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新高考数学一轮复习讲义 第43讲 双曲线及其性质（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习讲义 第43讲 双曲线及其性质（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第43讲双曲线及其性质原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第43讲双曲线及其性质含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为端点的两条射线；当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线；（3） SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹不存在．注： = 1 \* GB3 ①条件“ SKIPIF 1 < 0 ”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值），注意 SKIPIF 1 < 0 的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
【常用结论】
1.双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 SKIPIF 1 < 0 ．
2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线内部，等价于 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线外部，等价于 SKIPIF 1 < 0 结合线性规划的知识点来分析．
3.双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 SKIPIF 1 < 0 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 SKIPIF 1 < 0 ;
性质2：双曲线上的任意点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 SKIPIF 1 < 0 ；
4.焦点三角形
双曲线焦点三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5.双曲线的切线
点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 外，则点 SKIPIF 1 < 0 对应切点弦方程为 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 双曲线的定义及其应用
策略方法 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C．7D．8
【题型训练】
一、单选题
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
3．已知动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点Р满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，双曲线的左、右焦点分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
8．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积等于（ ）
A．24B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．30
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为其两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．8D．16
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．16B．18C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与C的右支交于P，Q两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．8D．12
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两支于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线E上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = .
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为20，则线段AB的长为 ．
17．设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，若点M在 SKIPIF 1 < 0 的左支上，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支相交于另一点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是 ．
19．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线右支上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
20．已知双曲线x2 SKIPIF 1 < 0 y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
21．已知曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时， SKIPIF 1 < 0 的值为a，m＝－1时， SKIPIF 1 < 0 的值为b，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
题型二 求双曲线的标准方程
策略方法 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)中心在原点，实轴在 SKIPIF 1 < 0 轴上，一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 的等轴双曲线；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且它的一个顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
一、单选题
1．已知双曲线的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1B． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1
C． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1D． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1
2．以 SKIPIF 1 < 0 为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8 SKIPIF 1 < 0 ，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B．24 SKIPIF 1 < 0 C．32 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上焦点为F，点M 在 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线上， SKIPIF 1 < 0 是面积为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，其中点О为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别是等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．设 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线右支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦距，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若 SKIPIF 1 < 0 的周长为24， SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．已知以直线 SKIPIF 1 < 0 为渐近线的双曲线，经过直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
18．经过点 SKIPIF 1 < 0 且焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程是 ．
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 .
20．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，它的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为 ．
21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程： ．
22．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦距是4，其渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
23．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
24．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的两点，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
25．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
26．过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
27．已知双曲线的中心在原点，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的内心恰好是点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程 ．
题型三 双曲线的简单几何性质
策略方法 处理双曲线的简单几何性质问题思路
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【典例1】（单选题）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 B．C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D．C的一个焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
4．已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3 SKIPIF 1 < 0 B．6 SKIPIF 1 < 0 C．12 SKIPIF 1 < 0 D．6
5．已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，且平行于 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ；
②双曲线的虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ；
③双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率恰好为椭圆 SKIPIF 1 < 0 离心率的两倍；
④ SKIPIF 1 < 0 是一个以 SKIPIF 1 < 0 为底的等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
7．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为6，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
11．已知点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的焦点到渐近线的距离为3
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A．C的实轴长为4
B．C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．C的焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．虚轴长为4D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，则（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为2
B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4
16．已知双曲线E SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，E的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，E的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，E的虚轴长为2 SKIPIF 1 < 0
17．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的实轴长是虚轴长的两倍
18．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 左支上的动点， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的实轴长为6
B． SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
19．若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ．
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为 .
21．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 .
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为4，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 .
23．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 .
24．已知双曲线的中心在原点，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的内心恰好是点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程 ．
25．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 （a＞0）的右支上，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
题型四 双曲线的渐近线
策略方法 求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知点F是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．点F是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，A为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M，N在双曲线C上， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 以正方形 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与圆： SKIPIF 1 < 0 交于第一象限的一点 SKIPIF 1 < 0 ，记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B．4C．7D．12
15.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为5，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－1C．1D．3
18．双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或0B．－2C． SKIPIF 1 < 0 或0D．3
19．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线的左支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的一条渐近线， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
21．）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条浙近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上存在一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支的交点 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
24．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
25．过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行的直线方程为 .
26．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ．
27．已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，且与 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 ．
28．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
29．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，左，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的大小为 .
30．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 ．
31．已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的渐近线方程为 .
32．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 .
33．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 轴上方的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线上支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 .
34．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为
35．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
36．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
37．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交C右支于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 .写出C的一条渐近线方程 .
38．已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 右支上的一点，过点Р作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五 双曲线的离心率
策略方法 求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限且在 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．2
【题型训练】
一、单选题
1．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知双曲线C的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的一个端点为B，且 SKIPIF 1 < 0 是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
6．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．2或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或2
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 为虚轴上端点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到左焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 到右焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．若过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12.）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与该双曲线的左支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为该双曲线的左，右顶点 SKIPIF 1 < 0 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的渐近线上， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，且线段 SKIPIF 1 < 0 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
14．已知过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与两条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知双曲线C的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴为 SKIPIF 1 < 0 ．若四边形 SKIPIF 1 < 0 的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称(其中点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上)，且 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
21．圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点）是半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆分别与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴､双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 的另一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或2B．2或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
24．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则e的取值范围是 .
26．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
27．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 ．
28.点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
29．已知双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
30．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线上， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为 .
31．点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
32．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，点A关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
33．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的左右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 .
34．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线左支上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长不小于18，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 .
35．经过原点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
36．设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
37．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点 SKIPIF 1 < 0 且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P， SKIPIF 1 < 0 为左焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率e为 .
38．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P是C右支上一点，线段 SKIPIF 1 < 0 与C的左支交于点M．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
39．已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M在双曲线E上， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，O为坐标原点，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为N，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线E的离心率为 .
40．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上且 SKIPIF 1 < 0 轴，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
41．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 两点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的平方为 ．
42．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线交双曲线的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 .
①双曲线的定义及其应用
②求双曲线的标准方程
③双曲线的几何性质
④双曲线的渐近线
⑤双曲线的离心率
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
A2
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对称性
关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
实轴、虚轴
实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
渐近线方程
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
共焦点的双曲线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
共渐近线的双曲线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
通径
通径（过焦点且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的弦）是同支中的最短弦，其长为 SKIPIF 1 < 0
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率 SKIPIF 1 < 0 两渐近线互相垂直 SKIPIF 1 < 0 渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ．
一、知识点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为端点的两条射线；当 SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线；（3） SKIPIF 1 < 0 时，点的轨迹不存在．注： = 1 \* GB3 ①条件“ SKIPIF 1 < 0 ”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值），注意 SKIPIF 1 < 0 的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
【常用结论】
1.双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 SKIPIF 1 < 0 ．
2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线内部，等价于 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线外部，等价于 SKIPIF 1 < 0 结合线性规划的知识点来分析．
3.双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 SKIPIF 1 < 0 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 SKIPIF 1 < 0 ;
性质2：双曲线上的任意点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 SKIPIF 1 < 0 ；
4.焦点三角形
双曲线焦点三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5.双曲线的切线
点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 外，则点 SKIPIF 1 < 0 对应切点弦方程为 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 双曲线的定义及其应用
策略方法 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C．7D．8
【题型训练】
一、单选题
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
3．已知动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点Р满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，双曲线的左、右焦点分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
8．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积等于（ ）
A．24B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．30
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为其两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．8D．16
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．16B．18C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与C的右支交于P，Q两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．8D．12
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两支于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线E上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = .
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为20，则线段AB的长为 ．
17．设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，若点M在 SKIPIF 1 < 0 的左支上，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支相交于另一点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是 ．
19．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线右支上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
20．已知双曲线x2 SKIPIF 1 < 0 y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
21．已知曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时， SKIPIF 1 < 0 的值为a，m＝－1时， SKIPIF 1 < 0 的值为b，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
题型二 求双曲线的标准方程
策略方法 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)中心在原点，实轴在 SKIPIF 1 < 0 轴上，一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 的等轴双曲线；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且它的一个顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
一、单选题
1．已知双曲线的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1B． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1
C． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1D． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1
2．以 SKIPIF 1 < 0 为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8 SKIPIF 1 < 0 ，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B．24 SKIPIF 1 < 0 C．32 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上焦点为F，点M 在 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线上， SKIPIF 1 < 0 是面积为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，其中点О为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别是等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．设 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线右支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦距，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若 SKIPIF 1 < 0 的周长为24， SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．已知以直线 SKIPIF 1 < 0 为渐近线的双曲线，经过直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
18．经过点 SKIPIF 1 < 0 且焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程是 ．
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 .
20．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，它的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为 ．
21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程： ．
22．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦距是4，其渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
23．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
24．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的两点，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
25．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
26．过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
27．已知双曲线的中心在原点，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的内心恰好是点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程 ．
题型三 双曲线的简单几何性质
策略方法 处理双曲线的简单几何性质问题思路
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【典例1】（单选题）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 B．C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D．C的一个焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
4．已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3 SKIPIF 1 < 0 B．6 SKIPIF 1 < 0 C．12 SKIPIF 1 < 0 D．6
5．已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，且平行于 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ；
②双曲线的虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ；
③双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率恰好为椭圆 SKIPIF 1 < 0 离心率的两倍；
④ SKIPIF 1 < 0 是一个以 SKIPIF 1 < 0 为底的等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
7．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为6，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
11．已知点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的焦点到渐近线的距离为3
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A．C的实轴长为4
B．C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．C的焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．虚轴长为4D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，则（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为2
B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4
16．已知双曲线E SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，E的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，E的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，E的虚轴长为2 SKIPIF 1 < 0
17．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的实轴长是虚轴长的两倍
18．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 左支上的动点， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的实轴长为6
B． SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
19．若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ．
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为 .
21．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 .
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为4，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 .
23．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 .
24．已知双曲线的中心在原点，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的内心恰好是点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程 ．
25．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 （a＞0）的右支上，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
题型四 双曲线的渐近线
策略方法 求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知点F是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．点F是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，A为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M，N在双曲线C上， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 以正方形 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与圆： SKIPIF 1 < 0 交于第一象限的一点 SKIPIF 1 < 0 ，记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B．4C．7D．12
15.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为5，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－1C．1D．3
18．双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或0B．－2C． SKIPIF 1 < 0 或0D．3
19．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线的左支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的一条渐近线， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
21．）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条浙近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上存在一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支的交点 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
24．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
25．过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行的直线方程为 .
26．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ．
27．已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，且与 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 ．
28．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
29．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，左，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的大小为 .
30．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 ．
31．已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的渐近线方程为 .
32．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 .
33．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 轴上方的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线上支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 .
34．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为
35．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
36．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
37．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交C右支于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 .写出C的一条渐近线方程 .
38．已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 右支上的一点，过点Р作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五 双曲线的离心率
策略方法 求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
【典例1】（单选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限且在 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．2
【题型训练】
一、单选题
1．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知双曲线C的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的一个端点为B，且 SKIPIF 1 < 0 是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
6．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．2或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或2
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 为虚轴上端点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右支上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到左焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 到右焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．若过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12.）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与该双曲线的左支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为该双曲线的左，右顶点 SKIPIF 1 < 0 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的渐近线上， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，且线段 SKIPIF 1 < 0 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
14．已知过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与两条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知双曲线C的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴为 SKIPIF 1 < 0 ．若四边形 SKIPIF 1 < 0 的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称(其中点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上)，且 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
21．圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点）是半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆分别与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴､双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 的另一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或2B．2或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
24．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则e的取值范围是 .
26．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
27．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 ．
28.点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
29．已知双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
30．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线上， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为 .
31．点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
32．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，点A关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
33．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的左右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 .
34．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线左支上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长不小于18，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 .
35．经过原点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
36．设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
37．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点 SKIPIF 1 < 0 且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P， SKIPIF 1 < 0 为左焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率e为 .
38．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P是C右支上一点，线段 SKIPIF 1 < 0 与C的左支交于点M．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
39．已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M在双曲线E上， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，O为坐标原点，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为N，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线E的离心率为 .
40．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上且 SKIPIF 1 < 0 轴，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
41．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 两点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的平方为 ．
42．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线交双曲线的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 .
①双曲线的定义及其应用
②求双曲线的标准方程
③双曲线的几何性质
④双曲线的渐近线
⑤双曲线的离心率
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
A2
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对称性
关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
实轴、虚轴
实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
渐近线方程
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
共焦点的双曲线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
共渐近线的双曲线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
通径
通径（过焦点且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的弦）是同支中的最短弦，其长为 SKIPIF 1 < 0
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率 SKIPIF 1 < 0 两渐近线互相垂直 SKIPIF 1 < 0 渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ．
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