第54讲 圆锥曲线的离心率 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精练 PAGEREF _Tc236936569 \h 3
考点一：圆锥曲线定义的综合应用 PAGEREF _Tc236936570 \h 3
考点二：建立方程或不等式求解离心率 PAGEREF _Tc236936571 \h 5
考点三：几何性质与数形结合求解离心率 PAGEREF _Tc236936572 \h 6
考点四：焦点三角形中的离心率问题 PAGEREF _Tc236936573 \h 8
考点五：共焦点圆锥曲线的离心率问题 PAGEREF _Tc236936574 \h 10
四、高考真题 PAGEREF _Tc236936575 \h 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷均有考查本讲内容，题型涉及单选题、填空题和解答题.
2. 命题角度与特色
（1） 基础性强：选择题和填空题中对离心率的考查多为直接计算，要求熟练掌握圆锥曲线的基本几何性质和 a,b,c 之间的关系.
（2） 综合性高：在解答题中，离心率常作为已知条件出现，用于求解圆锥曲线的标准方程，进而为后续的直线与圆锥曲线综合问题铺垫.
3. 备考策略
（1） 熟记公式：牢记椭圆和双曲线的离心率公式及其变形形式，熟练掌握 a,b,c 的内在联系.
（2） 结合定义：在处理涉及焦半径、焦点三角形等问题时，善于运用圆锥曲线的定义，将线段长度转化为与 a,c 相关的表达式，从而快速求解离心率.
二、知识清单
1. 圆锥曲线的离心率基础知识
（1） 离心率的定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 e 的点的轨迹.代数定义为 e=ca.
（2） 离心率的取值范围与曲线类型：
① 椭圆：0b>0) 的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，则 |PF1|∈[a−c,a+c].
3. 双曲线的离心率公式与性质
（1） 计算公式：e=ca=1+b2a2.
（2） 几何意义：离心率 e 刻画了双曲线开口的开阔程度.e 越大，双曲线的开口越阔；e 越接近 1，双曲线的开口越窄.
（3） 与渐近线的关系：若双曲线焦点在 x 轴上，渐近线斜率为 k=±ba，则 e=1+k2；若焦点在 y 轴上，渐近线斜率为 k=±ab，则 e=1+1k2.
（4） 焦半径范围：设 F1,F2 为双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，则 |PF1|≥c−a.
4. 求解离心率范围的常用方法
（1） 建立不等式法：
① 利用曲线的范围建立不等关系.
② 利用线段长度的大小建立不等关系（如椭圆和双曲线的焦半径最值）.
③ 利用角度大小建立不等关系.例如，F1,F2 为椭圆 x2a2+y2b2=1 的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若 ∠F1PF2=θ，则椭圆离心率 e 的取值范围为 sinθ2≤eb>0) 的左、右焦点为 F1,F2，O 为坐标原点，P 为椭圆上一点，|OP|=32a，且 |PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 23 D. 23
2.（2025·河北石家庄·检测）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点为 F1(−3,0)，F2(3,0)，且过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，△AF1B 的周长为 20，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A. 310 B. 35 C. 45 D. 32
考法2：利用第二定义计算圆锥曲线离心率
3.已知 F1,F2 分别为双曲线 E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过原点 O 的直线 l 与 E 交于 A,B 两点 (点 A 在第一象限)，延长 AF2 交 E 于点 C，若 |BF2|=|AC|,∠F1BF2=π3，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. 3 B. 2 C. 5 D. 7
4.已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，斜率为 −3 的直线 l 过原点 O 且与双曲线 C 交于 P,Q 两点，且以 PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 3+12 B. 3+1 C. 23−1 D. 23−2
考法3：利用第三定义计算圆锥曲线离心率
5.（2025·广东深圳·一模）椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 左顶点为 A，点 P,Q 均在 C 上，且关于原点对称，若直线 AP,AQ 的斜率之积为 −14，则 C 的离心率为（ ）
A. 32 B. 22 C. 12 D. 13
6.如图，A,B 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右顶点，点 P 在以 AB 为直径的圆 O 上 (点 P 异于 A,B 两点)，线段 AP 与椭圆 C 交于另一点 Q，若直线 BP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 4 倍，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A. 33 B. 12 C. 32 D. 34
【考点一 方法总结】
1. 第一定义的应用：遇到圆锥曲线上一点到焦点的距离（焦半径）或焦点三角形周长问题，优先利用第一定义转化为关于 a 的方程求解.
2. 第二定义的应用：涉及圆锥曲线上一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比，利用 e=ca 建立等量关系.
3. 第三定义的应用：涉及椭圆或双曲线上一点与两顶点连线的斜率乘积问题，利用 k1⋅k2=e2−1（双曲线）或 k1⋅k2=e2−1e2（椭圆，注意焦点位置）等结论快速求解.
考点二：建立方程或不等式求解离心率
考法4：构建基本方程或不等式求解离心率
7.（2026·江苏镇江·检测）已知曲线 C1:x2a2+y2=1(a>1)，曲线 C2:x24−y2=1 的离心率分别为 e1，e2，且 e2=5e1，则 a=（ ）
A. 233 B. 2 C. 3 D. 5
8.（2026·安徽黄山·检测）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的右焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 π3 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 C 的离心率取值范围是（ ）
A. (1,2] B. [2,+∞) C. (1,3] D. [3,+∞)
9.（2025·广东·检测）设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 右焦点为 F，P 为 C 上一点，⊙P 的半径为 |PF|，过 P 作 y 轴的垂线，交 ⊙P 于 M,N 两点，M 在 N 的左侧.记 C 的离心率为 e，点 M 轨迹的离心率为 e1，点 N 轨迹的离心率为 e2，则（ ）
A. e10) 的左、右焦点分别为 F1,F2，A 为 C 上一点，且 |F1F2||AF1|+|F1F2||AF2|=2，则 C 的离心率的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
12.已知点 A 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线 l，若直线 l 上存在点 P 满足 ∠APO=30∘，则椭圆离心率的最大值＿＿＿＿＿＿.
【考点二 方法总结】
1. 构造齐次方程求离心率：根据题意找出关于 a,b,c 的等量关系，利用 b2=a2−c2（椭圆）或 b2=c2−a2（双曲线）消去 b，得到关于 a,c 的齐次方程，两边同除以 a2 或 a 的对应次幂，转化为关于 e 的方程求解.
2. 构造不等式求离心率范围：挖掘题目中的隐含不等关系（如焦半径范围、基本不等式、三角函数有界性、判别式 Δ≥0 等），建立关于 a,b,c 的不等式，进而转化为关于 e 的不等式求解.
考点三：几何性质与数形结合求解离心率
考法6：结合图形几何特征求解离心率
13.（2026·山东济宁·二模）已知椭圆 C:x2a2+y2a2−3=1(a>3) 的左、右焦点分别为 F1,F2，P 为第一象限内一点且在椭圆 C 上，PF1 交 y 轴于点 M，若 F1M=2MP，∠F1F2M=∠PF2M，则 C 的离心率为（ ）
A. 12 B. 12 或 22
C. 3−1 D. 3−1 或 2−1
14.（2026·湖南·二模）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点.其几何事实为：若双曲线的两个焦点为 E1,E2，P 为双曲线上任意一点，则 P 处的切线平分 ∠E1PE2，已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，双曲线 B:x2a2−y2b2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4，过 F2 作直线与双曲线 B 相切于点 M，与椭圆相交于点 N，且点 M,N 均位于第一象限，若 |MF2|=|F2F3|，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 F2M 的斜率为定值 1
B. 椭圆 A 的离心率为 1−22
C. 双曲线 B 离心率为 1+22
D. |MN||NF2| 为定值 4+22
15.（2026·湖南湘潭·二模）设抛物线 C1:y2=2px（p 为常数，且 p>0）的焦点为 F，准线为 l，点 A 在 C1 上且位于第一象限，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 H.
（1）若点 A 的坐标为 (1,4)，求 |HF|.
（2）设过 F，A，H 三点可作椭圆 C2，且 C2 的两个焦点均在 x 轴上，记 x 轴正半轴上的焦点为 B，且 B 在 F 的左侧.
（ⅰ）证明：△AHB 的周长为定值.
（ⅱ）证明：C2 的离心率大于 14.
考法7：利用焦点三角形内切圆性质求解离心率
16.双曲线 H:x2a2−y2b2=1(a,b>0) 其左、右焦点分别为 F1,F2，倾斜角为 π3 的直线 PF2 与双曲线 H 在第一象限交于点 P，设 △F1PF2 内切圆半径为 r，若 |PF2|≥23r，则双曲线 H 的离心率的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
17.（2025·福建·联考）已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的左、右顶点分别为 A1,A2，上、下焦点分别为 F1,F2，点 P 在 x 轴上，若 △F1PF2 的内切圆的圆心为 A1，且 PF1⟂F1A2，则 C 的离心率为（ ）
A. 32 B. 53 C. 23 D. 12
18.椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的四个顶点 ABCD 构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率 e=＿＿＿＿＿＿.
考法8：利用最大顶角性质求解离心率范围
19.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点 A,B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 P，使得 ∠APB=120∘，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. 63,1B. 32,1C. 0,22D. 0,34
20.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF1⋅MF2=0 的点 M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. 0,22 B. 0,12 C. (0,1) D. 22,1
21.（2026·福建厦门·检测）已知 P 为椭圆 E:x2a2+y22=1(a>b>0) 上的动点，M,N 为圆 x2+y2=a24 上的两个动点，若 ∠MPN 的最大值为 π2，则 E 的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 23 D. 32
【考点三 方法总结】
1. 几何特征的代数化：充分利用圆锥曲线的几何性质（如对称性、顶点、渐近线、准线等），将几何图形中的线段比例、角度关系转化为 a,b,c 的代数方程.
2. 焦点三角形内切圆性质：在 △F1PF2 中，利用内切圆的性质及切线长定理，常可得到内切圆半径与 a,c 的关系，或利用角平分线定理建立等量关系.
3. 顶角最大值问题：椭圆上一点对两焦点的张角在短轴端点处最大；双曲线上一点对两焦点的张角在实轴端点处最大.利用这一极端位置的几何特征，建立不等式求离心率范围.
考点四：焦点三角形中的离心率问题
考法9：利用正弦定理求解焦点三角形离心率
22.（2026·山东临沂·一模）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左右焦点分别为 F1,F2，经过 F2 的直线与 C 的右支交于 A,B 两点，且 |AF1|=1,|AB|=1,cs∠BAF1=19，则 C 的离心率是（ ）
A. 213 B. 153 C. 3 D. 5
23.（2026·江苏南京·二模）设 F1,F2 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点，过椭圆 C 上一点 P 作切线 PT 交 x 轴于点 T，若 ∠F2PT=45∘，∠F2TP=15∘，则该椭圆的离心率是（ ）
A. 3−1 B. 33 C. 2−1 D. 12
24.已知 F1，F2 分别为椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的两个焦点，P 是椭圆 E 上的点，PF1⟂PF2，且 sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A. 102 B. 104 C. 52 D. 54
考法10：利用余弦定理求解焦点三角形离心率
25.（2026·安徽滁州·一模）椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，F 为左焦点，P 为椭圆上的一点，M 为 x 轴正半轴上一点.若 ∠FPM=60∘，∠POM=120∘，|MO|=2|OF|，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 7−22 B. 6−32 C. 7−32 D. 3−32
26.（2025·广东·联考）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，若 C 上的点 A,B 满足 AF2=5F2B，|AF1|=5|AF2|，则 C 的离心率为（ ）
A. 53 B. 63 C. 73 D. 223
27.（2025·安徽淮北·二模）已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点，过 F1 的直线交 C 于 A,B 两点，若 |AB|=2|AF2|,|F1F2|=|BF2|，则椭圆 C 的离心率为＿＿＿＿＿＿.
考法11：结合焦点三角形底角关系求解离心率
28.（2026·山东东营·一模）点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上，若 ∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，且 α,β∈0,π2,csα=7210,tan(α+β)=43，则椭圆的离心率为（ ）
A. 22 B. 223 C. 34 D. 54
考法12：结合向量数量积求解离心率范围
29.已知 F1,F2 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段 AB 上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i=1,2)，使得 PiF1⋅PiF2=−c23，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ）
A. 0,22B. 22,1C. 0,155D. 22,155
30.已知 F1(−c,0),F2(c,0) 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点，若椭圆上存在一点 P 使得 PF1⋅PF2=c2，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ）
A. 33,22B. 33,22C. 3−1,32D. 22,1
31.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，若椭圆 E 上存在点 P 满足 PF1⋅PF2=a22，则椭圆 E 离心率的取值范围（ ）
A. 12,22 B. 12,22 C. 0,12 D. 0,12
考法13：结合焦半径比例关系求解离心率范围
32.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1(−c,0),F2(c,0)，若椭圆 C 上存在点 P，使得 sin∠PF2F1sin∠PF1F2=ca，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ）
A. 0,22 B. (0,2−1) C. (2−1,1) D. 22,1
33.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F1,F2，离心率为 e，若椭圆上存在点 P，使得 |PF1||PF2|=e，则该离心率 e 的取值范围是（ ）
A. [2−1,1) B. 22,1 C. (0,2−1] D. 0,22
34.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上存在点 P，使得 |PF1|=3|PF2|，其中 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. 0,14 B. 14,1 C. 12,1 D. 12,1
【考点四 方法总结】
1. 正弦定理与余弦定理的综合运用：在焦点三角形 △PF1F2 中，已知角度或边长比例时，常结合正弦定理将正弦比转化为焦半径比，或结合余弦定理建立关于焦半径和焦距的方程.
2. 向量数量积的转化：遇到 PF1⋅PF2 时，常利用坐标表示转化为关于点 P 坐标的函数，再结合点在曲线上消去 y，转化为关于 x 的二次函数求最值；或利用余弦定理转化为边长关系.
3. 焦半径公式的运用：已知焦半径的比例或最值时，直接代入焦半径公式（如椭圆中 |PF1|=a+ex0），结合 x0 的取值范围建立关于 e 的不等式.
考点五：共焦点圆锥曲线的离心率问题
考法14：利用共焦点圆锥曲线几何性质求解离心率
35.（2026·山东东营·二模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点 F1 和 F2，点 P 是椭圆与双曲线的一个公共点，且 ∠F1PF2=π2，椭圆的离心率为 32，则双曲线的离心率为（ ）
A. 233 B. 62 C. 52 D. 72
36.（2026·安徽·联考）焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有公共左、右焦点 F1,F2，点 M 是 C1 与 C2 的公共点且 ∠F1MF2=120∘，点 N 在 x 轴上，满足 MN=tMF1|MF1|+MF2|MF2|(t∈R)，若 tMN=MF1+2MF2，则 C1 与 C2 的离心率之积为＿＿＿＿＿＿.
【考点五 方法总结】
1. 共焦点曲线的几何特征：椭圆与双曲线共焦点时，交点 P 与两焦点构成的焦点三角形同时满足椭圆和双曲线的定义.
2. 联立定义求解：设 |PF1|=m，|PF2|=n，利用 m+n=2a1（椭圆）和 |m−n|=2a2（双曲线），通过平方作和或作差，结合余弦定理或勾股定理，建立两曲线离心率 e1,e2 之间的关系式.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第3题）若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍，则 C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 2 C. 7 D. 22
2.（2024·全国一卷·第12题）设双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作平行于 y 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若 |F1A|=13，|AB|=10，则 C 的离心率为＿＿＿＿＿＿.
3.（2026·全国一卷·第12题）双曲线 5x2−6y2=1 的离心率为＿＿＿＿＿＿.
4.（2024·全国一卷·第16题）已知 A(0,3) 和 P(3,32) 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上两点.
（1）求 C 的离心率；
（2）若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B，且 △ABP 的面积为 9，求 l 的方程.
5.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 223，下顶点为 A，右顶点为 B，|AB|=10.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足 |AR|⋅|AP|=3.
（i）设 P(m,n)，求点 R 的坐标（用 m，n 表示）；
（ii）设 O 为坐标原点，M 是椭圆上的动点，直线 OR 的斜率为直线 OP 的斜率的 3 倍，求 |PM| 的最大值.
6.（2026·全国一卷·第18题）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点为 F(−1,0)，离心率为 12.
（1）求 C 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R.
（i）若 △PQR 的面积是 △PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；
（ii）求 tan∠PQR 的最小值.年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024年
第12题 填空题
第16题 解答题
5分
15分
直接考察
直接考察
双曲线的定义与离心率计算
求椭圆的离心率
2025年
第3题 单选题
第18题 解答题
5分
17分
直接考察
间接考察
双曲线离心率的计算
已知离心率求椭圆方程
2026年
第12题 填空题
第18题 解答题
5分
17分
直接考察
间接考察
双曲线离心率的计算
已知离心率求椭圆方程