新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第43讲 双曲线及其性质（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第43讲 双曲线及其性质（精讲）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了知识点梳理，双曲线的方程，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；（3）时，点的轨迹不存在．注： = 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
【常用结论】
1.双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
3.双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
4.焦点三角形
双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5.双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
二、题型分类精讲
题型一 双曲线的定义及其应用
策略方法 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【典例1】（单选题）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．
【详解】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.
【详解】由于，因此满足，
的动点P的轨迹均不是双曲线，
满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，
而满足的动点P的轨迹才是双曲线．
故选：B．
2．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【答案】B
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.
而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.
【详解】如图，，，，
所以.根据双曲线定义，
所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），
方程为.
故选:C.
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别记为，，已知，，为坐标原点.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和双曲线的定义可得，，利用勾股定理和可得，即可求解.
【详解】因为，由双曲线的定义得，
所以，，
因为，所以，
又，
所以，，，所以.
故选：B.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7B．C．8D．
【答案】D
【分析】用双曲线第二定义与第一定义进行转化，即可求得最小值.
【详解】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，
由双曲线方程得，所以.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积.
【详解】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出、，依题意，设为右支上一点，为右焦点，连接、，则，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得.
【详解】双曲线，则，，，
由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，
则四边形为矩形，所以，
设，，则，，
所以.
故选：A
11．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值.
【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
12．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案.
【详解】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
13．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出即可.
【详解】由双曲线得出.
因为，所以.
作于C，则C是AB的中点.
设，则由双曲线的定义，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故选：C

二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ．
【答案】
【分析】首先根据可判断点只能在左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.
【详解】在双曲线中，，，，因为，
所以点只能在左支上，则，得，
故答案为：18
15．（2023·高三课时练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则= .
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求得.
【详解】因为双曲线E，所以，则，
又因为，则，即或，
又，故.
故答案为：9.
16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为 ．
【答案】6
【分析】利用双曲线的定义，即可求解.
【详解】,，,
易得双曲线的实轴长焦距.
因为都在右支上，则，
的周长,
.
故答案为：6
17．（2023·上海·高三专题练习）设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的左支上，直线与的左支相交于另一点N，且，则 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率公式求出，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的左支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：.
18．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
【答案】34
【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长.
【详解】因为，所以，
故，则，
又，故，则，，
所以的周长为.
故答案为：34.
19．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.
【详解】由题意知，.
设双曲线的右焦点为，
由是双曲线右支上的点，则，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立.
又，则.
所以，的最小值为.
故答案为：.

20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2 y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
【答案】
【详解】试题分析：根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为
考点：双曲线的简单性质．
21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，的值为a，m＝－1时，的值为b，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据中位线的性质和椭圆的定义求，根据中位线的性质和双曲线的定义求，由此可求.
【详解】设曲线C的左右焦点分别为，，
若m＝1，则曲线C为椭圆，由中位线及椭圆定义知，，
所以；
若m＝－1，则曲线C为双曲线，由中位线及双曲线定义知，，所以
，，
a＋b＝或．
故答案为：或.


题型二 求双曲线的标准方程
策略方法 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线；
(2)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且它的一个顶点坐标为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等轴双曲线的方程为，根据双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出双曲线的方程；
（2）求出、的值，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【详解】（1）解：设等轴双曲线的标准方程为，则，可得，
因此，所求双曲线的标准方程为.
（2）解：设椭圆的标准方程为，则，，，
因此，所求椭圆的标准方程为.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1B．－＝1
C．－＝1D．－＝1
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程.
【详解】由题意，，，则，，
由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）以为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线的标准方程为(a>0，b>0)，则有a2+b2=c2=3，将点 P(2,1)代入方程即可求解．
【详解】由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，
设双曲线的标准方程为(a>0，b>0)，
则有a2+b2=c2=3，，解得a2=2，b2=1，
故所求双曲线的标准方程为
故选：A
3．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据焦点坐标与渐近线方程，列出方程组，求出，得到C的方程.
【详解】由题意得：，解得：，
故C的方程为：.
故选：D
5．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将点代入得出关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解.
【详解】将代入双曲线标准方程得，又，，联立解得，故双曲线的标准方程为.
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得
故双曲线的标准方程为．
故选：B．
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）

A．B．24C．32D．
【答案】D
【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.
【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.
设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，

所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.
故选：D
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知双曲线：的上焦点为F，点M 在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中点О为坐标原点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据是面积为的等边三角形可得的坐标，进而根据双曲线基本量间的关系求解即可.
【详解】因为是面积为的等边三角形，故，即半焦距，
故的纵坐标为1，不妨设，
则所在的渐近线方程为，
故，.又，解得，，
则的方程为.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．
【详解】，是的中点，所以，
，则，
，解得，
所以双曲线方程为．
故选：D．
11．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．
【详解】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，
且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
，
∴双曲线方程为．

故选：D
12．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.
【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，
当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，
若将点代入，得①，
又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.
当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，
联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
故选：C.
13．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若的周长为24，，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，利用双曲线的定义结合通径分析运算可得，即可得结果.
【详解】设双曲线的半焦距为，由，可得，
将代入双曲线可得
由双曲线可知，，，
可得，
所以的周长为
，
即，整理得，
所以，，
所以双曲线的标准方程为．
故选：D．
14．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
15．（2023·四川凉山·三模）已知以直线为渐近线的双曲线，经过直线与直线的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6B．C．D．8
【答案】C
【分析】由题意可得双曲线过点，分类讨论，分别求解当双曲线的焦点在x轴、y轴时的标准方程，结合离心率的定义和实轴的概念计算，即可求解.
【详解】由，解得，则双曲线过点.
若双曲线的焦点在x轴，设为，
由双曲线的渐近线方程为，得，即，
将代入方程，得，
有，无解，不符合题意；
若双曲线的焦点在y轴，设为，
由双曲线的渐近线方程为，得，即，
将代入方程，得，
有，解得，
所以双曲线的实轴长为.
故选：C.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
二、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
18．（2023·全国·高三专题练习）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由焦点坐标得，由定义得，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在轴上，且，
因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：，则，
则，所以双曲线的标准方程为
故答案为：.
19．（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则的标准方程为 .
【答案】
【分析】求出焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，
渐近线方程为，即，
则，解得：，
则，
所以的标准方程为.
故答案为：.

20．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的一个顶点为，可得焦点在轴上，且，根据渐近线方程
求出的值即可得双曲线的标准方程
【详解】由双曲线的一个顶点为，
所以可得双曲线的焦点在轴上，且，
由双曲线的一条渐近线方程为
所以所以
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
21．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ．
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】取，且x轴，根据通径和双曲线的定义分析判断.
【详解】如图，取，且x轴，
可得，，
即，为正三角形，
符合题意，此时双曲线的方程为.
故答案为：.

22．（2023·重庆·统考模拟预测）双曲线：的焦距是4，其渐近线与圆：相切，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，从而得解.
【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，其两条渐近线为，即，
圆的圆心为，半径为，
又双曲线与圆相切，所以，
又，所以，，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：.
23．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】由题知双曲线中，设双曲线的方程为，因为点在上，代点求解即可；
【详解】由题知，双曲线的一条渐近线方程为，即，
设双曲线的方程为，
因为点在上，
所以，即，
所以，即，
所以双曲线的方程为，
故答案为：
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为 .
【答案】
【分析】先确定，两点在双曲线上，代入双曲线方程中求得，即可确定C的方程.
【详解】根据双曲线的对称性可知，
点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，
所以解得
所以双曲线C：，
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点，
于是点与点也是双曲线的两个焦点，
因此，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9
26．（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ．
【答案】
【分析】设双曲线方程，由M和A求得|AM|，又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP＝45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，求得P点坐标，代入椭圆方程求得b，求得双曲线方程．
【详解】当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，
所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为，
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，
所以两点的坐标分别为：，
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到，
所以双曲线方程为：.
故答案为：
题型三 双曲线的简单几何性质
策略方法 处理双曲线的简单几何性质问题思路
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【典例1】（单选题）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，且，
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的标准方程即得解.
【详解】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】由求出，再分析求解即可.
【详解】由题意得，解得，所以双曲线的虚轴长为.
故选：C .
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
【答案】C
【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断.
【详解】对A，C的实轴长为，A错；
对B，C的渐近线方程为，B错；
对C，C的离心率为，C对；
对D，C的焦点的坐标为，D错.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．12D．6
【答案】B
【分析】根据双曲线的焦距得到c=6，根据双曲线为等轴双曲线得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到实轴长.
【详解】因为2c=12，所以c=6．因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故实轴长为6．
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出满足的方程，求得a的值，即得答案.
【详解】由题意知，的焦点在轴上，所以直线与轴的交点是的一个焦点，
故；
又因为直线与的一条渐近线平行，故的一条渐近线的斜率为-2，
即，联立，解得，
因此的实轴长为，
故选：C.
6．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，，点P是与在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为；
②双曲线的虚轴长为；
③双曲线的离心率恰好为椭圆离心率的两倍；
④是一个以为底的等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】由焦点求得参数，即可根据定义判断①②③，联立椭圆、双曲线求得P点，即可求得各边长进行判断.
【详解】因为椭圆和双曲线有公共的焦点，，所以，解得，
对①②，椭圆的短轴长为，双曲线的虚轴长为，①②正确；
对③，双曲线的离心率，椭圆离心率的，，③正确；
对④，由，解得，则，
，，所以是一个以为底的等腰三角形，④正确．
故选：A
7．（2023秋·北京·高三北京一七一中校考开学考试）“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.
【详解】若双曲线：的虚轴长为2，
则当且时，即时，，解得，
当且时，即时，，解得，
所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，
故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.
故选：A.
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
因为，，
所以，
又，所以，解得，舍去，则.
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则曲线与曲线的
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【详解】试题分析：，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，
因此，两双曲线的焦距相等，故选D.
考点：本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.
10．（2023·高三课时练习）已知，则双曲线：与：的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求得双曲线与的实轴长，虚轴长，离心率，焦距即可求解.
【详解】双曲线：，可知，，
则实轴长，虚轴长，焦距，离心率；
双曲线：，可知，，
则实轴长，虚轴长，焦距，离心率；
所以两条双曲线的焦距相等．
故选：D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；
【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．
故选：C
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为B．的顶点坐标为
C．的离心率为D．的焦点到渐近线的距离为3
【答案】BC
【分析】由题意可得，，，根据焦点在轴上，逐一判断即可.
【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，
所以，，，
所以的焦点坐标为、，故A项错误；
顶点坐标为、，故B项正确；
离心率，所以C项正确；
渐近线方程为与，
焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.
故选：BC.
13．（2023秋·河北·高三校联考开学考试）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A．C的实轴长为4
B．C的离心率为
C．C的焦点到渐近线的距离为
D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
【答案】AC
【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，结合选项逐一判断，A,B通过方程可得正误，C通过点线距可得正误，通过最短弦长和对称性可得D的正误.
【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，．
所以C的方程可化为，则，，即，．
对于A，C的实轴长为4，故A正确；
对于B，离心率为，故B错误；
对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确；
对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为．
根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误．
故选：AC.
14．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为B．渐近线方程为
C．虚轴长为4D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的定义及基本概念求解即可.
【详解】对于A，已知双曲线，则，A选项错误；
对于B，，所以渐近线方程为，B选项正确；
对于C，虚轴长，C选项正确；
对于D，由定义可知，若，
则或（舍），D选项正确；
故选：BCD.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.
【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，
实半轴长为1，实轴长为，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
由于可能在的不同分支上，则有，C错误；
焦距为正确.
故选：ABD.
16．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知双曲线E，则（ ）
A．，E的渐近线方程为B．，E的离心率为
C．，E的离心率为D．，E的虚轴长为2
【答案】AC
【分析】分两种情况下，双曲线的渐近线方程，离心率，虚轴长即可判断选项正误.
【详解】当时，E的方程可化为，此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为2；
当时，E的方程可化为,此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为4，故AC正确，BD错误.
故选：AC．
17．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）设、分别是双曲线：的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，的离心率是
C．当时，到渐近线的距离随着的增大而减小
D．当时，的实轴长是虚轴长的两倍
【答案】AC
【分析】根据题意可得， 根据可推得A项；当时，根据前面的结果，可推出，进而求出离心率可判断B项；求出到渐近线的距离，可判断C项；将代入，可得到、的值.
【详解】由已知可得，，所以，，即，所以，故A项正确；
当时，，则，又，所以，B项错误；
双曲线的渐近线方程为.当时，根据双曲线的对称性，只求到渐近线，即到的距离，又，则当增大时，变小，变小，所以C项正确；
当时，，，则，，则实轴长，虚轴长，所以D项错误.
故选：AC.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求的最小值，由为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为即可求最小值.
【详解】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；

D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
三、填空题
19．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线基本量的关系求解即可.
【详解】依题意可得，，则，，
所以该双曲线的虚轴长为．
故答案为：
20．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的虚轴长为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率求得半焦距，再根据的关系即可求得答案.
【详解】双曲线表示双曲线，则，
由题意得双曲线的实半轴长，由于，则，
故双曲线的虚轴长为，
故答案为：
21．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）双曲线的顶点坐标为 .
【答案】
【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标.
【详解】因为为双曲线方程，
所以，即，
所以双曲线的顶点坐标为.
故答案为：
22．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为 .
【答案】4
【分析】由双曲线的渐近线方程得出，即可得出结果.
【详解】由题意可知，双曲线的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为.
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 .
【答案】
【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.
【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得.
故双曲线的实轴长为：.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ．
【答案】
【分析】设双曲线方程，由M和A求得|AM|，又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP＝45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，求得P点坐标，代入椭圆方程求得b，求得双曲线方程．
【详解】当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，
所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为，
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，
所以两点的坐标分别为：，
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到，
所以双曲线方程为：.
故答案为：
25．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】.
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，
由，得，即恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线的斜率，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：[1，+∞）．
题型四 双曲线的渐近线
策略方法 求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x．
【典例1】（单选题）已知双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得渐近线的斜率，然后结合向量的夹角公式求得正确答案.
【详解】因为C的离心率为，
所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别为，
，即直线的倾斜角大于，
则可取两条渐近线上的向量，，
渐近线所成的锐角即这两个向量的夹角，
.
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列双曲线中，渐近线方程为的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
2．（2023·全国·高三对口高考）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值．
【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．
3．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线中a，b，c的关系先求出b，进而可求焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题意，，又，解得.
所以双曲线的一条渐近线方程为，即.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.
【详解】由渐近线，结合双曲线方程，
∴，则，可得，
故选：A.
5．（2023·云南·校联考模拟预测）双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.
【详解】由双曲线，可得，
所以双曲线的渐近线的方程为，
所以两渐近线的夹角为.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为，
双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．
故选：B．
7．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由题可得坐标，根据可得答案.
【详解】由题，，则.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则.
故选：B
8．（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可得，故由题意可得，
渐近线方程为.
故选：D
9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】双曲线可得，，，
所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，
因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，
所以，解得.
故选：B.
10．（2023·河南·统考二模）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，列出相应的等量关系式，从而求得，进一步求得双曲线的焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
根据圆的圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，
从而求得双曲线的方程为，所以，即，故此双曲线的焦距为，
故选：D
11．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的对称性得出，结合余弦定理，得出，进而得出答案.
【详解】由双曲线的对称性可知，
点M，N在双曲线C的右支上，且；
又，故.
连接，则，故，
在中，
由余弦定理可得，
即，
整理得，解得，故，
故双曲线C的渐近线方程为.
故选：D
12．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线的一条渐近线斜率为，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设正方形的边长为，曲线以正方形顶点为焦点，过正方形顶点，得出点的坐标代入曲线的方程，再将代入化简，求出即可得出的值．
【详解】设正方形的边长为，曲线以正方形顶点为焦点，过正方形顶点，如图所示，
则，代入曲线的方程，，即，
又因为，
所以，即，
等式两边同时除以得，
设，则，即，
解得或（不合题意，舍去），
即，所以，
故选：C．
13．（2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.
【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形，
则，又，则.
所以双曲线的渐进线方程为：.
故选：B

14．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（ ）
A．0B．4C．7D．12
【答案】B
【分析】首先得出双曲线的渐近线方程，右焦点及左顶点的坐标，再将渐近线方程与圆方程联立求出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可得出答案．
【详解】由题可知，与圆在第一象限有交点的双曲线的渐近线方程为，双曲线的右焦点坐标为，左顶点坐标为，
由得，，
因为双曲线的一条渐近线与圆交点在第一象限，
所以，即，，
所以点的坐标为，
因为，，
所以，
故选：B．
15．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.
【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，
则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.
故选：A
16．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义得到的长,再在中利用余弦定理求出的关系,从而得到的值即可得到结果.
【详解】由双曲线的定义可得:,则,
在中由余弦定理得,
即:,
即,
因为,
所以,
即的渐近线方程为.
故选:C.
17．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．B．－1C．1D．3
【答案】C
【分析】由离心率求出，即可得渐近线方程，求两直线交点得的坐标，设AB的中点为P，根据即可求解.
【详解】由离心率为，有，故双曲线的渐近线方程为.
由解出；由解出.
设AB的中点为P，则点P的坐标为，且，
于是，解出.
故选:C.

18．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．或0B．－2C．或0D．3
【答案】C
【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求坐标，进而求其中点P的坐标，根据及斜率两点式求参数，注意讨论、两种情况.
【详解】由离心率为，有．
由得：A的坐标为；
由得：B的坐标为．
设线段AB中点为P，则，且P的坐标为．

当时，，解出．
当时，符合条件．
综上所述，或．
故选：C
19．（2023·四川·校联考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【详解】因为，所以∽．
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以．
由双曲线定义知，即，解得．
又由，得，
所以，即是等腰三角形．
由余弦定理知，
即，化简得，所以，
则双曲线的渐近线方程为．

故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.
20．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程，
得,由直线为双曲线的一条渐近线，
得,解得,得.
由双曲线的定义可得①，
②，
①②可得,
因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,
所以,得.
故选：C.

21．（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知双曲线，为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条浙近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围从而得解.
【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，
设是双曲线上任意一点，则，
所以，则，
由点线距离公式得，
，
所以，即的最小值为.
故选：A.
22．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）

A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，由双曲线的定义得，，
根据，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，进而求得双曲线的渐近线．
【详解】设，则，
由双曲线的定义得，，
又由得，即，解得，所以，
在直角中，由勾股定理得，即，
整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．
故选：B．
23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题设条件可得四边形为矩形，设，，根据双曲线定义和△ABF的面积可得，故可求的值.
【详解】如图，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，
所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，
所以AB与相等且平分，所以四边形为矩形，
所以．设，，则，
所以．因为，所以．
因为△ABF的面积为，所以，得，所以，
得，所以，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：D．

二、填空题
24．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】根据方程表示双曲线可得，化为标准方程，得到，由可求出结果.
【详解】由表示双曲线，可知，
化为标准方程为，
所以，，
所以，，
所以，所以.
故答案为：.
25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为 .
【答案】（或）
【分析】由双曲线方程得渐近线方程，进而求出结果.
【详解】因为双曲线方程为，所以渐近线方程为，即渐近线的斜率为或，
所以与渐近线平行的直线方程为或，
即或.
故答案为：（或）.
26．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.
【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
27．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为 ．
【答案】2
【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得得实轴长．
【详解】直线与轴交点为，斜率为，
由题意，解得，
所以双曲线的实轴长为．
故答案为：2.
28．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】由离心率得到，得到渐近线方程，由点到直线距离公式得到，进而求出，，求出双曲线方程.
【详解】由题可知，故，所以，
则渐近线方程为，即，
焦点到渐近线距离为1，则，解得，
所以，
由得，所以双曲线方程为．
故答案为：
29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为，若为等腰三角形，则直线的斜率的大小为 .
【答案】
【分析】联立圆与渐近线方程，表示出点坐标，再根据等腰三角形性质计算出双曲线离心率，将b、c由a表示出来，最后根据斜率公式计算即可.
【详解】由题可知以为直径的圆方程为：
根据题意联立方程：，解得点坐标为，
由等腰三角形，得点在线段的中垂线上，即，
由得，即，得，
所以，，
则.
故答案为：.
30．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由等差数列定义确定关系，由此可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，
所以，即，又，
所以，故，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知为双曲线的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则此双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】设，在中，根据，可以求出的长，根据双曲线的定义可以求出，求出离心率，利用，可以求出之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设，所以，，由双曲线定义可知：
，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
32．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的一条渐近线平行，过作，垂足为，则的面积为 .
【答案】
【分析】结合题意可得，进而得到，，，结合直线的斜率和三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意可知，，所以，，即，
所以，
因为直线的斜率为，且，
所以，，
又到直线的距离为，
所以的面积为：.
故答案为：.

33．（2023·安徽安庆·统考二模）已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】首先根据双曲线的概念结合题意得到，设，结合勾股定理得到，，从而得到，再求离心率即可.
【详解】如图所示：
由双曲线的定义，，
所以.
因为，，成等差数列，
所以，即，.
令，在中，，
所以，即，
解得，即，，
又在中，，，
又，所以，即，.
故答案为：
34．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为
【答案】
【分析】根据题意分析可得，即可求得，再联立方程，分和两种情况讨论，分析运算即可得答案.
【详解】由双曲线 可得，且双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线为，
∵双曲线的一条渐近线方程为，即，
可得，解得，
所以双曲线.
联立方程，消去y得，
当，即时，则，解得，
故直线与只有一个公共点，符合题意；
当，即时，
则，解得或，
故直线与有两个公共点，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
35．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出a，b的关系即可作答.
【详解】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c，
双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有，
在中，由余弦定理，
得，整理得，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：

36．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则 .
【答案】11
【分析】将双曲线化为标准方程，求出该双曲线的渐近线方程，再利用已知条件求出的值，最后利用双曲线的定义求出即可.
【详解】由得双曲线的标准方程为：
，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：
，
又的一条渐近线过点，
所以，
因为点在上，，为双曲线的上、下焦点，
所以，
由，所以，
所以或（舍去），
故答案为：11.
37．（2023·江苏·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交C右支于M，N两点，且.写出C的一条渐近线方程 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】双曲线定义结合已知可得，分点N在第四象限和第一象限讨论，利用直线斜率求出点N坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率，进而可得渐近线斜率和渐近线方程.
【详解】易知，过点斜率为的直线方程为，
如图，当点M在第一象限，点N在第四象限时，
因为，所以，
作轴，垂足为H，记，则，即，
代入，得，
所以，所以，，
将点N坐标代入双曲线方程得，
整理得，即，
两边同时除以得，
因式分解得，，则，所以，
故，渐近线方程为

易知，当点N在第一象限，点M在第四象限时，点N坐标为
代入双曲线方程得
整理得，即，
两边同时除以得，
因式分解可得，，则，所以，
故，渐近线方程为，

故答案为：（答案不唯一）
38．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点是双曲线C：右支上的一点，过点Р作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的最小值是，则 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得出渐近线方程，从而得出，设，由点到直线距离公式得出和，再根据余弦定理和基本不等式得出，结合的最小值是，即可求出的值．
【详解】由题意，知双曲线：的渐近线方程为，其中一条渐近线的倾斜角为，
不妨设点在直线上，点在直线上，
所以，
则，设，则，即，
则，，
所以，
因为，
所以
，当且仅当时取等号，
所以，解得，
故答案为：．
题型五 双曲线的离心率
策略方法 求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
【典例1】（单选题）已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【分析】首先求出渐近线方程，依题意可得点在渐近线上，即可得到，再根据离心率公式计算可得.
【详解】双曲线的渐近线为，设，，则，
因为点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，
所以点在渐近线上，所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，
所以离心率.
故选：A
2．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率是2，则（ ）
A．12B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.
【详解】由题意可得，
解得，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】结合双曲线的定义列式求得双曲线的离心率.
【详解】.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.
【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，
将P点坐标代入得： ，又 ；
故选：D.
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率
【详解】由是一个等边三角形，可得
即，则有，即
则双曲线C的离心率
故选：A
6．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2或B．C．D．或2
【答案】A
【分析】由双曲线的性质求解．
【详解】由题意得双曲线的渐近线为，
而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或，
或2，
故选：A
7．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.
【详解】由题意，在双曲线C: 中，右焦点为，FN垂直于轴，

由题意可知：，
因为是BF中点，则，可得，
且三点共线，则∥，可得，即,
所以.
故选：A.
8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可.
【详解】设点的横坐标为，，，即，
由题可知，，得．
故选：D.
9．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知双曲线：（，），、分别为左、右焦点，点在双曲线上，，到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线的定义和离心率运算求解即可.
【详解】设双曲线的半焦距为，
由题意可知：，则，
可得，
因为，则，即，整理得，
所以双曲线的离心率是.
故选：B.
10．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知圆与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆方程可得出圆心坐标和半径，利用直线和圆相切可知圆心到渐近线距离等于半径，即可计算出，可得离心率.
【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径；
双曲线的渐近线方程为，
所以圆心到渐近线的距离为1，即，可得，
即，所以离心率.
故选：C
11．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，从而可得过点且与直线垂直的直线方程，令，求出，再结合已知条件，根据离心率公式即可得解.
【详解】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则，
则，所以，
所以此双曲线的离心率是.
故选：C.

12．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可设，求得，运用勾股定理，可得的周长，结合，，的关系，可得，可得最大值，即可求得双曲线的离心率．
【详解】设，由代入双曲线的方程可得，
则有，，，
，，
由题意可得，
结合，上式化简可得，
当时，取得最大值4，
，，，
双曲线离心率．
故选：A．
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出点的坐标为，得，再根据为的平分线，推出，，由此可得离心率.
【详解】因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
设，因为点在渐近线上，所以，
因为，所以，所以，所以，
又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，
所以，所以，所以，
所以，可得，

故选：C.
14．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出，再根据三角形面积公式得到即可.
【详解】
由题知，双曲线的渐近线为，
得，，
，
，
，
故选：A.
15．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式列出不等式，求出，得到离心率取值范围.
【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，
则到直线的距离分别为，，
故，解得，
故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
16．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，虚轴为．若四边形的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质分析可得，结合之间的关系分析运算即可去.
【详解】因为，
由对称性可得：四边形为菱形，且，
所以，即，
可得，整理得，
即C的离心率.
故选：A.
17．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上)，且，双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义、平面几何的性质和余弦定理解决本题.
【详解】如图所示，为双曲线右焦点，则由，
得四边形为平行四边形，又由，可得，可得四边形为矩形.
设，则,
，
在中，由余弦定理得，
即，
即 ①，
在Rt中，，
即②，
联立①②解得，
代入② ，得，解得.
故选：A.
18．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，
所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故选：D.
19．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】C
【分析】连接，联立方程组求得，结合，得到，化简得到，进而得出离心率的方程，即可求解.
【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，
根据题意，点在第一象限，将代入，
可得，
可得
由求根公式，可得，
因为，且，所以，所以点
由，可得，即，
因为，所以，即，化简得，
两边同除以，得，解得或（舍去）．
故选：C.

20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】设渐近线的倾斜角为，可得，结合求出，再利用余弦定理可得关于的齐次式，即可求得答案.
【详解】由题意知点P在第一象限且在双曲线C：的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为，则，即，

结合，可得，
结合题意可知，故，
又，，
在中利用余弦定理得，
即，
即，即，
故，解得或（舍去），
故选：B
21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】联立方程组求得，根据题意得到，利用，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】如图所示，由双曲线的渐近线方程为，
联立方程组，解得，
因为且另一条渐近线与直线垂直，可得，
整理得，又由，所以，
解得，所以离心率为.
故选:B.

22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用渐近线的斜率求得，再利用余弦定理求得，进而求得，从而得到关于的齐次方程，解之即可得解.
【详解】设双曲线C的半焦距为，如图，

由题意可得，直线OM的方程为，有，即有，
又，解得，
在中，，
由余弦定理，得，
因此，即有，
又，则，，
又，于是，
所以，即，则，
两边同时除以，得，即，解得（舍去）或，
所以该双曲线的离心率，
故选：B.
23．（2023·四川成都·校考模拟预测）以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或2B．2或C．D．
【答案】B
【分析】先由双曲线与圆的对称性得到，再将代入，从而得到，，进而结合得到关于的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率的方程即可得解.
【详解】依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形为矩形，如图，
不放设点位于第一象限，则，
因为双曲线的渐近线方程为，则，
以双曲线的实轴为直径的圆的方程为，则，
将代入，得，
则，即，所以，则，故，
又，所以，则，则，
所以，则，即，
所以，即，解得或，
因为，所以或.
故选：B.
二、填空题
24．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 .
【答案】
【分析】根据双曲线标准方程的性质和离心率的定义即可求解.
【详解】由题意得，，又，则.
故答案为：
25．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 .
【答案】
【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围.
【详解】因为双曲线（，）的渐近线为，
因为，要使直线与E无公共点，则，
所以，，所以双曲线的离心力的范围
所以满足条件的离心率的范围是，
故答案为：
26．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】由离心率得到，得到渐近线方程，由点到直线距离公式得到，进而求出，，求出双曲线方程.
【详解】由题可知，故，所以，
则渐近线方程为，即，
焦点到渐近线距离为1，则，解得，
所以，
由得，所以双曲线方程为．
故答案为：
27．（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据题意，设点P的坐标为，根据，求得点P的坐标为，再由的斜率为，得到，化简得到离心率的方程，即可求解.
【详解】由双曲线，可得渐近线方程为，
设点P的坐标为，且，
因为，即，解得，即，
所以点P的坐标为，
又因为直线的斜率为，所以，可得，
两边平方得，即，
两边同时除以，可得，即，
解得或（舍去）．
故答案为：.
28．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，
∴，，，
．
故答案为：
29．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，
的中点在渐近线上，
则，又，
所以，
所以，所以.

故答案为：.
30．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】作出辅助线，得到，求出，求出离心率.
【详解】由题知，过作轴于，则，
，
，解得，
故答案为：
31．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）点是双曲线的右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】由焦点到渐近线的距离为，然后根据圆的性质可得，进而可得离心率．
【详解】因为圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，为直角三角形，
所以圆F与渐近线相交所得弦长，
由题可得双曲线的一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以，得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，A为双曲线的右支上一点，点A关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由对称性和双曲线定义得到，，，在中，，由余弦定理列出方程，求出，得到离心率.
【详解】由对称性可知：，故，
由双曲线定义可知：，即，
所以，
又因为，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，
故离心率为.
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若，且，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】利用双曲线的定义，结合，且，可求得，进而得到答案.
【详解】因为在双曲线的左右支上，所以，
①②得，，即，又，所以，得，又,
所以离心率.
故答案为：.
34．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】的周长不小于18，可得的最小值不小于13，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于13，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得.
因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13.
设为双曲线的左焦点，可得，
故，
当三点共线时，取最小值,即，
所以,即.
因为,所以.
又,所以.
故答案为:.
35．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）经过原点且斜率为的直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
【答案】
【分析】直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则有直线l的斜率大于渐近线的斜率，即可求解.
【详解】双曲线：的焦点在轴上，
渐近线方程是，
结合该双曲线的图象，由直线与双曲线恒有两个公共点，
可得出：，即，
所以离心率，
即离心率的取值范围是．
故答案为： ．
36．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式即得.
【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
37．（2023·四川广安·统考模拟预测）过双曲线（）的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P，为左焦点，直线的倾斜角为，则双曲线的离心率e为 .
【答案】
【分析】依题意表示出焦点坐标与渐近线方程，令，即可得到点坐标，再根据两点斜率公式得到，最后根据离心率公式计算可得.
【详解】解：依题意右焦点，双曲线的渐近线为，令可得，即，
又左焦点，所以，所以，
所以离心率.
故答案为：
38．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，，
所以为等边三角形，所以
由双曲线定义得，
又由，解得，
则且，
在中，由余弦定理得，
整理得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
39．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线E上，为直角三角形，O为坐标原点，作，垂足为N，若，则双曲线E的离心率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答.
【详解】依题意，为直角三角形，显然，否则与重合，
若，由，得，则为的中点，与矛盾，
于是，即轴，令双曲线半焦距为c，由，得，
因此，，由，得，
显然有，则，即，整理得，
则，而，解得，
所以双曲线E的离心率为.

故答案为：
40．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线右支上且轴，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用表示出点的坐标，结合双曲线方程可表示出点坐标，利用可构造关于的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】不妨设点在渐近线上且位于第一象限，如图所示，

与渐近线垂直，直线的方程为：，
由得：，即，
设，由轴得：，
，
，，又，
，整理可得：，
双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
41．（2023秋·四川内江·高三期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的渐近线交于两点，点在第一象限，两点到轴的距离之和为，若以为直径的圆过线段的中点，则双曲线的离心率的平方为 ．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式可求得中点的纵坐标；根据点在圆上及可求得，代入直线方程可求得斜率；利用两点连线斜率公式可化简得到，由此可求得，根据双曲线可求得结果.
【详解】由题意可设：直线，，，中点，

两点到轴的距离之和为，；
由得：，，
以为直径的圆的方程为，，
解得：或（舍）；
，解得：；
，
，即，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率问题的求解，解题关键是能够利用直线的斜率为桥梁，分别根据点在直线上和两点连线斜率公式表示出斜率，由此构造等式求得的值.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆，过点作圆的切线交双曲线的右支于点，点为的中点，且，则双曲线的离心率是 .
【答案】
【分析】作出图象，由，求得，得到，根据双曲线的定义，得到，结合及离心率的定义，转化为，即可求解.
【详解】因为点为的中点，且，可得，
设直线与圆相切于点，则且，
如图所示，，可得，且，
所以，所以，所以，
由双曲线的定义，可得，即，
所以，可得，整理得，
即，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.

①双曲线的定义及其应用
②求双曲线的标准方程
③双曲线的几何性质
④双曲线的渐近线
⑤双曲线的离心率
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．