数学必修 第一册函数模型的应用评优课教学作业课件ppt

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(1) 能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。(2) 能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。(3) 能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。(4) 体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。
已知函数模型解决实际问题
考古学家的“穿越密码”
在本章，我们类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较.在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
建立拟合函数模型解决实际问题
例3 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y＝y0ert ，其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？
表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料：表4.5-4
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r．
由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合．
（2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿．
思考事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．
下面来解决章引言中的问题．
分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题
用二分法求近似解的条件
利用给定函数模型解决实际问题
例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
1．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
（2）根据实际情况,对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对于1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度．可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况．
2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野免总只数的倍增期为21个月，那么1万只野免增长到1亿只野兔大约需要多少年？
3．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？
因为1959年之前的3851年是公元前1892年，所以推理二里头遗址大概是公元前1892年建成的．
建立适当的函数模型解决实际问题
在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
投入资金相同，回报量多，投资周期合理
比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y =40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； y = 10x (x∈N*)
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y = 0.4×2x-1 (x∈N*)
根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?
方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。
作出三个方案的图象看看?
函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.
根据以上的分析，是否应作这样的选择: 投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？
根据以上分析,你认为该作出何种选择?
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?
投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
几种常见函数的增长情况：
①例6涉及了哪几类函数模型？
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?
例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y = 0.25x, y = lg7x+1, y =1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？
①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，所以销售利润x可用不等式表示为____________.
③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金y可用不等式表示为______________.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y可用不等式表示为__________.
10 ≤ x ≤1000
0 ≤ y ≤ 25%x
▲ 通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
①对于模型y=0.25x, 它在区间[10,1000]上递增,当x>20时, y>5, 因此该模型不符合要求;
②对于模型y=1.002x, 它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知, 当x>806时, y>5, 因此该模型不符合要求;
③对于模型y=lg7x+1, 它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=lg71000+1≈4.55