第06讲 双曲线及其性质（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚4
\l "_Tc199181717" 知能解码4
\l "_知识点1 双曲线的定义" 知识点1 双曲线的定义 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2 双曲线的标准方程" 知识点2 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc199181719 \h 4
\l "_知识点3 双曲线的简单几何性质" 知识点3 双曲线的简单几何性质4
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" 5
\l "_题型1 双曲线的定义" 题型1 双曲线的定义5
【方法技巧】没有绝对值只表示一支
\l "_题型2 双曲线的标准方程" 题型2 双曲线的标准方程6
【方法技巧】谁的系数为正焦点就在对应的轴上
\l "_题型3 双曲线的焦点、焦距" 题型3 双曲线的焦点、焦距6
\l "_题型4 双曲线的范围_x0001_" 题型4 双曲线的范围7
\l "_题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴" 题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴8
\l "_题型6 等轴双曲线" 题型6 等轴双曲线 PAGEREF _Tc199181728 \h 9
\l "_题型7 双曲线的渐近线_x0001_" 题型7 双曲线的渐近线10
\l "_题型8 双曲线的离心率_x0001_" 题型8 双曲线的离心率11
【方法技巧】通过几何、定义找abc的关系
\l "_题型9 双曲线的应用_x0001_" 题型9 双曲线的应用12
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知14
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材15
\l "_Tc25045" 知识点1 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 ；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 ；
(3)当a＞c时，集合P是 .
自主检测已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ．
\l "_Tc25045" 知识点2 双曲线的标准方程
自主检测（多选）已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线D．若，，则C是两条直线
\l "_Tc25045" 知识点3 双曲线的简单几何性质
自主检测（多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则B．若是双曲线，则
C．若，则的周长为8D．若，则的离心率为
题型1 双曲线的定义
例1-1已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9B．1C．1或9D．11或9
例1-2设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ．
方法技巧
（1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
（2）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
【变式训练1-1】若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【变式训练1-2】已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，F1F2=2c，点P在C的右支上，且△PF1F2的周长为6c，则PF1=（ ）
A．3c−aB．3c+aC．2c−aD．2c+a
题型2 双曲线的标准方程
例2-1若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A．25B．16C．5D．4
例2-2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
【变式训练2-1】双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式训练2-2·变考法】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 .
题型3 双曲线的焦点、焦距
例3-1（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例3-2已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．6C．4D．8
方法技巧
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)焦距与实轴长的比eq \f(c,a)叫作双曲线的离心率
【变式训练3-1】双曲线和有（ ）
A．相同焦点B．相同渐近线C．相同顶点D．相等的离心率
【变式训练3-2】已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型4 双曲线的范围
例4-1（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例4-2（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．是双曲线B．若，则的斜率为
C．存在点，使得D．不存在区间，当时，
方法技巧
（1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练4-1】（2025·重庆·三模）（多选）已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练4-2·变载体】（多选）已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为B．线段中点的轨迹方程为
C．的最小值为5D．直线与曲线只有一个公共点
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴
例5-1（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ）
A．的实轴长为B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为D．的一个顶点坐标为
例5-2（多选）已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线和直线的斜率的乘积为
D．
【变式训练5-1】已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式训练5-2】（多选）已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．点为的重心
C．D．为等边三角形
【变式训练5-3】若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
题型6 等轴双曲线
例6-1已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2已知双曲线，左、右顶点分别为，，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且，则 ．
方法技巧
(1)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
【变式训练6-1】反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
【变式训练6-2】为双曲线右支上两不同点，则取值范围是 .
题型7 双曲线的渐近线
例7-1（多选）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的离心率为
B．曲线的渐近线方程为
C．若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则
例7-2（2025·上海·模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ．
方法技巧
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
【变式训练7-1】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-2】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-3】（25-26高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型8 双曲线的离心率
例8-1（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（ ）
A．B．1C．D．2
例8-2（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
方法技巧 （1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练8-1】如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

A．B．
C．D．
【变式训练8-2·变考法】（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的渐近线方程为B．直线轴
C．双曲线的方程为D．的最小值为
【变式训练8-3】（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ．
题型9 双曲线的应用
例9-1已知曲线，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线与直线无公共点
B．曲线与圆有三个公共点
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到直线的最大距离是
例9-2年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.
【变式训练9-1】由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ．
【变式训练9-2】某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm.
【变式训练9-3】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东B．北偏东C．北偏西D．北偏西
1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
1.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线上的一支上C．抛物线上D．圆上
2.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．

3.指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率．
4.动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.
5.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点．
6.已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.
7.如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？

考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)
3.了解双曲线的简单应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第3题，5分
全国二卷，第11题，6分
天津卷，第9题，5分
北京卷，第3题，4分
新课标I卷，第12题，5分
全国甲卷（理数），第5题，5分
新课标I卷，第16题，5分
全国甲卷（文数），第8题，5分
北京卷，第12题，5分
天津卷，第9题，5分
考情分析：
双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.深入理解双曲线的定义，明确其与椭圆定义的区别与联系。能够精准阐述双曲线定义中动点到两定点距离之差的绝对值为定值（小于两定点间距离）这一关键特征，并能运用定义解决相关问题，如根据给定条件判断点的轨迹是否为双曲线。
2.全面掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。理解这些性质与双曲线方程之间的内在联系，例如通过方程判断双曲线的范围，利用对称性简化问题求解过程。能准确求出双曲线的渐近线方程，并理解渐近线对描绘双曲线形状的重要作用。深入理解离心率的定义及它对双曲线形状的影响，能够根据已知条件求出离心率的值或范围
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1 ，
A2 .
顶点坐标：
A1 ，
A2 .
渐近线
y＝ .
y＝ .
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的 .
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)