第52讲 双曲线及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第52讲 双曲线及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共21页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc236910002 \h 4
考点一：双曲线的定义与标准方程 PAGEREF _Tc236910003 \h 4
考点二：双曲线的几何性质 PAGEREF _Tc236910004 \h 7
考点三：双曲线的离心率 PAGEREF _Tc236910005 \h 11
考点四：双曲线的焦点三角形 PAGEREF _Tc236910006 \h 17
考点五：双曲线中的距离与最值问题 PAGEREF _Tc236910007 \h 19
四、高考真题 PAGEREF _Tc236910008 \h 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年每年均有直接考查，题型为单选题或填空题，分值稳定在5分.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点稳定：近三年均直接考查双曲线的离心率及其基本量（a、b、c）的关系.
（2） 考查形式基础：多以单选题或填空题形式出现，侧重于对双曲线定义、标准方程和几何性质的直接应用.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握双曲线的标准方程与基本量之间的关系，尤其是离心率的计算公式.
（2） 深刻理解双曲线的定义，能够灵活运用定义结合几何图形（如焦点三角形、通径）求解相关参数.
二、知识清单
1. 双曲线的定义
（1） 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 |F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为 {M∣||MF1|−|MF2||=2a(02a”是否成立.
② 要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 a2,b2 的值），注意 a2+b2=c2 的应用.
2. 双曲线的方程、图形及性质
3. 双曲线的切线与切点弦方程
（1） 切线方程：对于双曲线上一点 (x0,y0) 所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x0x，y2 换成 y0y 便得.
① x2a2−y2b2=1 上的点 (x0,y0) 处的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1.
② y2a2−x2b2=1 上的点 (x0,y0) 处的切线方程为 y0ya2−x0xb2=1.
（2） 切点弦所在直线方程：若点 (x0,y0) 为双曲线 x2a2−y2b2=1 外一点（在两渐近线之间），过该点作双曲线的两条切线，切点连线（切点弦）所在的直线方程为 x0xa2−y0yb2=1.
4. 直线与双曲线的位置关系
（1） 弦长公式：设直线与双曲线两交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线斜率为 k.则弦长 |AB|=1+k2⋅|x1−x2|=1+1k2⋅|y1−y2|(k≠0)，其中 |x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=Δ|m|（“m”是消去“y”后关于“x”的一元二次方程的“x2”系数）.
（2） 交点个数的判定：设直线方程为 y=kx+t，双曲线方程为 x2a2−y2b2=1.联立消去 y 得到 (b2−a2k2)x2−2a2ktx−a2(t2+b2)=0.
① 当 b2−a2k2=0 即 k=±ba 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点.
② 当 b2−a2k2≠0 时，计算判别式 Δ.Δ>0 时有两个交点；Δ=0 时有一个交点（相切）；Δ0,b>0) 的左、右焦点，P(x0,y0) 为双曲线上任意一点，e 为离心率.
（1） 若点 P 在双曲线的右支上（x0≥a），则 |PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0−a.
（2） 若点 P 在双曲线的左支上（x0≤−a），则 |PF1|=−(ex0+a)，|PF2|=−(ex0−a).
（3） 统一形式：|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0−a|.
6. 双曲线的常用几何性质与重要结论
（1） 通径：过焦点且垂直于实轴的弦是同支中的最短弦，其长为 2b2a.
（2） 焦点三角形：双曲线上一点 P(x0,y0) 与两焦点 F1,F2 构成的 △PF1F2 称为焦点三角形.设 ∠F1PF2=θ，|PF1|=r1，|PF2|=r2.
① 余弦定理推论：csθ=1−2b2r1r2.
② 面积公式：S△PF1F2=12r1r2sinθ=sinθ1−csθ⋅b2=b2tanθ2.
③ 常用关系：||PF1|−|PF2||=2a；|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2.
（3） 等轴双曲线：双曲线为等轴双曲线 ⇔a=b⇔ 离心率 e=2⇔ 两渐近线互相垂直 ⇔ 渐近线方程为 y=±x⇔ 方程可设为 x2−y2=λ(λ≠0).
（4） 焦点到渐近线的距离：双曲线的焦点到其渐近线的距离恒等于虚半轴长 b.
（5） 离心率与渐近线夹角的关系：若双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的两条渐近线所夹的包含实轴的角为 θ，则 tanθ2=ba，离心率 e=1csθ2.
（6） 双曲线的“第三定义”：若 A(−a,0) 和 B(a,0) 是双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右顶点，P(x,y) 是双曲线上异于顶点的任意一点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为常数，即 kPA⋅kPB=b2a2.
三、典题精讲
考点一：双曲线的定义与标准方程
考法1：利用双曲线定义求方程或焦半径
1.（2025·广东六校·联考）已知双曲线 x2a2−y212=1(a>0) 两个焦点 F1,F2，焦距为 8，M 为曲线上一点，|MF2|=5，则 |MF1|= （ ）
A. 1 B. 1 或 9 C. 9 D. 3
【答案】C
【思路】由双曲线方程及焦距求出半焦距和实半轴长，再利用双曲线的定义结合三角形三边关系确定焦半径的长度.
【解析】由题意可得 b2=12,2c=8，即 c=4，又 a2+b2=c2，即 a2=16−12=4⇒a=2，
由双曲线的定义可得 ||MF1|−|MF2||=2a=4，解得 |MF1|=1 或 9，
又 |MF1|+|MF2|>2c=8，所以 |MF1|=9.故选：C.
2.（2026·河北衡水·检测）记点 A1(−2,3)，A2(2,−3)，B(2,0)，D(0,−5)，第三象限内一点 P 满足 PA1 与 PA2 的斜率之积为 3，则 △PBD 周长的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【思路】根据斜率之积的条件求出点轨迹方程，识别出轨迹为双曲线的一部分，利用双曲线定义将周长中的线段和转化为两点间距离，进而求出最小值.
【解析】设 P(x,y)，由条件得 y−3x+2⋅y+3x−2=y2−9x2−4=3，得 x2−y23=1，可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知 B 为该双曲线的右焦点，左焦点为 F(−2,0)，
由定义与位置知 |PB|−|PF|=2，∴|PB|+|PD|=|PF|+2+|PD|≥|FD|+2=5，
当且仅当 F,P,D 三点共线时等号成立，
∴△PBD 的周长 C=|PB|+|PD|+|BD|≥5+3=8.
故选 C.
3.（2025·河北五个一·联考）已知 F 是双曲线 C:x2−y24=1 的右焦点，P 是 C 右支上一点，若点 A(5,5)，则 |AP|+|PF| 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】25
【思路】利用双曲线的定义将点到右焦点的距离转化为到左焦点的距离，从而将折线段长度和转化为两点间的距离求最小值.
【解析】由双曲线 C:x2−y24=1 的右焦点为 F(5,0)，左焦点为 F1(−5,0)，由双曲线定义得 |PF|−|PF1|=−2a=−2，所以 |AP|+|PF|=|AP|+|PF1|−2≥|AF1|−2=(5−(−5))2+(5−0)2−2=25.
考法2：利用待定系数法求双曲线标准方程
4.（2026·浙江温州·二模）双曲线 y22−x2=1 的实轴长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
【答案】D
【思路】将双曲线方程化为标准形式，识别出实半轴长的平方，进而求出实轴长.
【解析】双曲线 y22−x2=1，对应 a2=2，
所以 a=2，所以实轴长为 2a=22.
5.（2026·山东枣庄·一模）已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合，且离心率为 2，则该双曲线的实轴长为＿＿＿＿＿＿.
【答案】4
【思路】先求出抛物线的焦点坐标得到双曲线的半焦距，再结合离心率求出实半轴长，从而得到实轴长.
【解析】抛物线 y2=16x 的焦点为 (4,0)，所以 c=4，又 e=ca=2，所以 a=2，则实轴长为 2a=4.
6.（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线 C:x2a2−y2a2=1(a>0) 的左、右顶点分别为 A，B，点 D 是 C 上一点，过点 D 向 C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 M，N，且 |DM||DN|=2.
（1） 求 C 的方程；
【答案】（1） x24−y24=1
【思路】写出双曲线的渐近线方程，设出曲线上动点坐标，利用点到直线的距离公式表达出垂线段乘积，结合双曲线方程解出参数.
【解析】（1） 由题意知 C 的渐近线方程为 x±y=0，
设 D(x0,y0)，则 |DM||DN|=|x0+y0|2×|x0−y0|2=|x02−y02|2=a22=2，所以 a2=4，
所以 C 的方程为 x24−y24=1.
考法3：双曲线方程的充要条件与曲线类型判断
7.（2026·广东肇庆·二模）双曲线 x2−y2=1 与双曲线 x21+k−y21−k=1 的（ ）
A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等
【答案】B
【思路】根据方程表示双曲线的条件求出参数范围，进而分别计算两双曲线的顶点、焦点、虚轴长和离心率进行比对.
【解析】由 x21+k−y21−k=1 表示双曲线，
得 1+k>01−k>0，得 −10,b>0) 的渐近线方程为 y=±bax，
即 ba=3，代入 a=1 得 b=3，
所以 c2=a2+b2=1+3=4（c 为半焦距），即 c=2，
故焦距为 2c=4.
11.（2026·广东稳派·检测）若双曲线 x2b2−y21=1(b>0) 的一条渐近线的方程为 4x−3y=0，则该双曲线的焦距为＿＿＿＿＿＿.
【答案】103
【思路】根据双曲线方程写出渐近线方程，与已知直线比对求出参数，再计算焦距.
【解析】由该双曲线的一条渐近线的方程为 4x−3y=0，得 b=43，所以该双曲线的焦距为 21+b2=103.
考法5：渐近线与圆、三角形等几何图形的综合应用
12.（2026·河北名校·一模）已知圆 C:x2+y2+6x+5=0，若双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的渐近线与圆 C 相切，则双曲线的离心率 e= （ ）
A. 455 B. 32
C. 53 D. 355
【答案】D
【思路】将圆的方程化为标准方程找出圆心和半径，利用圆心到渐近线的距离等于半径得到 a,b 的关系，进而求出离心率.
【解析】圆 C:x2+y2+6x+5=0 可化为 (x+3)2+y2=4，则圆心 C(−3,0)，半径为 2，
因为双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0,b>0），所以渐近线为 y=±bax，即 bx±ay=0，
因为双曲线的渐近线与圆 C 相切，所以 |−3b|a2+b2=2，
所以 9b2=4(a2+b2)，化简得 5b2=4a2，所以 b2a2=45，
又因为双曲线中 c2=a2+b2，所以离心率 e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+45=355.
故选：D.
13.（2026·安徽马鞍山·一模）（多选）已知双曲线 Γ 的渐近线方程为 y=±2x，虚轴长为 4，则（ ）
A. Γ 的焦距为 25
B. Γ 的方程为 x24−y21=1
C. Γ 的焦点到渐近线的距离为 2
D. Γ 与直线 y=2x+2026 仅一个公共点
【答案】CD
【思路】根据虚轴长求出 b，由于焦点位置不确定，需分焦点在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，分别求出对应的焦距和方程；利用点到直线的距离公式计算焦点到渐近线的距离；结合直线与渐近线平行的位置关系判断交点个数.
【解析】依题意，2b=4，即 b=2，
若双曲线焦点在 x 轴上，则由 ba=2，解得 a=1，
所以 c2=a2+b2=12+22=5，所以焦距为 2c=25，
若焦点在 y 轴上，则 ab=2，解得 a=4，所以 c2=a2+b2=42+22=20，
所以焦距为 2c=45，故 A 错误；
由 A 选项分析可知，双曲线 Γ 的焦点位置不确定，方程有两个，故 B 错误；
若双曲线焦点在 x 轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点 (c,0)，渐近线 y=bax，
则焦点到渐近线的距离 d=|bc−a⋅0|a2+b2=bcc=b=2，
同理双曲线焦点在 y 轴上，可得 d=b=2，故 C 正确；
因为 y=2x+2026 与双曲线的一条渐近线 y=2x 平行，故 Γ 与直线 y=2x+2026 仅一个公共点，所以 D 正确，
故选：CD.
14.（2026·湖北襄阳五中·检测）已知双曲线的中心为坐标原点 O，点 P(2,−2) 在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
（1） 求双曲线的标准方程；
（2） 若过点 Q(0,2) 的直线 l 与双曲线交于 E，F 两点，△OEF 的面积为 22，求直线 l 的方程.
【答案】（1） x22−y22=1
（2） y=2x+2 或 y=−2x+2
【思路】（1） 由渐近线互相垂直可知该双曲线为等轴双曲线，设出方程后代入已知点坐标即可求解；（2） 设出直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式表达出三角形面积，解方程求出斜率.
【解析】（1） 因为双曲线 C 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 C 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 x2−y2=m，(m≠0)，
又双曲线 C 经过点 P(2,−2)，
所以 4−2=m，即 m=2，
所以双曲线的方程为 x2−y2=2，即 x22−y22=1.
（2） 根据题意可知直线 l 的斜率存在，又直线 l 过点 Q(0,2)，
所以直线 l 的方程为 y=kx+2，
所以原点 O 到直线 l 的距离 d=2k2+1，
联立 y=kx+2x2−y2=2，得 (k2−1)x2+4kx+6=0，
所以 k2≠1 且 Δ=16k2−24(k2−1)=24−8k2>0，
所以 k20) 的左、右焦点分别为 F1,F2，若 |F1F2|=2e（e 为 C 的离心率），则（ ）
A. a=1
B. C 的虚轴长为 23
C. e=2
D. C 的一条渐近线的斜率为 33
【答案】AB
【思路】根据双曲线方程找出 a,b,c 之间的关系，利用焦距与离心率的关系解出 a，再逐项判断虚轴长、离心率及渐近线斜率.
【解析】由 C:x2a2−y23a2=1(a>0)，知 F1(−2a,0)，F2(2a,0)，e=2aa=2，
由 |F1F2|=2e，得 4a=4，即 a=1，3a2=3，
所以 C 的虚轴长为 23，故 A，B 正确，C 错误；
由 C 的渐近线方程为 y=±3x，得两条渐近线的斜率分别为 3，−3，故 D 错误.
故选：AB.
16.（2026·山东德州·三模）已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，P 是双曲线右支上一点且在以 F1F2 为直径的圆上，直线 PF2 的斜率为 2，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿.
【答案】52
【思路】由点在以焦距为直径的圆上得出焦半径垂直，利用斜率关系求出两条焦半径的长度，再结合双曲线定义求出离心率.
【解析】因为点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，所以 PF1⟂PF2，所以 kPF1⋅kPF2=−1，
因为 kPF2=2，所以 kPF1=−12，
在 △PF1F2 中，|F1F2|=2c，所以 |PF2|=255c，|PF1|=455c，
根据双曲线的定义，2a=|PF1|−|PF2|=255c，
所以 e=ca=52.
【考点二 方法总结】
1. 双曲线的通径：过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为 2b2a.
2. 点与双曲线的位置关系：对于双曲线 x2a2−y2b2=1(a>b>0)，点 P(x0,y0) 在双曲线内部，等价于 x02a2−y02b2>1；点 P(x0,y0) 在双曲线外部，等价于 x02a2−y02b20,b>0) 上，过点 M 作双曲线的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1.若点 M(x0,y0) 在双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 外，则点 M 对应切点弦方程为 x0xa2−y0yb2=1.
考点三：双曲线的离心率
考法7：利用基本量关系或渐近线求离心率
17.（2026·湖北云学联盟·模拟）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线斜率为 2，焦距为 25，则 C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 25
【答案】C
【思路】利用渐近线斜率得出 a,b 的比例关系，结合焦距求出 a,c 的值，进而求得离心率.
【解析】由题意得 ba=2，即 b=2a，又 2c=25，即 c=5，
所以 a2+b2=c2，即 a2+4a2=5，解得 a=1，
所以 e=ca=5.
故选 C.
18.（2026·广东汕头·一模）双曲线的渐近线方程是 y=±2x，则双曲线的离心率为（ ）
A. 52
B. 25
C. 52 或 5
D. 54 或 25
【答案】C
【思路】由于未指明双曲线的焦点位置，需分焦点在 x 轴和 y 轴两种情况，分别利用渐近线斜率求出对应的离心率.
【解析】因为双曲线的渐近线方程是 y=±2x，
当双曲线方程为 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 时，则 ba=2，则离心率 e=1+b2a2=5；
当双曲线方程为 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 时，则 ab=2，则离心率 e=1+b2a2=52；
综上所述：双曲线的离心率为 52 或 5.
19.（2026·江苏栖霞名校·一模）（多选）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别是 F1(−c,0)，F2(c,0)，直线 l:ax+by−ac=0 与两条渐近线交于 A，B 两点，若 |BF2|=2|AF2|，则 C 的离心率可能是（ ）
A. 2 B. 2
C. 263 D. 233
【答案】AD
【思路】分析直线的特征，发现其过右焦点且与一条渐近线垂直.联立直线与渐近线方程求出交点坐标，分点 B 在射线 AF2 上或射线 F2A 上两种情况，利用距离关系建立关于 a,b,c 的齐次方程求解离心率.
【解析】由题意可知：直线 l 过点 F2(c,0)，且与直线 y=bax 垂直，
点 F2(c,0) 到渐近线 bx±ay=0 的距离 d=bca2+b2=b，
因为 |BF2|=2|AF2|，可知垂足为 A，且 |AF2|=b，|BF2|=2b.
联立方程 ax+by−ac=0y=bax，解得 xA=a2c；
联立方程 ax+by−ac=0y=−bax，解得 xB=a2ca2−b2；
当 a>b 时，点 B 在射线 AF2 上，则 |AB|=3b，
可得 1+−ab2|xA−xB|2=cb|a2ca2−b2−a2c|=3b，整理得 3c2=4a2，
所以双曲线 C 的离心率为 c2a2=43=233；
当 a0,b>0)，
不妨取 A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，
因为 △A1A2B 为直角三角形，且 |BA1|=|BA2|，则 △A1A2B 为等腰直角三角形，
所以 ∠A1BA2=π2，所以 ∠OBA2=π4，则 |OB|=|OA2|，所以 a=b，
双曲线 C 的离心率 e=ca=1+b2a2=2.
故选：A
21.（2026·河南T8联考·检测）设 F1(−c,0),F2(c,0) 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，P 是该双曲线右支上一点，∠F1PF2 的平分线交 x 轴于点 M(c4,0)，令 ∠PF1F2=α,∠F1PF2=β，若 sin(2α+β)=sinα，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 32 B. 52 C. 53 D. 83
【答案】D
【思路】利用角平分线定理求出两焦半径的比值，结合双曲线定义将焦半径用 a 表示.再利用已知三角恒等式推导出三角形内角关系，最后通过余弦定理或几何构造求解离心率.
【解析】∵PM 为 ∠F1PF2 的平分线，且 F1(−c,0),M(c4,0),F2(c,0)，
∴|PF1||PF2|=|F1M||F2M|=54c34c=53，即 |PF1|=53|PF2|.
由双曲线定义可得 |PF1|−|PF2|=2a，即 53|PF2|−|PF2|=2a，解得 |PF1|=5a,|PF2|=3a.
方法一：设 ∠PF2F1=γ，则由正弦定理得 sinγsinα=|PF1||PF2|=53.
在 △PF1F2 中，∵α+β=π−γ，∴sin(2α+β)=sin(π−γ+α)=sin(γ−α)=sinγcsα−csγsinα=sinα.
把 sinγ=53sinα 代入，得 53sinαcsα−csγsinα=sinα……
sinα=sinα…53csα−csγ=1.
由 sinγ=53sinα 得 sin2γ=259sin2α，∴1−cs2γ=259(1−cs2α).
把 csγ=53csα−1 代入，得 1−(53csα−1)2=259−259cs2α,1−259cs2α+103csα−1=259−259cs2α，
化简得 csα=56，此时 csγ=718.
在 △PF1F2 中，由余弦定理得 csγ=(3a)2+(2c)2−(5a)22⋅3a⋅2c=c2−4a23ac=718，即 6c2−7ac−24a2=0.
两边同除以 a2 得 6e2−7e−24=0，即 (2e+3)⋅(3e−8)=0，∴e=83，或 e=−32（舍去）.
方法二：∵sin(2α+β)=sinα，∴2α+β=α+2kπ，或 2α+β=π−α+2kπ,k∈Z，
∴α+β=2kπ，或 3α+β=(2k+1)π.
又 α,β 是 △PF1F2 的内角，∴00) 的两条渐近线与抛物线 C:y2=4x 分别相交于点 O，M，N，其中 O 为坐标原点，若 △MON 的面积为 2，则 E 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【思路】利用对称性设出交点坐标，结合三角形面积求出交点，进而得到渐近线的斜率，再利用离心率与渐近线斜率的关系求解.
【解析】设 M(y024,y0)，y0>0，由双曲线和抛物线的对称性知 N(y024,−y0)，
S△MON=12×2y0×y024=2，解得 M(1,2).
E 的渐近线方程为：y=±bax，即 kOM=ba=2，
∴e=ca=1+(ba)2=5.
25.（2024·广东新南方·联考）已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为 y=f(x)（f(x) 为关于 x 的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(1,2]
【思路】将双曲线能转化为函数图象的条件转化为其渐近线夹角的限制，从而得到渐近线斜率的范围，进而求出离心率的取值范围.
【解析】因为双曲线旋转平移后是函数，所以该双曲线的两条渐近线的夹角 θ≤π2，即渐近线斜率 k=tanθ2≤1，所以 ba≤1，所以 e=1+b2a2≤2，又 e>1，所以 e∈(1,2].
26.（2026·湖北武汉·检测）已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 右焦点 F 也是抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点，两曲线在第一象限的公共点为 M，且 MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2+1
【思路】利用共焦点条件建立参数关系，由垂直条件求出交点坐标，代入双曲线方程后化简为关于离心率的方程求解.
【解析】由题意知，F(c,0)，且 c=p2，即 p=2c，抛物线方程为 y2=4cx，
点 M(c,2c)，代入双曲线方程得 c2a2−4c2b2=1，
即 e2−4e2e2−1=1，(e2−1)2−4e2=0，e2−1=2e，
解得 e=2+1.
【考点三 方法总结】
1. 求离心率的本质就是探究 a,c 之间的数量关系，知道 a,b,c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出 e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
考点四：双曲线的焦点三角形
考法10：利用定义与余弦定理计算焦点三角形的周长与面积
27.（2026·河南周口一高·一模）已知双曲线 C:y24−x22=1 的上、下焦点分别为 F1,F2，点 P 在 C 上，若 ∠F1PF2=π3，则 △PF1F2 的面积为（ ）
A. 433 B. 43 C. 233 D. 23
【答案】D
【思路】可以利用双曲线的定义结合余弦定理求出两焦半径的乘积，再代入三角形面积公式；或者直接使用焦点三角形面积公式求解.
【解析】法一：设 |PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线定义可得 |m−n|=2×4=4，
|F1F2|=2×4+2=26，则 (m−n)2=m2+n2−2mn=16，
cs∠F1PF2=m2+n2−242mn=12，即 m2+n2−mn=24，
则 mn=24−16=8，故 S△PF1F2=12mnsin∠F1PF2=12×8×32=23.
法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得 S=b2tan∠F1PF22=233=23.
故选：D.
28.（2026·广东东莞·一模）（多选）设双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左右焦点分别为 F1,F2，过 F2 作平行于 y 轴的直线交双曲线 C 于 A,B 两点，若 |F1A|=10，|AB|=12，则下列关于双曲线 C 的说法正确的是（ ）
A. 顶点坐标为 (2,0),(−2,0)
B. 虚半轴长为 4
C. 离心率为 2
D. 渐近线方程为 y=±3x
【答案】ACD
【思路】利用通径的长度及直角三角形勾股定理求出焦距，再利用双曲线定义求出实轴长，进而得到方程的各项参数，逐一判断选项.
【解析】因为 AB⟂x 轴，且 |AB|=12，所以 |AF2|=6，
在 △AF1F2 中，|AF1|=10，所以 |F1F2|=102−62=8，即 2c=8,c=4，
由双曲线定义得 2a=|AF1|−|AF2|=10−6=4，即 a=2，
所以 b2=c2−a2=16−4=12，所以 b=23，
所以顶点坐标为 (2,0),(−2,0)，A 正确；
虚半轴长为 23，B 错误；
离心率 e=ca=2，C 正确；
渐近线方程为 y=±bax=±3x，D 正确.
故选：ACD.
29.（2025·广东深圳高中·一模）已知双曲线 C:x2−y2=1，左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作倾斜角为 60∘ 的直线与双曲线 C 交于 M、N 两点，则 △MNF1 的周长为＿＿＿＿＿＿.
【答案】12
【思路】写出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理求出弦长，再结合双曲线定义将周长转化为弦长与实轴长的关系式求解.
【解析】因为 F1(−2,0)，F2(2,0)，
所以直线 MN 为 y=tanπ3(x−2)=3(x−2)，
设 M(x1,y1),N(x2,y2)，
由 x2−y2=1y=3(x−2)，得 2x2−62x+7=0，
则 x1+x2=32,x1x2=72，
所以 |MN|=1+3⋅(x1+x2)2−4x1x2=218−14=4，
因为 |MF1|=|MF2|+2，|NF1|=|NF2|+2，
所以 |MF1|+|NF1|=|MF2|+|NF2|+4=|MN|+4=8，
所以 |MF1|+|NF1|+|MN|=12.
故答案为：12.
【考点四 方法总结】
1. 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.
2. 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即 ||PF1|−|PF2||=2a，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用 S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sinθ，||PF1|−|PF2||=2a 及余弦定理等知识；若未知角，则用 S△PF1F2=12⋅2c⋅|y0|.
3. 双曲线焦点三角形面积为 b2tanθ2.
考点五：双曲线中的距离与最值问题
考法11：利用双曲线定义转化求距离和差的最值
30.已知等轴双曲线的焦距为 8，左、右焦点 F1,F2 在 x 轴上，中心在坐标原点，点 A 的坐标为 (5,3)，P 为双曲线右支上一动点，则 |PF1|−|PA| 的最大值为（ ）
A. 22+2 B. 42+2
C. 22+4 D. 42+4
【答案】B
【思路】先求出双曲线方程，利用双曲线定义将 |PF1|−|PA| 转化为 |PF2|+2a−|PA|，再利用三角形三边关系求出最大值.
【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点 F1,F2 在 x 轴上，中心在坐标原点，
所以可设双曲线的方程为 x2−y2=a2，
又因为双曲线的焦距为 8，所以 c=4，
而 2a2=c2，所以 a2=8，故双曲线的标准方程为 x28−y28=1.
由双曲线的定义可知，|PF1|−|PA|=|PF2|−|PA|+2a≤|AF2|+2a，
由题意可知，F2(4,0)，A(5,3)，a=22，
所以 |AF2|=2，故 |PF1|−|PA| 的最大值为 |AF2|+2a=2+42，
当且仅当 P,A,F2 三点共线且点 P 位于第一象限时取得最大值.
故选：B.
31.（2025·江西鹰潭·二模）已知 F 是双曲线 C:x2−y24=1 的右焦点，P 是 C 右支上一点，若点 A(5,5)，则 |AP|+|PF| 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【思路】利用双曲线定义将点到右焦点的距离转化为到左焦点的距离减去实轴长，进而将折线段和转化为两点间距离求最小值.
【解析】设 C 的左焦点为 F1，因为 P 是 C 右支上一点，所以 |PF|=|PF1|−2a=|PF1|−2，
所以 |AP|+|PF|=|AP|+|PF1|−2.
当 A,P,F1 三点共线时，|AP|+|PF1| 取得最小值，
且最小值为 |AF1|=(25)2+(5)2=5，
故 |AP|+|PF| 的最小值为 3.
考法12：结合圆、向量等几何条件求距离最值
32.已知双曲线 C:x22−y2=1 的左右焦点为 F1，F2，点 M 为双曲线 C 上任意一点，则 |MF1|⋅|MF2| 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【思路】利用双曲线定义将两焦半径建立联系，将乘积转化为关于其中一个焦半径的二次函数，结合焦半径的取值范围求出最小值.
【解析】根据双曲线的定义，设点 M 在双曲线 C 右支上，则 |MF1|−|MF2|=2a=22，设 |MF2|=x(x≥3−2)，再根据二次函数的性质计算可得；由题意知，F1(−3,0)，F2(3,0)，不妨设点 M 在双曲线 C 右支上，则 |MF1|−|MF2|=2a=22，设 |MF2|=x(x≥3−2)，所以 |MF1|⋅|MF2|=(x+22)x=(x+2)2−2，所以当 x=3−2 时，|MF1|⋅|MF2| 的值最小，最小为 1，故选：A.
33.已知点 P 是右焦点为 F 的双曲线 x210−y210=1(x>10) 上一点，点 Q 是圆 (x−8)2+y2=1 上一点，则 |PF|+|PQ| 的最小值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】7+25−210
【思路】利用双曲线定义将 |PF| 转化为 |PF1|−2a，从而将问题转化为求 |PF1|+|PQ| 的最小值，结合圆的几何性质，两点间距离减去半径即为所求最小值.
【解析】设双曲线 x210−y210=1(x>10) 的左焦点为 F1，则 F1(−25,0)，
设圆 (x−8)2+y2=1 的圆心为 D，则 D(8,0)，半径 r=1.
因为双曲线 x210−y210=1(x>10) 表示双曲线 x210−y210=1 的右支(除去顶点)，
由定义可知：|PF|=|PF1|−2a=|PF1|−210，
所以 |PF|+|PQ|=|PF1|+|PQ|−210≥|F1Q|−210
(当且仅当 P,F1,Q 三点共线时等号成立)，
因为 |F1Q|min=|F1D|−r=8+25−1=7+25，
所以 |PF|+|PQ| 的最小值为 7+25−210，
故答案为：7+25−210.
【考点五 方法总结】
1. 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如果发现动点 P 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.
2. 利用几何意义进行转化.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第12题）设双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作平行于 y 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若 |F1A|=13，|AB|=10，则 C 的离心率为＿＿＿＿＿＿.
【答案】32
【解析】由题可知 A,B,F2 三点横坐标相等，设 A 在第一象限，将 x=c 代入 x2a2−y2b2=1
得 y=±b2a，即 A(c,b2a),B(c,−b2a)，故 |AB|=2b2a=10，|AF2|=b2a=5，
又 |AF1|−|AF2|=2a，得 |AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13，解得 a=4，代入 b2a=5 得 b2=20，
故 c2=a2+b2=36，即 c=6，所以 e=ca=64=32.
故答案为：32.
2.（2025·全国一卷·第3题）若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍，则 C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 2 C. 7 D. 22
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为 2a,2b,2c，
由题知，b=7a，
于是 a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则 c=22a，
即 e=ca=22.
故选：D.
3.（2026·全国一卷·第12题）双曲线 5x2−6y2=1 的离心率为＿＿＿＿＿＿.
【答案】666
【解析】将双曲线 5x2−6y2=1 化为标准方程，得 x215−y216=1，则 a2=15,b2=16，
因此 c2=a2+b2=15+16=1130，则离心率为 e=ca=c2a2=113015=116=666. 年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第12题 填空题
5分
直接考察
双曲线的定义与离心率
2025
第3题 单选题
5分
直接考察
双曲线的基本量与离心率
2026
第12题 填空题
5分
直接考察
双曲线的离心率
属性
x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
图形
焦点坐标
F1(−c,0)，F2(c,0)
F1(0,−c)，F2(0,c)
对称性
关于 x,y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
关于 x,y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
A1(−a,0)，A2(a,0)
A1(0,a)，A2(0,−a)
范围
|x|≥a
|y|≥a
实轴、虚轴
实轴长为 2a，虚轴长为 2b
实轴长为 2a，虚轴长为 2b
离心率
e=ca=1+b2a2(e>1)
e=ca=1+b2a2(e>1)
渐近线方程
令 x2a2−y2b2=0⇒y=±bax，焦点到渐近线的距离为 b
令 y2a2−x2b2=0⇒y=±abx，焦点到渐近线的距离为 b
点和双曲线的位置关系
x2a2−y2b2>1,点(x0,y0)在双曲线内(含焦点部分)=1,点(x0,y0)在双曲线上1,点(x0,y0)在双曲线内(含焦点部分)=1,点(x0,y0)在双曲线上