2，对应边成比例；两三角形都是直角三角形，∠C=∠C'=90°，直角三角形中锐角由两直角边的比确定，两直角边对应成比例，所以其余对应角也分别相等，对应角相等且对应边成比例，满足相似多边形的定义。（3）相似比为1:2。
【解析】先在方格纸上按格数读出各边长度（横向3格、纵向4格，斜边按勾股定理计算为5格），再比较对应边的比与对应角，用定义判断相似。此题是教材“一起探究”网格测量方法的直接应用。
第14题：12
【解析】小多边形与大多边形的相似比为3:5，对应边之比为3:5。设小多边形对应边的长为x，则x:20=3:5，5x=60，解得x=12。
第15题：（1）四边形ABCD是边长为2的正方形。（2）四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似图形。理由：两四边形都是正方形，各角都是90°，对应角相等；AB=2，A'B'=4，各对应边的比都是2:4=1:2，对应边成比例，所以四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。（3）相似比为1:2。
【解析】把各点的横坐标、纵坐标都乘2，相当于把整个图形按2:1放大：图形被平移到更大位置，但对应角不变、对应边按同一比例变化。这印证了“一个图形可以由另一个放大或缩小得到，它们是相似图形”的结论。本题体现了数形结合思想。
第16题：不对。判断两个多边形相似，除对应边成比例外，还必须满足对应角相等。正方形的四个角都是90°，而菱形（非正方形）有一对锐角、一对钝角，对应角不相等，所以正方形和菱形不是相似图形。
【解析】对应边成比例只是相似多边形的条件之一，必须与对应角相等同时成立。可画图举反例：边长都为3的正方形与锐角为60°的菱形，边都对应成比例（1:1），但角不相等，因而不相似。[错因:概念]
第17题：54
【解析】相似多边形周长的比等于相似比：各对应边都按同一比放大或缩小，各边之和（周长）也按同一比变化。小六边形与大六边形的相似比为2:3，设大六边形的周长为x，则36:x=2:3，2x=108，解得x=54。比较项
全等图形
相似图形
形状
相同
相同
大小
相同
可以不同
对应角
相等
相等
对应边
相等
成比例
相互联系
全等图形是特殊的相似图形（相似比为1）
更一般的图形关系