第43讲 双曲线及其性质（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；（3）时，点的轨迹不存在．注： = 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
【常用结论】
1.双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
3.双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
4.焦点三角形
双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5.双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
二、题型分类精讲
题型一 双曲线的定义及其应用
策略方法 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【典例1】（单选题）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
5．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别记为，，已知，，为坐标原点.则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7B．C．8D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
11．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
12．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5B．6C．8D．12
13．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ．
15．（2023·高三课时练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则= .
16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为 ．
17．（2023·上海·高三专题练习）设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的左支上，直线与的左支相交于另一点N，且，则 ．
18．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
19．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2 y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，的值为a，m＝－1时，的值为b，则的值为 ．
题型二 求双曲线的标准方程
策略方法 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线；
(2)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且它的一个顶点坐标为．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1B．－＝1
C．－＝1D．－＝1
2．（2023·全国·高三专题练习）以为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）

A．B．24C．32D．
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知双曲线：的上焦点为F，点M 在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中点О为坐标原点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
13．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若的周长为24，，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·四川凉山·三模）已知以直线为渐近线的双曲线，经过直线与直线的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6B．C．D．8
16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
18．（2023·全国·高三专题练习）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ．
19．（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则的标准方程为 .
20．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ．
21．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ．
22．（2023·重庆·统考模拟预测）双曲线：的焦距是4，其渐近线与圆：相切，则双曲线的方程为 ．
23．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上，则双曲线的方程为 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
26．（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ．
题型三 双曲线的简单几何性质
策略方法 处理双曲线的简单几何性质问题思路
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【典例1】（单选题）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
4．（2023·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．12D．6
5．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，，点P是与在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为；
②双曲线的虚轴长为；
③双曲线的离心率恰好为椭圆离心率的两倍；
④是一个以为底的等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
7．（2023秋·北京·高三北京一七一中校考开学考试）“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则曲线与曲线的
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
10．（2023·高三课时练习）已知，则双曲线：与：的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
11．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为B．的顶点坐标为
C．的离心率为D．的焦点到渐近线的距离为3
13．（2023秋·河北·高三校联考开学考试）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A．C的实轴长为4
B．C的离心率为
C．C的焦点到渐近线的距离为
D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
14．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为B．渐近线方程为
C．虚轴长为4D．若，则
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
16．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知双曲线E，则（ ）
A．，E的渐近线方程为B．，E的离心率为
C．，E的离心率为D．，E的虚轴长为2
17．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）设、分别是双曲线：的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，的离心率是
C．当时，到渐近线的距离随着的增大而减小
D．当时，的实轴长是虚轴长的两倍
18．（2023·全国·高三专题练习）已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
三、填空题
19．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ．
20．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的虚轴长为 .
21．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）双曲线的顶点坐标为 .
22．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为 .
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ．
25．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ．
题型四 双曲线的渐近线
策略方法 求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x．
【典例1】（单选题）已知双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列双曲线中，渐近线方程为的是
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三对口高考）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南·校联考模拟预测）双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河南·统考二模）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（ ）
A．2B．C．D．4
11．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线的一条渐近线斜率为，则为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（ ）
A．0B．4C．7D．12
15．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．B．－1C．1D．3
18．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．或0B．－2C．或0D．3
19．（2023·四川·校联考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
21．（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知双曲线，为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条浙近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）

A．3B．C．D．
23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
24．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线方程为，则 ．
25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为 .
26．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
27．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为 ．
28．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为，若为等腰三角形，则直线的斜率的大小为 .
30．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 ．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知为双曲线的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则此双曲线的渐近线方程为 .
32．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的一条渐近线平行，过作，垂足为，则的面积为 .
33．（2023·安徽安庆·统考二模）已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 .
34．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为
35．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
36．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则 .
37．（2023·江苏·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交C右支于M，N两点，且.写出C的一条渐近线方程 .
38．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点是双曲线C：右支上的一点，过点Р作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的最小值是，则 ．
题型五 双曲线的离心率
策略方法 求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
【典例1】（单选题）已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．2
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率是2，则（ ）
A．12B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
6．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2或B．C．D．或2
7．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知双曲线：（，），、分别为左、右焦点，点在双曲线上，，到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
10．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知圆与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
14．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
15．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，虚轴为．若四边形的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．3
17．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上)，且，双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·四川成都·校考模拟预测）以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或2B．2或C．D．
二、填空题
24．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 .
25．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 .
26．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
27．（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．
28．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
29．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
30．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .
31．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）点是双曲线的右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，A为双曲线的右支上一点，点A关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 .
33．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若，且，则该双曲线的离心率为 .
34．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 .
35．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）经过原点且斜率为的直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
36．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
37．（2023·四川广安·统考模拟预测）过双曲线（）的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P，为左焦点，直线的倾斜角为，则双曲线的离心率e为 .
38．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为 ．
39．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线E上，为直角三角形，O为坐标原点，作，垂足为N，若，则双曲线E的离心率为 .
40．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线右支上且轴，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
41．（2023秋·四川内江·高三期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的渐近线交于两点，点在第一象限，两点到轴的距离之和为，若以为直径的圆过线段的中点，则双曲线的离心率的平方为 ．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆，过点作圆的切线交双曲线的右支于点，点为的中点，且，则双曲线的离心率是 .
①双曲线的定义及其应用
②求双曲线的标准方程
③双曲线的几何性质
④双曲线的渐近线
⑤双曲线的离心率
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．