(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第50讲《双曲线》（讲）（解析版）

第50讲   双曲线

思维导图

知识梳理

1．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

3．双曲线的几何性质

题型归纳

题型1    双曲线的标准方程

【例1-1】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)

A.－＝1　　　　　　　　 B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

【解析】选B　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

【例1-2】与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)

A.－y2＝1   B.－y2＝1

C.－＝1  D．x2－＝1

【解析】选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．

设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

因为双曲线过点P(2,1)，

所以－＝1，又a2＋b2＝3，

解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.

法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，

将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，

解得λ＝2(λ＝－2舍去)，

所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.

【例1-3】经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．

【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.

【答案】－＝1

【跟踪训练1-1】焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．

【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

【答案】－＝1

【跟踪训练1-2】过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．

【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.

【答案】－＝1

【名师指导】

题型2    双曲线的定义及其应用

【例2-1】(1)(2019·河南安阳三模)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　)

A．8  B．4

C．8   D．4

(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．

(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

【解析】　(1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4 ，

|NF1|－|NF2|＝4 ，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8 .

(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，

|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，

∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，

∴a＝1，∴|BF1|＝3，

又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，

∴∠F2AB＝90°，∴sin B＝，

∴S△BF1F2＝×5×3×sin B＝×5×3×＝.

(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.

【答案】　(1)C　(2)　(3)9

【跟踪训练2-1】已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1(x＞2)   B.－＝1(y＞2)

C.－＝1   D.－＝1

【解析】选A　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.

|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x>2)．

【跟踪训练2-2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

【答案】

【名师指导】

题型3    双曲线的简单几何性质

【例3-1】(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．

【解析】　法一：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，

∵·＝0，∴F1B⊥F2B，

∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，

不妨设点B在第一象限，由

∵＝，∴点A为线段F1B的中点，

∴A，将其代入y＝－x得＝×.解得c＝2a，故e＝＝2.

法二：如图，由＝知A为线段F1B的中点，

∵O为线段F1F2的中点，

∴OA∥F2B，

∵·＝0，∴F1B⊥F2B，

∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，

∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，

又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，

可知＝tan 60°＝，∴e＝＝ ＝2.

法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，

∵＝，∴A为线段F1B的中点，

又∵O为线段F1F2的中点，

∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.

过B作BH⊥OF2，垂足为H，

则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，

易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，

∵·＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，

∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．

∴∠BOF2＝60°，则＝tan 60°＝，

∴e＝＝＝2.

【答案】　2

【例3-2】(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．4x±3y＝0

B．3x±4y＝0

C．4x±3y＝0或3x±4y＝0

D．4x±5y＝0或5x±4y＝0

【解析】　由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.

【答案】　A

【例3-3】(2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－y2＝1  D．x2－＝1

【解析】　双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，

∵四边形OAFB为菱形，

∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴＝.

则有

解得P.

∵|PF|＝－1，

∴2＋2＝(－1)2，解得a＝1，

则b＝，

故双曲线E的方程为x2－＝1.

故选D.

【答案】　D

【跟踪训练3-1】(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±x

【解析】选B　设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，

∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，

由可得y＝±，

则|MN|＝＝2，即b2＝c，

∴b＝2，c＝4，

∴a＝＝2 ，

∴C的渐近线方程为y＝±x，

故选B.

【跟踪训练3-2】(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．2   D.

【解析】选D　由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D.

【跟踪训练3-3】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是________．

【解析】由题意知a＝，b＝1，c＝，

设F1(－，0)，F2(，0)，

则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．

∵·<0，

∴(－－x0)(－x0)＋y<0，

即x－3＋y<0.

∵点M(x0，y0)在双曲线C上，

∴－y＝1，即x＝2＋2y，

∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.

【答案】

【名师指导】