冀教版（2024）九年级上册（2024）25.2 平行线分线段成比例精品第2课时同步练习题

这是一份冀教版（2024）九年级上册（2024）25.2 平行线分线段成比例精品第2课时同步练习题，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十三章_第4课时_232解直角三角形及其应用_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十三章_第4课时_232解直角三角形及其应用_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样准确找出“对应线段”，并用比例式求出未知线段的长？
一、学习目标
1. 理解并记住基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2. 能根据图形准确找出对应线段，写出比例式，并求出未知线段的长
3. 掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，能用于解决求长问题
二、重点
• 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
• 对应线段的识别方法与三种常用比例式
• 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例
三、难点
• 正确辨认对应线段：比例式左右两端的线段必须在同一条截线上位置对应、跨度一致
学习支架
利用基本事实求线段长的步骤
1. 看图：识别一组平行线与两条截线，标出已知线段
2. 配对：按同一条截线上的位置找出对应线段
3. 写比：列出对应线段的比例式
4. 求解：用比例的基本性质解出未知线段的长
5. 检验：对照图形，检查结果是否符合线段长短关系
对应线段配对的正误对比
四、知识要点
1. 基本事实：平行线分线段成比例
如图25.2-1，两条直线AC、DF被三条互相平行的直线l1、l2、l3所截，截得的四条线段分别为AB、BC、DE、EF。经过观察、测量、验证可以发现：ABBC=DEEF。基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。注意：这里说的是“成比例”，不是“相等”。只有当三条平行线彼此等距时，对应线段才恰好相等。
2. 对应线段的识别与三种比例式
判定两条线段是否对应，看它们在同一条截线上夹的位置是否一致：夹在l1、l2之间的AB与DE对应，夹在l2、l3之间的BC与EF对应，跨l1到l3的AC与DF对应。当l1∥l2∥l3时，下面三个比例式都成立：ABBC=DEEF，ABAC=DEDF，BCAC=EFDF。由第一个比例式还可以交叉变形得到ABDE=BCEF。写比例式前先在心里说一遍“哪条线段对哪条线段”，并核对左右两端跨度一致。
3. 三角形中的情形：平行于三角形一边的直线
在图25.2-1中，若A、D两点重合，两条截线变成三角形ACF的两边，l2、l3成为过B、E的平行线，图形就变成三角形情形。定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。例如在△ABC中，DE∥BC，D在AB上、E在AC上，则ADAB=AEAC，ADDB=AEEC，DBAB=ECAC；当D、E在AB、AC的延长线上时，这些比例式仍然成立。
4. 用比例式求线段的长
求线段长的基本流程：① 看图，标出已知线段；② 找出包含未知线段的对应线段对，写出比例式；③ 代入已知数据，用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列方程；④ 解方程并检验。例：在△ABC中，DE∥BC，D在AB上、E在AC上，AD=10，AE=12，AC=14，由ADAB=AEAC，得10AB=1214，AB=353。求长时若已知的是部分与整体（如AE、AC），就列“部分/整体=部分/整体”的比例式；若两条截线交于点O（如AC∥DB），则对应线段分别从点O出发，比例式同样成立。
5. 由比例式进行简单证明
基本事实不仅能求长，还能直接推出线段间的倍数关系。例如：已知AD∥BE∥CF，ABBC=k，由基本事实得DEEF=ABBC=k，即DE=k·EF。关键写法：先写出由基本事实（或三角形推论）得到的比例式，再按比例的基本性质变形，最后用等式表示要求的数量关系。每一步都要注明依据。
五、典型例题
【例1】
如图，l1∥l2∥l3，两条直线AC、DF分别与它们交于A、B、C和D、E、F。已知AB=4，BC=6，DE=3，求EF的长。
三条平行线截两条直线（图25.2-1示意）
【例2】
如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD=8，AE=10，AC=15，求AB的长。
平行于三角形一边的直线（图25.2-4示意）
【例3】
如图，在△ABC中，DE∥BC，点D在AB的延长线上，点E在AC的延长线上。已知AD=15，AB=10，AE=18，求AC的长。
平行于三角形一边的直线（图25.2-4示意）
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 两条直线被一组平行线所截，所得的（________）成比例。
2. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线分别与它们交于A、B、C和D、E、F。已知AB=2，BC=6，DE=3，则EF=（________）。
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD=4，DB=2，AE=5，则EC=（________）。
4. 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段相等。（ ）
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD=3，AB=9，AE=4，则AC=（________）。
6. 如图，l1∥l2∥l3 被两条直线所截，若ABBC=DEEF，则ABAC=DEDF。（ ）
7. 如图，AD∥BE∥CF，两条直线分别与它们交于A、B、C和D、E、F。已知AB=6，BC=3，DE=4，则EF=（________）。
8. 在△ABC中，DE∥BC，点D在AB的延长线上，点E在AC的延长线上，则ADAB=AEAC。（ ）
★★ 能力提升
9. 如图，两条直线l、l′被三条平行线l1、l2、l3所截，交点分别是A、D、F和B、C、E（A、B在l1上，D、C在l2上，F、E在l3上）。下列比例式中正确的是（________）。
A. ADDF=CEBC
B. ADBC=DFCE
C. ADDF=BCAD
D. AFDF=BEBC
10. 学校操场上画着三条互相平行的跑道分隔线l1、l2、l3。一条斜拉的横幅绳从l1上的A点拉到l3上的C点，与l2交于点B，测得AB=3.6米，BC=2.4米。另一条彩带绳从l1上的D点拉到l3上的F点，与l2交于点E，测得DE=4.5米。求EF的长。
11. 如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD。已知AO=6，OB=12，CO=10，求CD的长。
12. 如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD=6，DB=3，AC=12，求AE和EC的长。
★★★ 拓展延伸
13. 已知：如图，AD∥BE∥CF，两条直线分别与它们交于A、B、C和D、E、F，且AB:BC=2:3。（1）求DE:EF，并说明理由；（2）若DF=20，求DE和EF的长。
14. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，点D在AB上，点E在AC上，点F在BC上。已知AB=12，AD=4，DE=5，求BC的长。
15. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线分别与它们交于A、B、C和D、E、F，点B在A、C之间。已知AC=a，BC=b，DE=c，求DF的长（用含a、b、c的式子表示）。
错误配对
正确配对
把AB与EF、BC与DE配成对应线段，得到ABEF=BCDE（跨位配对，比例式必错）
对应线段按截线上同位置配对：AB↔DE，BC↔EF，得到ABBC=DEEF