第50讲 直线与圆的综合应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第50讲 直线与圆的综合应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共21页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc236840129 \h 3
考点一：创新距离定义与圆的综合 PAGEREF _Tc236840130 \h 3
考点二：圆的包络线问题 PAGEREF _Tc236840131 \h 11
考点三：阿波罗尼斯圆（球）问题 PAGEREF _Tc236840132 \h 14
考点四：圆中的垂直与存在性问题 PAGEREF _Tc236840133 \h 22
四、高考真题 PAGEREF _Tc236840134 \h 30
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年每年均有考查，2025年、2026年以选择题形式直接考查（5分、6分），2024年以解答题形式间接涉及（15分）.
2. 命题角度与特色
（1） 题型多样，既有选择题的直接考查，也有解答题中与其他圆锥曲线结合的间接考查.
（2） 考查内容广泛，涉及圆上点到直线的距离、直线与圆相交的弦长计算以及阿波罗尼斯圆的轨迹问题.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握直线与圆的位置关系，尤其是点到直线距离公式和弦长公式的灵活应用.
（2） 重视圆的轨迹问题，深入理解阿波罗尼斯圆等经典几何模型的性质，提升数形结合解决综合问题的能力.
二、知识清单
1. 直线与圆的位置关系
设直线 l:Ax+By+C=0，圆 C:(x−a)2+(y−b)2=r2（其中 r>0），圆心 C(a,b) 到直线 l 的距离为 d=|Aa+Bb+C|A2+B2，联立直线与圆的方程消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
（1） 几何法与代数法的判定：
2. 圆的切线方程
（1） 过圆上一点的切线方程：
① 圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0) 处的切线方程为 x0x+y0y=r2.
② 圆 (x−a)2+(y−b)2=r2 上一点 P(x0,y0) 处的切线方程为 (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.
（2） 过圆外一点的切线方程：
设切线斜率为 k，切线方程为 y−y0=k(x−x0)，利用圆心到切线的距离等于半径 r 求出 k.当求出的 k 只有一个值时，另一条切线斜率不存在，其方程为 x=x0.
3. 圆的弦长公式
（1） 几何法：设弦长为 l，圆的半径为 r，圆心到直线的距离（弦心距）为 d，则 l=2r2−d2.
（2） 代数法：设直线与圆交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线斜率为 k，则 |AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2.
4. 两圆的位置关系
设两圆的圆心距为 d，半径分别为 r1，r2（其中 r1≥r2>0).
（1） 判定方法：
5. 阿波罗尼斯圆
（1） 定义：在平面内，到两个定点 A，B 的距离之比等于常数 λ（其中 λ>0 且 λ≠1）的动点 P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.
（2） 轨迹求法：设动点 P(x,y)，利用 |PA||PB|=λ 列出距离公式方程，两边平方化简后即可得到圆的方程.
6. 常见隐圆模型
（1） 定角定弦模型：若动点 P 对定线段 AB 的张角 ∠APB 为定值 θ，则点 P 的轨迹为圆弧（当 θ=90∘ 时，轨迹为以 AB 为直径的圆）.
（2） 动点到两定点距离的平方和为定值：设 A，B 为定点，若 |PA|2+|PB|2=k（其中 k>12|AB|2），则点 P 的轨迹是一个圆.
7. 距离的新定义（拓展）
（1） 曼哈顿距离：在平面直角坐标系中，两点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 之间的曼哈顿距离定义为 d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.
（2） 切比雪夫距离：在平面直角坐标系中，两点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 之间的切比雪夫距离定义为 d(A,B)=max{|x1−x2|,|y1−y2|}.
三、典题精讲
考点一：创新距离定义与圆的综合
考法1：创新距离定义下的最值与轨迹问题
1.闵氏距离(Minkwskidistance)是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则闵氏距离Dp(A,B)=(|x1−x2|p+|y1−y2|p)1p(p∈N∗).若点A、B分别在y=ex和y=x−1的图像上，则Dp(A,B)的最小值为（ ）
A. 21p B. 2p C. e1p D. ep
【答案】A
【思路】结合闵氏距离的新定义，将两点间距离转化为函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性即可求出距离的下界.
【解析】由题意得，设A(x1,ex1),B(x2,x2−1)，
因为点A、B分别在函数y=ex和y=x−1的图象上，
所以Dp(A,B)=(|x1−x2|p+|ex1−x2+1|p)1p≥|(x1−x2)−(ex1−x2+1)|1p=|(x1−ex1−1)|1p，
当且仅当(x1−x2)(ex1−x2+1)≥0时等号成立.
设g(x)=|x−ex−1|,ℎ(x)=x−ex−1，则ℎ'(x)=1−ex，
令ℎ'(x)>0⇒x0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
【答案】B
【解析】由题意，
在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心E(0,−2)，半径为r，
到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，
∵圆心E(0,−2)到直线y=3x+2的距离为：d=|0×3−(−2)×1+2|(3)2+(−1)2=2，
故由图可知，
当r=1时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有一个点（A点）到直线y=3x+2的距离等于1；
当r=3时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有三个点（B，C，D点）到直线y=3x+2的距离等于1；
当则r的取值范围为(1,3)时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=3x+2的距离等于1.
故选：B.
2.（2026·全国一卷·第11题）（多选）已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+y2=1，圆C3:x2+(y−3)2=1，直线l:y=kx+b与C1，C2，C3均有两个交点.记l被C1，C2，C3截得的弦长分别为s1、s2、s3，则（ ）
A. k可以取任意实数
B. 满足s1=s2=s3的直线l共有3条
C. 满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条
D. 当b=0时，s1+s2+s3的最大值为2213
【答案】BCD
【解析】记直线l:y=kx+b到C1，C2，C3的距离分别为d1，d2，d3，则d1=|b−k|1+k2，d2=|b+k|1+k2，d3=|b−3|1+k2.
∵直线与三个圆均有两个交点，
∴d1