第53讲 抛物线及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第53讲 抛物线及其性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共21页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc236916056 \h 3
考点一：抛物线的定义与方程 PAGEREF _Tc236916057 \h 3
考点二：抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc236916058 \h 7
考点三：与抛物线有关的距离和最值问题 PAGEREF _Tc236916059 \h 9
考点四：抛物线中三角形与四边形的面积问题 PAGEREF _Tc236916060 \h 13
考点五：焦半径问题 PAGEREF _Tc236916061 \h 15
考点六：抛物线的性质 PAGEREF _Tc236916062 \h 18
考点七：抛物线中的向量数量积问题 PAGEREF _Tc236916063 \h 25
四、高考真题 PAGEREF _Tc236916064 \h 26
一、考情分析
1. 考查频次与题型
2024、2025年未涉及，2026年以单选题和多选题形式直接考查（共11分）.
2. 命题角度与特色
（1） 注重基础知识的考查，如抛物线的标准方程和焦点坐标的求解.
（2） 强调抛物线定义与几何性质的综合应用，特别是焦点弦、准线及相关几何图形（如三角形相似、直角三角形等）的结合.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握抛物线的四种标准方程及其对应的焦点坐标、准线方程，能够根据已知条件准确求出参数.
（2） 深刻理解抛物线的定义，在处理涉及焦点、准线的距离问题时，灵活运用定义进行转化，结合平面几何知识（如相似、勾股定理等）简化计算.
二、知识清单
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.
【防坑警示】若在定义中有 F∈l，则动点的轨迹为 l 的垂线，垂足为点 F.
2. 抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有 4 种形式：y2=2px，y2=−2px，x2=2py，x2=−2py(p>0)，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向.
3. 参数 p 的几何意义
p(p>0) 为焦点 F 到准线 l 的距离，即焦准距.p 越大，抛物线开口越大.
4. 抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.
对于抛物线 y2=2px(p>0)，由 A(p2,p)，B(p2,−p)，可得 |AB|=2p，故抛物线的通径长为 2p.
5. 点与抛物线的位置关系
以抛物线 y2=2px(p>0) 为例，点 P(x0,y0) 与抛物线的位置关系如下：
（1） P 在抛物线内（含焦点一侧） ⇔y022px0.
6. 抛物线的参数方程
y2=2px(p>0) 的参数方程为 x=2pt2y=2pt（参数 t∈R）.
7. 抛物线的光学性质
抛物线具有如下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的光线，经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点.
三、典题精讲
考点一：抛物线的定义与方程
考法1：利用标准方程求焦点与准线
1.（2026·安徽铜陵·模拟）抛物线 y=14x2 的焦点坐标是（ ）
A. (116,0) B. (18,0)
C. (0,1) D. (0,2)
【答案】C
【思路】将抛物线方程化为标准形式，确定焦点位置及参数 p，即可得焦点坐标.
【解析】x2=4y，焦点在 y 轴上，故焦点坐标为 (0,1).
故选：C.
2.（2025·江西上进联考·联考）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 经过点 P(a,a)(a≠0)，则 C 的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(14,0)
【思路】将点代入抛物线方程求出参数 p，再写出焦点坐标.
【解析】由题知 (a)2=2pa，得 p=12，所以 C 的焦点坐标为 (14,0).
考法2：利用抛物线定义求参数与方程
3.（2025·安徽淮北·二模）若抛物线 y2=4x 的焦点是椭圆 C:x2m+y23=1 的一个焦点，则椭圆 C 长轴的长为（ ）
A. 2 B. 23 C. 4 D. 8
【答案】C
【思路】先求出抛物线的焦点坐标，再利用椭圆焦点与抛物线焦点重合的条件求出椭圆参数，进而求出长轴长.
【解析】在抛物线 y2=4x 中，焦点坐标为 (1,0).因为抛物线的焦点 (1,0) 是椭圆 C:x2m+y23=1 的一个焦点，所以椭圆的焦点在 x 轴上，且 c=1（ c 为椭圆的半焦距）.
在椭圆中， a2=3+1=4，又因为 a>0，所以 a=2.
而在椭圆 x2m+y23=1 中， a2=m，所以 m=4.
椭圆的长轴长为 2a=2×2=4.
故选：C.
4.（2026·安徽师范附中·检测）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 上的点到焦点 F 的最短距离为 1，过点 F 作两条直线与抛物线 C 分别交于点 A,B 和 D,E，弦 AB,DE 的中点分别为 M,N，记 O 为坐标原点.
（1）求抛物线 C 的方程；
【答案】（1）y2=4x
【思路】利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为横坐标与 p 的关系，结合最短距离求出 p.
【解析】（1）抛物线 y2=2px(p>0)，焦点 F(p2,0)，
根据抛物线的定义，抛物线上任意点 (x0,y0) 到焦点的距离为 x0+p2，
因为 x0≥0，所以当 x0=0 时，距离最小为 p2，
由题目可知 p2=1，解得 p=2，
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.
考法3：结合抛物线定义转化距离与几何性质
5.（2026·广东东莞·二模）已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，点 M 在 C 上.若 |MF|=2，则 M 到 y 轴的距离为＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【思路】利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，从而求出点的横坐标，即到 y 轴的距离.
【解析】抛物线 C:y2=4x 的准线方程为 x=−1，
点 M 在 C 上.若 |MF|=2，
设 M(x0,y0)，所以点 M 到准线的距离为 2，
即 x0+1=2， x0=1，
M 到 y 轴的距离为 |x0|=1.
6.（2026·安徽淮北·二模）（多选）已知抛物线 x2=2py 的焦点为 F(0,1)，过点 F 倾斜角为 30∘ 的直线交抛物线于 A,B 两点（ A 在第一象限），设 A,B 在抛物线准线上的射影分别为 A1,B1，则（ ）
A. p=2 B. AF=2FB
C. △FAA1 为正三角形 D. △FA1B1 为直角三角形
【答案】ACD
【思路】根据焦点坐标求出 p 判断A；联立直线与抛物线方程求出交点坐标，利用向量坐标运算判断B；结合抛物线定义及两点间距离公式计算边长判断C、D.
【解析】选项 A：由题意 p2=1，解得 p=2，故 A 正确；
选项 B：直线 AB 的方程为 y=33x+1，由 A 项得方程为 x2=4y，
联立 x2=4yy=33x+1，得 x2−433x−4=0，
因为 A 在第一象限，所以 xA=23,xB=−233，则 A(23,3),B(−233,13)，
所以 AF=(−23,−2),FB=(−233,−23)，则 AF=3FB，故 B 错误；
选项 C：由题意得 A1(23,−1),B1(−233,−1)，所以 |FA1|=232+(−1−1)2=4，
由抛物线的定义可得 |AF|=|AA1|=3+1=4，所以 |FA1|=|AF|=|AA1|，
所以 △FAA1 为正三角形，故 C 正确；
选项 D： FA1=(23,−2)FB1=(−233,−2)，
所以 FA1⋅FB1=23×(−233)+(−2)×(−2)=0，即 FA1⟂FB1，
所以 △FA1B1 为直角三角形，故 D 正确.
故选：ACD.
考法4：结合抛物线方程证明定值与定点问题
7.（2026·安徽皖南八校·检测）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 作一条直线交抛物线于 A,B 两点，过 A,B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1,B1,O 为坐标原点.
（1）记 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2，求 k1⋅k2；
（2）求证： A,O,B1 三点共线；
（3）记 △OAA1,△OBB1,△OA1B1 的面积分别为 S1,S2,S3，求证： S1⋅S2=S32.
【答案】（1） −4
（2） 证明见解析
（3） 证明见解析
【思路】设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理表示出坐标关系；通过斜率关系证明三点共线；利用面积公式及坐标关系证明面积的等量关系.
【解析】（1）
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，
若直线 AB 与 x 轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意，
设直线 AB 的方程为 x=my+1，与抛物线方程联立有 x=my+1y2=4x，
消去 x 并化简得 y2−4my−4=0， Δ=16m2+16>0，
则 y1+y2=4m， y1y2=−4，
因此， x1x2=y124⋅y224=(y1y2)216=1，所以 k1k2=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=−4.
（2）
由（1），依题意知 B1(−1,y2)，要证 A,O,B1 三点共线，只需证 k1=kOB1.
即证 y1x1=y2−1，即证 −y1=x1y2.而 x1y2=y124⋅y2=y1⋅y1y24=−y1 成立，
故 A,O,B1 三点共线.
（3）
记 ∠A1OB1=θ，由（2）同理知 A1,O,B 三点共线，且 ∠AOA1=∠BOB1=180∘−θ.
|OA|=1+k12⋅|x1|， |OA1|=1+k22⋅|xA1|=1+k22，
|OB|=1+k22⋅|x2|， |OB1|=1+k12⋅|xB1|=1+k12，
S1=12|OA|⋅|OA1|sin∠AOA1=121+k12⋅|x1|1+k22sin(180∘−θ)
=121+k121+k22⋅|x1|sinθ，
S2=12|OB|⋅|OB1|sin∠BOB1=121+k22⋅|x2|⋅1+k12sin(180∘−θ)
=121+k121+k22⋅|x2|sinθ，
S3=12|OA1|⋅|OB1|sin∠A1OB1=121+k22⋅1+k12sinθ，
S1⋅S2=121+k121+k22⋅|x1|sinθ⋅121+k121+k22⋅|x2|sinθ
=14(1+k12)(1+k22)|x1x2|sin2θ
=14(1+k12)(1+k22)sin2θ
=121+k22⋅1+k12sinθ2=S32.
考法5：利用抛物线定义与切线性质求最值
8.（2026·浙江温州·一模）已知点 F 为抛物线 C:x2=2py 的焦点，点 A(t,2)(t>0) 在 C 上，且 |AF|=3.
（1）求 C 的方程；
（2）过 C 上的动点 P 作 C 的切线，与直线 y=−2 交于点 Q，过 Q 作 PF 的垂线，垂足为 H.
（ⅰ）当 |FP|⋅|FH|=5 时，求点 P 的坐标；
（ⅱ）求 |AH| 的最大值.
【答案】（1）x2=4y
（2）（i）P(−4,4) 或 P(4,4)；（ii）4
【思路】利用抛物线定义列方程求出 p；利用导数求出切线方程，联立求出交点坐标，结合距离公式及抛物线定义求出参数；将线段长度转化为点到圆上点的距离，利用几何性质求最值.
【解析】（1）由抛物线 C:x2=2py，可得其焦点为 F(0,p2)，准线方程为 y=−p2，
因为点 A(t,2) 在 C 上，且 |AF|=3，可得 2+p2=3，解得 p=2，
所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.
（2）（ⅰ）由抛物线 y=14x2，可得 y'=12x，
设点 P(2m,m2)，可得 y'|x=x0=m，所以切线方程为 y−m2=m(x−2m)，
整理得 y=m(x−2m)+m2=xm−m2，
令 y=−2，代入切线方程，可得 x=m−2m，即 Q(m−2m,−2)，
又由 F(0,1)，可得 kPF=m2−12m，所以 PF 的方程为 y=m2−12mx+1，
则 kQH=−2mm2−1，则 QH 的方程为 y=−2mm2−1(x−m+2m)−2，
联立方程组 y=m2−12mx+1y=−2mm2−1(x−m+2m)−2，解得 xH=−2mm2+1，
则 |FH|=1+(m2−12m)2−2mm2+1=1，
因为 |FP|⋅|FH|=5，可得 |FP|=5，
由抛物线的定义，可得 |FP|=m2+1，所以 m2+1=5，解得 m2=4，解得 m=±2，
所以点 P(−4,4) 或 P(4,4).
（ⅱ）因为点 A(t,2)（ t>0）在抛物线 x2=4y 上，可得 t=22，即 A(22,2)，
由（i）知 |FH|=1，点 H 在以 F 点为圆心，半径为 1 的圆上，
又由 |AF|=(22−0)2+(2−1)2=3，
则 |AH|≤|AF|+|FH|=3+1=4，当且仅当 A,H,F 三点共线时，等号成立，
所以 |AH| 的最大值为 4.
【考点一 方法总结】
1. 求抛物线的标准方程的步骤：
（1） 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置.
（2） 根据题目条件列出 p 的方程.
（3） 解方程求出 p，即得标准方程.
2. 求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法：
（1） y2=Ax(A≠0) 焦点为 (A4,0)，准线为 x=−A4.
（2） x2=Ay(A≠0) 焦点为 (0,A4)，准线为 y=−A4.
考点二：抛物线的轨迹方程
考法6：利用抛物线定义求解动点轨迹方程
9.（2026·山东青岛·一模）如图，点 E 为矩形 ABCD 边 AB 的中点，以动直线 l 为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点 E 都落在边 CD 上，记该落点为 F，过点 F 作 FP 垂直于 CD 交直线 l 于点 P，点 P 的轨迹为曲线 W 的一部分，则 W 为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
【思路】利用折叠的几何性质，找出动点到定点与到定直线的距离关系，结合抛物线定义判断轨迹形状.
【解析】由折痕的性质可得，则直线 l 是线段 EF 的垂直平分线，对任意的 P 在 l 上，由 PE=PF，
又因为 FP⟂CD，所以点 P 到直线 CD 的距离为 PF，
所以点 P 到定点 E 的距离等于点 P 到定直线 CD 的距离，
由抛物线的定义，可得点 P 的轨迹为抛物线.
考法7：利用向量数量积求解动点轨迹方程
10.（2026·湖南炎德英才·模拟）（多选）已知点 F(1,0)，直线 l:x=−1，动点 P 到 l 的垂线为 PQ， Q 为垂足，且满足 QP⋅QF=FP⋅FQ，记动点 P 的轨迹为 E，下列说法正确的是（ ）
A. E 的方程为 y2=4x
B. 若 M(3,2)，则 |PM|+|PF| 的最小值为 4
C. 过 F 作斜率为 3 的直线交 E 于 A,B 两点，则 |AB|=163
D. E 上存在两点关于直线 y=x+1 对称
【答案】ABC
【思路】将向量数量积转化为坐标运算求出轨迹方程判断A；利用抛物线定义将距离和转化为点到准线的距离判断B；联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算判断C；利用直线与抛物线的位置关系判断D.
【解析】对于动点 P(x,y)，由条件 QP⋅QF=FP⋅FQ 可推导出 y2=4x，即轨迹为抛物线，故 A 正确.
对于选项 B，利用抛物线定义， |PF| 等于点 P 到准线 x=−1 的距离，因此 |PM|+|PF|=|PM|+d(P,l)≥d(M,l)=4，当 P(1,2) 时取等，故最小值为 4，B 正确.
对于选项 C，过焦点 F(1,0) 且斜率为 3 的直线与抛物线交于两点，联立方程 y2=4x,y=3(x−1),
得 3x2−10x+3=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 x1=13,x2=3，
∴|AB|=1+(3)23−13=163，故 C 正确.
对于选项 D，易知直线 y=x+1 与抛物线 y2=4x 相切，故 E 上不存在两点关于直线 y=x+1 对称，D 错误.
因此，正确选项为 ABC.
【考点二 方法总结】
1. 常见考题中，利用圆锥曲线的定义求解点 P 的轨迹方程，要注意把动点 P 和满足焦点标志的定点连起来做判断.
2. 焦点往往有以下的特征：（1） 关于坐标轴对称的点；（2） 标记为 F 的点；（3） 圆心；（4） 题上提到的定点等.当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意：在求解轨迹方程的题中，要注意 x 和 y 的取值范围.
考点三：与抛物线有关的距离和最值问题
考法8：利用抛物线定义转化距离求最小值
11.（2026·山东潍坊·二模）抛物线 C:y=2x2 上的点 (1,2) 到 C 的准线的距离为（ ）
A. 98 B. 32
C. 178 D. 52
【答案】C
【思路】将抛物线化为标准方程，求出准线方程，再计算已知点到准线的距离.
【解析】 x2=12y，焦点在 y 轴上，准线方程为 y=−18，距离为 2−(−18)=178.
故选：C.
12.（2026·山东九五协作体·一模）已知点 P,Q 分别在曲线 y2=2x 和 (x−2)2+y2=1 上运动，则 |PQ| 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】3−1
【思路】将两曲线上两点间的最短距离转化为抛物线上的点到圆心的距离减去半径，设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式及配方法求最值.
【解析】曲线 C1:y2=2x，曲线 C2:(x−2)2+y2=1，其圆心为 C(2,0)，半径 r=1.
点 P 在抛物线上，设 P(y22,y)，点 Q 在圆上.
|PQ| 的最小值等于点 P 到圆心 C 的最短距离减去半径 r.
|PC|2=(y22−2)2+y2=y44−2y2+4+y2=y44−y2+4=14(y2−2)2+3.
当 y2=2 时， |PC|2 取得最小值 3，此时 |PC|=3.
所以 |PQ| 的最小值为 3−1.
考法9：利用抛物线定义与几何性质求线段长
13.（2026·山东师大附中·检测）已知抛物线 C:2ax2=y(a>0) 的焦点到准线距离为 2， C 上一点 P 到焦点的距离为 5，则 P 的横坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】±4
【思路】将抛物线化为标准方程，利用焦点到准线的距离求出参数 a，再利用抛物线定义将焦半径转化为到准线的距离求出纵坐标，进而求出横坐标.
【解析】将抛物线 C:2ax2=y(a>0) 化为标准方程为 x2=12ay(a>0)，
因为抛物线焦点到准线距离为 2，所以 14a=2，解得 a=18；
将 a=18 代入抛物线方程中，得 x2=4y，焦点为 F(0,1)，准线方程为 y=−1，
设 P(x0,y0)(y0≥0)，因为 |PF|=5，所以 y0+1=5，解得 y0=4，
代入抛物线方程，得 x0=±4.
考法10：利用基本不等式或函数求距离与代数式最值
14.（2025·江苏高邮·联考）已知点 A（与原点 O 不重合）在抛物线 x2=2y 上，直线 OA 与抛物线的准线交于点 B，过点 B 且平行于 y 轴的直线交抛物线于点 C，则 |AC| 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【思路】设出点 A 坐标，写出直线 OA 方程，求出点 B、C 的坐标，利用两点间距离公式表示出 |AC|，再利用基本不等式求最小值.
【解析】令 A(a,a22) 且 a≠0，则 AB:y=a2x，又抛物线的准线为 y=−12，
所以 B(−1a,−12)，故 yC=12a2，即 C(−1a,12a2)，
所以 |AC|=(a+1a)2+(a22−12a2)2=a8+4a6+6a4+4a2+14a4=a4+2a2+12a2
=a22+12a2+1≥2a22⋅12a2+1=2，当且仅当 a=±1 时取等号，
所以 |AC| 的最小值为 2.
故答案为：2.
15.（2026·湖北华师一附中·检测）已知抛物线 E:y2=2px(p>0) 上的点到直线 y=x+3 的距离的最小值为 2.
（1）求 E 的方程；
（2）设 E 的焦点为 F，过点 F 的直线与 E 交于 A,B 两点（ A 在第一象限），以 AB 为直径的圆与 x 轴交于点 D（ D 在 F 的右侧），若 |AF|=|AD|，求 |AF|.
【答案】（1）y2=4x
（2）|AF|=9+174
【思路】利用抛物线上的点到直线的距离公式，结合二次函数最值求出 p；设出直线方程并与抛物线联立，利用直径所对圆周角为直角及向量数量积列方程，结合韦达定理求出交点坐标，进而求出焦半径.
【解析】（1）设 E 上点 T(y022p,y0)，则 T 到直线 y=x+3 的距离 d=|y022p−y0+3|2=|12p(y0−p)2+3−p2|2，当 3−p2≤0 即 p≥6 时， dmin=0，不符合题意；当 3−p2>0 即 p1，故 x1=5+174，所以 |AF|=x1+1=9+174.
方法二：因为 D 在以 AB 为直径的圆上，所以 ∠ADB=π2，由 |AF|=|AD|，设 ∠AFD=∠ADF=θ，则 ∠BDF=π2−θ，则 ∠DBF=π2，记 E 的准线为 l，过点 A 作 AH⟂l 于 H，则 |AF|=|AH|=|AF|csθ+2，得 |AF|=21−csθ，同理 |BF|=21+csθ，在 △BFD 中，由正弦定理得 |BF|sin(π2−θ)=|FD|sin(2θ−π2)，又 |FD|=2|AF|csθ，代入得 2cs2θ+csθ=4csθ(1−csθ)sin(2θ−π2)，整理得 4cs2θ+csθ−1=0，得 csθ=−1+178（负根舍去），所以 |AF|=21−csθ=9+174.
考法11：结合向量与面积求解抛物线综合最值
16.（2026·山东淄博·二模）（多选）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点 F 在直线 l:x=my+1 上，直线 l 与抛物线交于 A,B 两点，点 A 在第一象限，过 A,B 分别作准线的垂线，垂足分别是 D,H，则下列说法中正确的是（ ）
A. 以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切
B. 2|AF|+|BF| 的最小值为 3+22
C. |DF|⋅|HF|≥8
D. 若向量 AF=2FB，则 S△OAB=322
【答案】BCD
【思路】根据焦点在直线上求出 p；利用抛物线定义及基本不等式判断B；利用坐标表示出距离并结合基本不等式判断C；利用向量共线转化为坐标关系，结合韦达定理求出交点坐标，再计算面积判断D.
【解析】抛物线 y2=2px，焦点 F(p2,0).直线 x=my+1 过焦点，所以 p2=1， p=2.抛物线 C:y2=4x.
A选项：以 AB 为直径的圆与准线 x=−1 相切，而不是 y 轴.错误.
B选项： |AF|=xA+1， |BF|=xB+1. xAxB=1.
2|AF|+|BF|=2xA+xB+3=2xA+1xA+3≥22+3.正确.
C选项： D(−1,yA)， H(−1,yB)， F(1,0).
|DF|2=4+yA2， |HF|2=4+yB2.
|DF|2|HF|2=16+4(yA2+yB2)+(yAyB)2=16+4(yA2+yB2)+16=32+4(yA2+yB2)≥32+8|yAyB|=32+32=64.
所以 |DF|⋅|HF|≥8.正确.
D选项： AF=2FB，则 yA=−2yB.又 yAyB=−4，所以 −2yB2=−4， yB=−2， yA=22.
xA=2， xB=12.
直线 AB 的方程为 x=my+1， m=xA−1yA=122=24.
S△OAB=12|OF||yA−yB|=12×1×32=322.正确.
所以正确的是 BCD.
17.（2026·山东德州·一模）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 M，点 A 在抛物线 C 上，过点 A 作 AB⟂l 于 B， |AM|=2|AF|，若 △AFM 的面积为 2，则 p=＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【思路】设出点 A 坐标，利用抛物线定义及距离关系列出方程求出点 A 坐标，再结合三角形面积公式求出 p.
【解析】抛物线 C:y2=2px(p>0)，焦点为 F(p2,0)，准线为 l:x=−p2，
准线与 x 轴交点 M(−p2,0)， |FM|=p；
设 A(x0,y0)，由抛物线定义可得 |AF|=|AB|=x0+p2，且满足 y02=2px0，
由于 |AM|=2|AF|，则 (x0+p2)2+y02=2(x0+p2)，
即 (x0+p2)2+y02=2(x0+p2)2， ∴y02=(x0+p2)2，
故 2px0=(x0+p2)2，可得 x02−px0+p24=0，即得 x0=p2，
结合 y02=2px0，可得 |y0|=p，
△AFM 的面积为 2，故 12×|FM|×|y0|=2，即 12×p×p=2，解得 p=2.
【考点三 方法总结】
1. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题.
2. 在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题，常用参数法或切线法求解.
考点四：抛物线中三角形与四边形的面积问题
考法12：结合抛物线定义计算图形面积
18.（2026·安徽鼎尖联考·联考）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 120∘ 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点， O 为坐标原点，若 |MN|=163，则 △OMN 的面积为（ ）
A. 433 B. 833
C. 233 D. 43
【答案】A
【思路】设出直线方程并与抛物线联立，利用弦长公式求出 p，再利用韦达定理求出两交点纵坐标之差，最后利用三角形面积公式求解.
【解析】设直线 l:y=−3(x−p2)，
联立 y2=2px,y=−3(x−p2), 则 3x2−5px+3p24=0，
设 M(x1,y1),N(x2,y2)，故 |MN|=x1+x2+p=83p=163，则 p=2，
则 y1+y2=−3(x1+x2−2)=−433， y1y2=3(x1−1)(x2−1)=3(1−103+1)=−4，
则 |y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=83，
因 |y1|+|y2|=|y1−y2|，
故 S△OMN=12⋅|OF|⋅(|y1|+|y2|)=12×1×83=43=433，故选 A.
19.（2026·浙江Z20联盟·检测）抛物线 y2=4x 上的 A,B 两点均位于第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，满足 AC=BC 且 AC⟂BC.若 △ABC 的面积为 9，则点 C 坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(174,0)
【思路】设出各点坐标，利用垂直关系转化为向量数量积为0，结合距离相等列出方程组，利用韦达定理及面积公式求解.
【解析】设 C(t,0)， A(x1,y1)， B(x2,y2)， y1>0,y2>0.
CA=(x1−t,y1)， CB=(x2−t,y2).
CA⋅CB=(x1−t)(x2−t)+y1y2=0.
|CA|2=(x1−t)2+y12=18， |CB|2=(x2−t)2+y22=18.
x12−2tx1+t2+4x1=18⇒x12+(4−2t)x1+t2−18=0.
同理 x22+(4−2t)x2+t2−18=0.
所以 x1,x2 是方程 x2+(4−2t)x+t2−18=0 的两根.
x1+x2=2t−4， x1x2=t2−18.
y1y2=16x1x2=4t2−18.
(x1−t)(x2−t)+y1y2=x1x2−t(x1+x2)+t2+y1y2=t2−18−t(2t−4)+t2+4t2−18=0.
4t−18+4t2−18=0⇒2t2−18=9−2t.
平方得 4(t2−18)=81−36t+4t2⇒36t=153⇒t=174.
此时 9−2t=9−172=12>0，成立.
所以 C(174,0).
考法13：利用导数与点到直线距离求面积最值
20.（2026·河北邢台·二模）已知 P 是抛物线 T:y2=6x 上一点，点 M,N 在 y 轴上， △PMN 的内切圆的方程为 (x−3)2+y2=9，则 △PMN 面积的最小值为（ ）
A. 42 B. 56 C. 72 D. 88
【答案】C
【思路】设出各点坐标，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到关于纵坐标的方程，结合韦达定理表示出面积，再利用基本不等式求最值.
【解析】设 P(6t2,6t)、 M(0,m)、 N(0,n)，
则 lPM:y−m=6t−m6t2x，即 (6t−m)x−6t2y+6t2m=0，
lPN:y−n=6t−n6t2x，即 (6t−n)x−6t2y+6t2n=0，
由 (x−3)2+y2=9 圆心为 (3,0)，半径为 3，
则 (3,0) 到直线 PM,PN 距离都为 3，
即有 |3(6t−m)+6t2m|(6t−m)2+(−6t2)2=3， |3(6t−n)+6t2n|(6t−n)2+(−6t2)2=3，
整理得 (t2−1)m2+6tm−9t2=0， (t2−1)n2+6tn−9t2=0，
即 m,n 是关于 x 的方程 (t2−1)x2+6tx−9t2=0 的两根，
故 m+n=−6tt2−1， mn=−9t2t2−1，
由 △PMN 的内切圆的方程为 (x−3)2+y2=9，
可得 xP=6t2>6，即 t2>1，
(m+n)2−4mn=36t2(t2−1)2+36t2t2−1=36t2+36t2(t2−1)(t2−1)2=36t4(t2−1)2.
所以 |m−n|=6t2t2−1.
则 S△PMN=12|m−n|⋅xP=12×6t2t2−1×6t2=18t4t2−1.
令 s=t2−1>0，则 S△PMN=18(s+1)2s=18s+18s+36≥218s⋅18s+36=72，
当且仅当 s=1，即 t=±2 时，等号成立，故 △PMN 面积的最小值为 72.
【考点四 方法总结】
1. 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比.
2. 焦点弦构成的三角形面积公式：若直线 AB 过焦点，且与对称轴夹角为 α，则 △AOB 的面积公式为 S△AOB=p22sinα.
考点五：焦半径问题
考法14：利用焦半径公式计算距离与参数
21.（2026·湖北黄冈·模拟）已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点为 F，第一象限内的两点 A,B 在抛物线上，且满足 |BF|−|AF|=6,|AB|=210，若线段 AB 中点的纵坐标为 5，则 p=＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【思路】利用抛物线定义将焦半径之差转化为纵坐标之差，结合中点纵坐标求出两点纵坐标，再利用两点间距离公式求出 p.
【解析】由抛物线定义可得 x2=2py(p>0) 的准线为 y=−p2，
则 |AF|=yA+p2， |BF|=yB+p2，由 |BF|−|AF|=6，
得： (yB+p2)−(yA+p2)=yB−yA=6，
又 AB 中点纵坐标为 5，即 yA+yB2=5，得 yA+yB=10，
解得 yA=2,yB=8.
xA=4p=2p， xB=16p=4p.
|AB|2=(4p−2p)2+62=4p+36=40⇒4p=4⇒p=1.
考法15：结合中点坐标与焦半径公式求解参数
22.（2026·江苏前黄中学·检测）已知抛物线 C:x2=2py(p>0) 的焦点为 F，第一象限内的两点 A,B 在抛物线 C 上.若线段 AB 中点的纵坐标为 5，且 |AB|=42， |BF|−|AF|=6，则 p=＿＿＿＿＿＿.
【答案】32
【思路】利用抛物线定义将焦半径差转化为纵坐标差，结合中点纵坐标求出 A,B 纵坐标，再利用两点间距离公式求出 p.
【解析】如图，过点 A,B 作 AD,BE 垂直准线于 D,E，过点 A 作 AH⟂BE 于点 H，
由抛物线的定义可知 |AF|=|AD|=yA+p2， |BF|=|BE|=yB+p2，
∴|BF|−|AF|=|BE|−|AD|=yB−yA=6，
又 ∵ 线段 AB 中点的纵坐标为 5， ∴yB+yA=10，
∴yB=8,yA=2，
∵A,B 在第一象限， ∴xA=4p=2p， xB=16p=4p，
∴|AH|2=|AB|2−|BH|2=42−36=6， ∴|AH|=6，即 |AH|=4p−2p=2p=6，
∴p=32.
考法16：结合数列与向量等交汇知识求解焦半径
23.（2026·广东广州·一模）已知抛物线 C:y2=2px（ p>0）的焦点为 F，圆 M:(x+1)2+y2=16 与 C 交于 A,B 两点，若直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 −3，则 |AF|=（ ）
A. 3 B. 72
C. 4 D. 5
【答案】C
【思路】利用圆与抛物线的对称性设出交点坐标，结合斜率之积列方程求出交点坐标，代入抛物线方程求出 p，最后利用焦半径公式求解.
【解析】由圆 M:(x+1)2+y2=16 可知，圆心 M(−1,0)，半径为 4.
而圆 M 和抛物线 C 都关于 x 轴对称，则可设 A(x,y),B(x,−y)(x>0).
由 kAM⋅kBM=yx+1⋅−yx+1=−y2(x+1)2=−3，得 y2=3(x+1)2.
因为点 A 在圆 M 上，又有 (x+1)2+y2=16，即 (x+1)2+3(x+1)2=16，
而 x>0，则解得 x=1，所以 y2=3(1+1)2=12.而点 A 又在抛物线 C 上，
则有 12=2p⋅1，所以 p=6，则 F(3,0).
所以 |AF|=p2+xA=3+1=4.
24.（2025·江西重点中学·联考）（多选）已知点 An(ann,yn)(n∈N∗) 在焦点为 F(1,0) 的抛物线 y2=2px(p>0) 上，其中 {an} 是各项均不为零的数列，且 a1=1，若 |An+1F|=|AnF|+1，则（ ）
A. an=n2
B. 数列 {lnan} 为等差数列
C. 1a1+1a2+⋯+1an2|KF|
【答案】ACD
【思路】设出直线方程并与抛物线联立，利用弦长公式及基本不等式判断A；计算线段中点横坐标与半径比较判断B；利用坐标表示出距离平方和，结合韦达定理判断C；利用焦半径公式计算判断D.
【解析】由题知焦点 F(1,0)，准线方程为 l:x=−1， K(−1,0)，
对于 A，设直线 AB 方程为 x=my+1，
代入抛物线方程得 y2−4my−4=0， Δ=16m2+16>0
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 y1+y2=4m,y1y2=−4，
所以 |AB|=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=m(y1+y2)+4=4m2+4≥4，当且仅当 m=0 时等号成立，
所以 |AB|≥4，故 A 选项正确；
对于 B，线段 AB 的中点横坐标为 x0=x1+x22=4m2+22=2m2+1，
圆的半径为 r=|AB|2=2m2+2，
由于圆心到 y 轴的距离为 x0=2m2+1，半径为 r=2m2+2，
显然 x0=2m2+1≠r=2m2+2，故错误；
对于 C，设过点 K 的直线方程为 x=ty−1，
代入抛物线方程得 y2−4ty+4=0， Δ=16t2−16>0，即 t2>1
设 P(x3,y3),Q(x4,y4)，则 y3+y4=4t,y3y4=4，
所以 |OP|2+|OQ|2=x32+y32+x42+y42=(ty3−1)2+y32+(ty4−1)2+y42
=(t2+1)(y32+y42)−2t(y3+y4)+2=(t2+1)(y3+y4)2−2y3y4−2t(y3+y4)+2
=(t2+1)(16t2−8)−8t2+2=16t4−6，
由于 t2>1，所以 |OP|2+|OQ|2∈(10,+∞)，即 |OP|2+|OQ|2>10，故 C 选项正确；
对于 D，由抛物线的定义， |PF|=x3+1,|QF|=x4+1，
所以 |PF|+|QF|=x3+x4+2=ty3−1+ty4−1+2=t(y3+y4)=4t2， |KF|=2， 2|KF|=4，
因为 t2>1，所以 4t2>4，即 |PF|+|QF|>2|KF|，故 D 选项正确.
故选：ACD.
28.（2026·安徽皖江名校·检测）已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A,B 两点，若准线 l 上的点 D(−1,2) 到直线 AB 的距离为 22，则 |AB|=＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】根据准线上的点求出 p，利用几何性质得出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求解.
【解析】由 D(−1,2) 在准线 l 上知 p=2,F(1,0)，故 DF⟂AB，
而 DF 的斜率为 −1，故 AB 方程为 y=x−1，与抛物线方程 y2=4x 联立，
得 y2−4y−4=0，所以 |AB|=1+1k2|y1−y2|=8.
（或 |AB|=x1+x2+p=y1+y2+2+p=8，或 |AB|=2psin2θ 或几何性质求解）.
考法19：结合韦达定理与数列求解内接图形问题
29.（2025·河南创新发展·一模）（多选）已知抛物线 C1:y2=2p(x+1)(p>0) 与 C2:y2=−2p(x−2)围成的封闭曲线 C 如图所示，设 C 的上、下顶点分别为 M,N，左、右顶点分别为 G,H，则下列结论正确的是（ ）
A. C 恒关于点 (1,0) 中心对称
B. 若 |MN|=|GH|，则 C1 与 C2 的准线之间的距离为 154
C. 若 |MO|=12+p， C 上一点 Q 的横坐标 xQ>12，则 |OQ|>3−xQ
D. 若 p=1，且对于任意给定的常数 λ， C 上任意一点 (x,y) 均满足 |x+y−λ|+|x+y−5| 为定值，则 λ 的取值范围是 (−∞,−2]
【答案】BC
【思路】联立两抛物线方程求出交点坐标判断A；根据对称性及距离关系求出 p 判断B；求出 p 后利用抛物线定义及距离公式判断C；利用绝对值的几何意义转化为距离和最值问题判断D.
【解析】对于 A，联立 y2=2p(x+1)y2=−2p(x−2)，解得 x=12y=±3p，所以 M(12,3p),N(12,−3p)，
又 C1 的顶点为 G(−1,0)， C2 的顶点为 H(2,0)，所以 C 恒关于点 (12,0) 对称，故 A 错误；
对于 B，因为 |MN|=|GH|，所以 23p=3，解得 p=34，
又 C1 的准线方程为 x=−1−p2， C2 的准线方程为 x=2+p2，
所以两准线之间的距离为 2+p2−(−1−p2)=3+p=3+34=154，故 B 正确；
对于 C，因为 |MO|=12+p，所以 14+3p=12+p，解得 p=2 或 p=0（舍去），
所以 C2:y2=−4(x−2)，其焦点为 F2(1,0)，准线为 x=3，
因为 xQ>12，所以 Q 在 C2 上，所以 |QF2|=3−xQ，
|OQ|2=xQ2+yQ2=xQ2−4(xQ−2)=xQ2−4xQ+8=(xQ−2)2+4.
|QF2|2=(3−xQ)2=xQ2−6xQ+9.
|OQ|2−|QF2|2=xQ2−4xQ+8−(xQ2−6xQ+9)=2xQ−1.
因为 xQ>12，所以 2xQ−1>0，即 |OQ|2>|QF2|2.
所以 |OQ|>|QF2|=3−xQ 成立，故 C 正确；
对于 D，若 p=1， C1:y2=2(x+1)， C2:y2=−2(x−2).
|x+y−λ|+|x+y−5| 表示点 (x,y) 到直线 x+y−λ=0 和 x+y−5=0 的距离之和的 2 倍.
要使其为定值，必须点 (x,y) 始终在这两条平行线之间（包含边界）.
即对于 C 上的所有点，都有 λ≤x+y≤5 或 5≤x+y≤λ.
设 f(x,y)=x+y.我们需要求 f(x,y) 在封闭曲线 C 上的最大值和最小值.
在 C1 上： x=y22−1， f(x,y)=y22+y−1=12(y+1)2−32.
因为 y∈[−3,3]，所以当 y=3 时， f 最大为 32+3−1=12+3.
当 y=−1 时， f 最小为 −32.
在 C2 上： x=2−y22， f(x,y)=2−y22+y=−12(y−1)2+52.
当 y=1 时， f 最大为 52.
当 y=−3 时， f 最小为 2−32−3=12−3.
所以 f(x,y) 在 C 上的最大值为 52，最小值为 −32.
即 −32≤x+y≤52.
要使 λ≤x+y≤5 恒成立，必须 λ≤−32.
所以 λ 的取值范围是 (−∞,−32]，故 D 错误.
所以正确选项为 BC.
30.（2026·河北八省八校·联考）已知抛物线 x2=y 上有 A,B,C 三点，且 ∠ABC=90∘， AC//x 轴，若 △ABC 内切圆的半径为 6−2，则点 B 的坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(±3,3)
【思路】设出各点坐标，利用垂直关系转化为向量数量积为0，结合内切圆半径公式及三角换元法求解.
【解析】设 A(x1,x12),C(−x1,x12)(x1>0)， B(x2,x22)，
因为 ∠ABC=90∘，所以 BA⋅BC=0，
即 (x1−x2)(−x1−x2)+(x12−x22)2=0，
因为 A,B,C 为三个不同的点，所以 x12−x22≠0，
所以 x12−x22=1，即 yA−yB=1，
所以 △ABC 为直角三角形，斜边 AC=2x1，
AB=(x1−x2)2+(x12−x22)2=(x1−x2)2+1，
BC=(−x1−x2)2+(x12−x22)2=(x1+x2)2+1，
所以 △ABC 的内切圆半径 r=AB+BC−AC2=(x1−x2)2+1+(x1+x2)2+1−2x12，
因为 x12−x22=1，所以 x1=1+x22，
所以 r=1+x22−2x1x2+x22+1+1+x22+2x1x2+x22+1−21+x222
=2(1+x22)−2x1x2+2(1+x22)+2x1x2−21+x222
=2x12−2x1x2+2x12+2x1x2−2x12
=2x1(x1−x2)+2x1(x1+x2)−2x12
令 x1=secθ(00) 的焦点弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有以下结论：
（1） x1x2=p24，y1y2=−p2.
（2） 焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p=2psin2α（α 为直线 AB 与对称轴的夹角）.
（3） 以 AB 为直径的圆必与准线相切，以 AF（或 BF）为直径的圆与 y 轴相切.
2. 抛物线的弦与中点弦：
（1） 弦长公式：|AB|=1+k2|x1−x2|=1+1k2|y1−y2|.
（2） 弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：kAB=py0（点差法）.
3. 切线方程和切点弦方程：
（1） 抛物线 y2=2px(p>0) 的切线方程为 y0y=p(x+x0)，(x0,y0) 为切点.
（2） 切点弦方程为 y0y=p(x+x0)，点 (x0,y0) 在抛物线外.
考点七：抛物线中的向量数量积问题
考法21：结合向量数量积求解定点与最值问题
32.（2026·江西赣州·二模）（多选）已知 O 为坐标原点， F 是抛物线 E:y2=x 的焦点，点 A(x1,y1),B(x2,y2) 在 E 上且位于 x 轴的两侧， OA⋅OB=2，则（ ）
A. y1y2=−2
B. 直线 AB 经过点 (2,0)
C. |OA|⋅|OB|≥10
D. △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值为 3
【答案】AD
【思路】设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理及向量数量积列方程判断A、B；利用基本不等式判断C；将面积之和表示为参数的函数，利用导数求最值判断D.
【解析】设直线 AB 的方程为 x=my+t(t>0)，
联立 x=my+ty2=x，消去 x 得 y2−my−t=0，
则 y1+y2=m,y1y2=−t，
因为 OA⋅OB=x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=t2−t=2，
解得 t=2 或 t=−1（舍去），
所以 y1y2=−2，故 A 正确；
直线 AB 的方程为 x=my+2，过定点 (2,0)，故 B 错误；
|OA|2⋅|OB|2=(x12+y12)(x22+y22)=(y14+y12)(y24+y22)=(y1y2)4+(y1y2)2+y12y24+y14y22
=16+4+y12y22(y12+y22)=20+4[(y1+y2)2−2y1y2]=20+4(m2+4)=4m2+36≥36，
所以 |OA|⋅|OB|≥6，故 C 错误；
△ABO 的面积 S1=12×2×|y1−y2|=|y1−y2|=m2+8.
△AFO 的面积 S2=12×14×y1=18y1.
这里 A 在第一象限， y1>0. y1=m+m2+82.
面积之和 S=S1+S2=m2+8+m+m2+816=1716m2+8+m16.
求导： S'=17m16m2+8+116=0⇒17m=−m2+8⇒289m2=m2+8⇒m2=8288=136.
因为 m0 ）和 C2:x2=2p2y（ p2>0 ）均经过点 (4,8)，则 C1 的焦点与 C2 的焦点之间的距离为（ ）
A. 12 B. 45
C. 6 D. 652
【答案】D
【解析】∵抛物线 C1:y2=2p1x(p1>0) 经过点 (4,8)，
∴将 x=4,y=8 代入 C1 的方程得 82=2p1⋅4，即 64=8p1，解得 p1=8.
∴C1 的焦点坐标为 F1(p12,0)，即 F1(4,0).
∵抛物线 C2:x2=2p2y(p2>0) 经过点 (4,8)，
∴将 x=4,y=8 代入 C2 的方程得 42=2p2⋅8，即 16=16p2，解得 p2=1.
∴C2 的焦点坐标为 F2(0,p22)，即 F2(0,12).
根据两点间距离公式，F1 与 F2 之间的距离为：
|F1F2|=(4−0)2+(0−12)2=16+14=654=652.
2.（2026·全国一卷·第10题）（多选）设抛物线 C:y2=6x 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A、B，过 F 且垂直于 AB 的直线交 l:x=−32 于 E，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 D，则（ ）
A. |AD|=|AF|
B. |AE|=|AB|
C. |AB|≥6
D. |AE|⋅|BE|≥18
【答案】ACD
【解析】对于 A，对于抛物线 C:y2=6x，
则 p=3，其准线方程为 x=−32，焦点 F(32,0)，
则 AD 为抛物线上点到准线的距离，AF 为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故 A 正确.
对于 B，过点 B 作准线 l 的垂线，交于点 P，
由题意可知 AD⟂l,EF⟂AB，则 ∠ADE=∠AFE=90∘，
又 |AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以 △ADE≅△AFE，
所以 ∠AED=∠AEF，同理 ∠BEP=∠BEF，
又 ∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180∘，
所以 ∠AEF+∠BEF=90∘，即 ∠AEB=90∘，
显然 AB 为 △ABE 的斜边，则 |AE|0，则 y1+y2=6m,y1y2=−9，
又 x1=my1+32，x2=my2+32，
所以 |AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当 m=0 时取等号，故 C 正确.
对于 D，在 Rt△ABE 与 Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以 Rt△ABE∼Rt△AEF，则 |AE||AB|=|AF||AE|，即 |AE|2=|AF|⋅|AB|，
同理 |BE|2=|BF|⋅|AB|，
又 |AF|⋅|BF|=(x1+32)(x2+32)=(my1+3)(my2+3)
=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=−9m2+18m2+9=9(m2+1)，
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以 |AE|2⋅|BE|2=|BF|⋅|AF|⋅|AB|2=9(m2+1)×36(m2+1)2，
则 |AE|⋅|BE|=3(m2+1)12×6(m2+1)=18(m2+1)32≥18，故 D 正确.
故选：ACD.年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2026
第5题 单选题
第10题 多选题
5分
6分
直接考察
直接考察
抛物线的标准方程与焦点坐标
抛物线的定义与焦点弦性质
2025
—
—
—
—
2024
—
—
—
—
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=−2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=−2py(p>0)
图形
顶点
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
焦点
F(p2,0)
F(−p2,0)
F(0,p2)
F(0,−p2)
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
准线方程
x=−p2
x=p2
y=−p2
y=p2
焦半径 A(x1,y1)
|AF|=x1+p2
|AF|=−x1+p2
|AF|=y1+p2
|AF|=−y1+p2