第51讲 椭圆及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第51讲 椭圆及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共21页。
三、典题精练 PAGEREF _Tc236907965 \h 5
考点一：椭圆方程的充要条件 PAGEREF _Tc236907966 \h 5
考点二：椭圆的定义与标准方程 PAGEREF _Tc236907967 \h 5
考点三：椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc236907968 \h 7
考点四：离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc236907969 \h 9
考点五：椭圆中的焦点三角形问题 PAGEREF _Tc236907970 \h 10
考点六：椭圆中的距离与最值问题 PAGEREF _Tc236907971 \h 12
考点七：椭圆定义的轨迹应用 PAGEREF _Tc236907972 \h 13
考点八：椭圆与数列综合问题 PAGEREF _Tc236907973 \h 13
四、高考真题 PAGEREF _Tc236907974 \h 14
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年每年均有直接考查，题型为解答题，分值在15至17分之间.
2. 命题角度与特色
（1） 基础知识扎实：重点考查椭圆的标准方程、离心率等基本几何性质的求解.
（2） 综合性强：常与直线方程结合，考查直线与椭圆的位置关系、面积问题、最值问题以及角度问题，对代数运算能力要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质，能够准确进行基本量的计算.
（2） 加强直线与圆锥曲线综合问题的训练，熟练运用韦达定理、弦长公式及面积公式，提升代数变形与化简能力.
二、知识清单
1. 椭圆的定义
（1） 第一定义：平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 2c.定义用集合语言表示为：{P∣|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)}.
【防坑警示】
① 当 2a=2c 时，点的轨迹是线段 F1F2；
② 当 2ab>0) 的面积为 S=πab.
三、典题精练
考点一：椭圆方程的充要条件
考法1：利用含参方程判断曲线类型
1.（2024·山东青岛·三模）已知m∈R，则方程(2−m)x2+(m+1)y2=1所表示的曲线为C，则以下命题中正确的是（ ）
A. 当m∈(12,2)时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
B. 当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是(2,+∞)
C. 当m=2时，曲线C表示一条直线
D. 存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线
考法2：利用充要条件求解参数范围
2.“00)的离心率为32，点A(0,1)在C上.
（1） 求C的方程；
考法5：结合圆锥曲线共焦点求解椭圆方程
7.（2024·山东青岛·三模）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y=14x2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为＿＿＿＿＿＿.
8.（2026·湖北荆州·检测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点重合，且椭圆C的离心率为32.
（1） 求椭圆C的标准方程；
考法6：结合几何性质求解椭圆标准方程
9.（2025·浙江宁波·模拟）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点(1,32).
（1） 求椭圆E的方程；
考法7：分类讨论焦点位置求解参数范围
10.（2026·湖南长沙·模拟）设椭圆的标准方程为x2m+y26=1，若焦距为2，则实数m的值为（ ）
A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2
11.（2026·广东江门·模拟）若椭圆C:mx2+y2=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法8：结合新定义求解椭圆方程与轨迹
12.（2026·安徽A10联盟·联考）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆C上的动点M满足：到一个定点F(c,0)(c≠0)的距离与到不经过这个定点的一条定直线x=a2c的距离之比是一个常数ca，其中a2=b2+c2）得到.
由椭圆的光学性质得到：从焦点F1处发出的一束光线，射向椭圆C上的点P1，经椭圆反射后经过焦点F2；继续传播，射向椭圆C上的点P2，经椭圆反射后经过焦点F1；如此反复.设第n次入射点为Pn(n∈N∗)，规定：当n为奇数时，An=|F2Pn|，Bn=|F2Pn+1|；当n为偶数时，An=|F1Pn|，Bn=|F1Pn+1|.
已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)和F2(1,0)，点M(1,83)在椭圆C上.
（1） 求椭圆C的方程；
【考点二 方法总结】
1. 求椭圆标准方程的方法：
（1） 定义法：根据椭圆定义，确定 a2,b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2） 待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 a,b,c 的方程组，解出 a2,b2，从而求得标准方程.
2. 设椭圆方程的技巧：
（1） 如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
（2） 与椭圆 x2m+y2n=1 共焦点的椭圆可设为 x2m+k+y2n+k=1(k>−m,k>−n,m≠n).
（3） 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同离心率的椭圆，可设为 x2a2+y2b2=k1(k1>0，焦点在 x 轴上) 或 x2a2+y2b2=k2(k2>0，焦点在 y 轴上).
考点三：椭圆的简单几何性质
考法9：利用椭圆的范围与对称性求解基本量
13.（2026·安徽皖江联盟·联考）已知焦点在x轴上的椭圆E:x28+y2b2=1(b>0)的离心率e=22，则b=（ ）
A. 4 B. 22 C. 2 D. 22
考法10：结合椭圆的几何性质求解参数与方程
14.（2026·浙江北斗星盟·联考）已知椭圆C:x24+y23=1，F1,F2为椭圆C的左、右焦点，点P为椭圆C上在第一象限内的一点，且△F1PF2的面积为32，则∠F1PF2的角平分线所在的直线方程为（ ）
A. 2x−2y+1=0 B. 4x−2y−1=0
C. 8x−2y−5=0 D. 3x−2y=0
考法11：结合圆的性质探究椭圆几何特征
15.（2026·江苏南京·模拟）已知椭圆Γ:x24+y2=1，过其右焦点F作直线交椭圆Γ于A，B两点，取B点关于x轴的对称点C，若D点为△ABC的外心，则|DF||AB|=（ ）
A. 3 B. 32 C. 34 D. 以上都不对
16.（2026·河北百师联盟·一模）（多选）已知F1，F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则（ ）
A. |OH|+|HF2|=2
B. |OH|>1
C. △OHF2内切圆半径的最大值为36
D. △HF1F2外接圆半径的最小值为1
考法12：利用椭圆斜率乘积与焦半径公式求解综合问题
17.（2025·河南H20联盟·联考）已知椭圆x24+y23=1的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则F1P⋅F1F2的最大值为（ ）
A. 7+27 B. 14+47 C. 3 D. 6
【考点三 方法总结】
1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 2b2a.
2. 椭圆上的点到中心及焦点的距离最值：
（1） 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.
（2） 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.距离的最大值为 a+c，距离的最小值为 a−c.
3. 椭圆的切线方程：
（1） 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点 P(x0,y0) 处的切线方程是 x0xa2+y0yb2=1.
（2） 过椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 外一点 P(x0,y0)，所引两条切线的切点弦方程是 x0xa2+y0yb2=1.
（3） 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A2a2+B2b2=C2.
考点四：离心率的值及取值范围
考法13：利用基本量关系直接求解离心率
18.（2026·江苏前黄中学·检测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A. 55 B. 33 C. 32 D. 255
19.（2025·江西三新联盟·模拟）椭圆C:x216+y211=1的离心率为＿＿＿＿＿＿.
考法14：结合几何图形特征求解离心率
20.（2026·湖北孝感·检测）以A(−2,2)、B(2,5)为焦点的椭圆与直线y=x有且仅有一个公共点，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 56 B. 57 C. 58 D. 59
考法15：结合焦点三角形求解离心率
21.（2026·浙江金丽衢·联考）已知A,B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，F为C的右焦点，若△ABF的一个内角为120∘，则椭圆C的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 32 D. 34
22.（2025·福建福州·检测）已知椭圆C:x29+y2m=1(m>0)的焦点为F1，F2，P为C上的一点，若△PF1F2的周长为18，则C的离心率为＿＿＿＿＿＿.
考法16：结合焦半径与参数方程求解离心率范围
23.（2026·广东稳派上进·检测）（多选）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A,B两点，若|AF1||BF1|=15，|BF2||F1F2|=24，则（ ）
A. |BF1|+24|F1F2|=2a
B. 5|AF2|−|BF2|=8a
C. E的离心率e=24
D. 当E的长轴长为4时，E的短轴长为22
考法17：结合实际情境比较离心率大小
24.（2025·江西优创名校·联考）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长10.2 cm，宽7.1 cm，玉璧中心的椭圆形孔长1.6 cm，宽1.0 cm，设该玉璧的外轮廓为椭圆M，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N，则（ ）
A. M的离心率等于N的离心率 B. M的离心率小于N的离心率
C. M的离心率大于N的离心率 D. M与N的离心率无法比较大小
【考点四 方法总结】
1. 求离心率的本质就是探究 a,c 之间的数量关系，知道 a,b,c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出 e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
2. 结合几何图形特征求解离心率时，常利用椭圆的定义、三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理）构建关于 a,c 的齐次方程.
考点五：椭圆中的焦点三角形问题
考法18：利用椭圆定义求解焦点三角形周长
25.（2026·福建莆田·检测）已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，则△PF1F2的周长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
26.（2025·河南新未来·联考）设椭圆C:x2t2+6+y2t2=1的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，AF2与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=2π3，则△ABF1的周长为（ ）
A. 82 B. 83 C. 122 D. 123
考法19：结合余弦定理与面积公式求解焦点三角形面积
27.（2025·江西百万联考·联考）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为528，F1,F2分别为C的左、右焦点，C上一点P满足PF1⋅PF2=0，且△PF1F2的面积为72，则C的面积为（ ）
A. 7π B. 27π C. 14π D. 214π
考法20：结合向量与几何性质探究焦点三角形特征
28.（2026·山东德州·三模）设O为坐标原点，F1，F2为椭圆x236+y29=1的两个焦点，点P在椭圆上，tan∠F1PF2=34，则|OP|=（ ）
A. 15 B. 5 C. 30 D. 35
29.（2026·河北邯郸·一模）（多选）已知P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若点M满足PM=MF1，PF1⋅MF2=0，则C的离心率可能为（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 22
考法21：利用焦点三角形特征求解椭圆方程
30.（2026·山东临沂·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P是C上的一动点，当△PF1F2面积取到最大值43时，∠PF1F2=60∘.
（1） 求C的方程；
考法22：结合内切圆探究焦点三角形性质
31.（2024·全国·检测）如图，过椭圆x24+y23=1的右焦点F2作一条直线，交椭圆于A，B两点，则△F1AB的内切圆面积可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【考点五 方法总结】
1. 焦点三角形的周长：若 P 为椭圆上一点，F1,F2 为焦点，则 △PF1F2 的周长为 2a+2c.
2. 焦点三角形的面积：S△PF1F2=b2tanθ2，其中 θ=∠F1PF2.当点 P 在短轴端点时，θ 取得最大值，此时面积取得最大值 bc.
3. 焦点三角形中的边角关系：常利用余弦定理 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2 结合定义 |PF1|+|PF2|=2a 进行整体代换.
考点六：椭圆中的距离与最值问题
考法23：利用代数法转化为函数求解距离最值
32.（2025·江西新余·二模）已知点P(x0,y0)是椭圆C:x25+y2=1上的动点，若A(1,0)，则|PA|的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法24：结合几何意义与椭圆定义求解距离和差最值
33.（2026·山东淄博·二模）椭圆C:x24+y23=1的左右焦点分别为F1,F2，点A(1,1)，P为C上一动点，则|PF2|+|PA|的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法25：结合代数式与向量模长转化为距离最值
34.（2024·全国·检测）已知P是椭圆C:x216+y212=1上的动点，且与C的四个顶点不重合，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，若点M在∠F1PF2的平分线上，且F1M⋅MP=0，则|OM|的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法26：探究椭圆上动点到定点或弦中点的距离最值
35.（2026·河北八省八校·联考）已知椭圆C:x24+y25=1内有点M(1,1)，H(12,1)，过点M的直线交椭圆C于点A,B，若Q为AB的中点，则|HQ|的最大值为（ ）
A. 98 B. 54 C. 75 D. 32
36.（2026·安徽临泉·二模）已知点P(x0,y0)是椭圆C:x25+y2=1上的动点，若A(1,0)，则|PA|的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【考点六 方法总结】
1. 代数法：设出椭圆上动点的坐标，利用两点间距离公式将距离转化为关于某一个坐标变量的二次函数，结合该变量的取值范围求最值.
2. 几何法：在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如果发现动点 P 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，将距离之和或差转化为点到定点或焦点的距离，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）或三点共线求解.
考点七：椭圆定义的轨迹应用
考法27：利用椭圆第一定义求解动点轨迹方程
37.（2026·江西萍乡·二模）已知圆C1:(x+1)2+y2=14，圆C2:(x−1)2+y2=494，动圆M与C1外切，与C2内切.
（1） 求M的轨迹E的标准方程；
【考点七 方法总结】
1. 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点 P 的轨迹方程，这时候要注意把动点 P 和满足焦点标志的定点连起来做判断.
2. 焦点往往有以下的特征：（1） 关于坐标轴对称的点；（2） 标记为 F 的点；（3） 圆心；（4） 题上提到的定点等等.
3. 当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意在求解轨迹方程的题中，要注意 x 和 y 的取值范围，判断是否需要挖去某些点.
考点八：椭圆与数列综合问题
考法28：结合椭圆几何特征推导数列通项与不等式
38.（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆Mn:x2an2+y2=1(an>1)的右焦点为Fn(cn,0)，上顶点为B，cn+1>cn，△FnBFn+1是等腰三角形(n=1,2,3,4,⋯)，a1=2.
（1） 求椭圆M2的方程；
（2） 求数列{an}的通项公式；
（3） 若数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+，都有k≤Snan≤m(k,m∈N+)，求m−k的最小值.
【考点八 方法总结】
1. 椭圆与数列的综合问题，通常需要根据椭圆的几何特征（如焦点、顶点、离心率等）推导出基本量的递推关系.
2. 将几何条件转化为代数关系，求出数列的通项公式，再利用数列的求和方法（如裂项相消法、错位相减法等）及不等式放缩技巧解决综合问题.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第16题）已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点.
（1） 求C的离心率；
（2） 若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.
2.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=10.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|⋅|AP|=3.
（i） 设P(m,n)，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii） 设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM|的最大值.
3.（2026·全国一卷·第18题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，离心率为12.
（1） 求C的方程；
（2） 设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R.
（i） 若△PQR的面积是△PEO的面积的3倍，求l的方程；
（ii） 求tan∠PQR的最小值.年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第16题
解答题
15分
直接考察
椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系
2025
第18题
解答题
17分
直接考察
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题
2026
第18题
解答题
17分
直接考察
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题
属性
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
统一方程
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
参数方程
x=acsθy=bsinθ，θ 为参数 (θ∈[0,2π])
x=acsθy=bsinθ，θ 为参数 (θ∈[0,2π])
第一定义
到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a，即 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)
到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a，即 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)
范围
−a≤x≤a 且 −b≤y≤b
−b≤x≤b 且 −a≤y≤a
顶点
A1(−a,0)、A2(a,0)
B1(0,−b)、B2(0,b)
A1(0,−a)、A2(0,a)
B1(−b,0)、B2(b,0)
轴长
长轴长 =2a，短轴长 =2b
长轴长 =2a，短轴长 =2b
对称性
关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点
F1(−c,0)、F2(c,0)
F1(0,−c)、F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c(c2=a2−b2)
|F1F2|=2c(c2=a2−b2)
离心率
e=ca=c2a2=a2−b2a2=1−b2a2 (0