高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用教案，共6页。
课例编号
2020QJ10SXRA038
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
函数模型的应用（1）
教科书
书名：普通高中教科书 数学必修第一册 （A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
许绮菲
北京一七一中学教育集团
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；
体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；
感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.
教学重点：
利用已知的函数模型解决实际问题.
教学难点：
对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的的数学模型是否吻合.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
１分钟
15分钟
３分钟
１分钟
新课引入
新课讲解
课堂小结
作业
我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？我们将用两节课的时间继续学习函数模型的应用，这节课我们主要探究利用已知的函数模型解决实际问题．
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口变化的规
律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型
，
其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．
根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人
口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950年－1959年期间的具体人口增长模型．
利用（１）中的模型计算，1951年到1958年各年末的人口总数，
查阅国家统计局，网站公布的我国在1951年至1958年间，各年末的实际人口总数检验所得模型与实际人口数据是否相符？
以（１）中模型做预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
问题1 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？
建立我国自1950年起的人口增长模型需要确定其中的人口初始量及年平均增长率．
追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？
依题意是1950年末的人口总数55196万．
追问2：如果1950记为第一年，1959年是第几年？1950年1959年到经过了几年？
1959年是第十年．1950年1959年到经过了9年．
追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？
根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．
解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，
由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率
．
由，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为
．
问题２ 如何检验所得模型与实际人口数据是否相符？
利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较检验所得模型与实际人口数据是否相符．
我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．
追问：所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合？
首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符．
年份
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
计算所得人口总数／万
56417
57665
58940
60243
61576
62938
64330
65753
人口数/万
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
我们也可以根据1950年至1959年期间实际人口数据画出散点图，并画出图象，可以看出所得模型与实际人口数据基本吻合．
教师通过Ggb呈现函数图象与实际人口数据散点图．
问题３ 如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？
将代入，得
，
即 ．．．①
由计算工具得
．
那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．
追问：如果对①式进一步变形，通过何种运算可以求解出？
对①式在等式两边取以为底的对数
，
即 ，
．
问题４ 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了一模型，得到的结果与实际不符的情况．
在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据探究我国人口变化的规律．
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．这个例题是利用已知的函数模型解决实际问题．在用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．
下面来解决章引言中的问题．
例2 2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题5 什么是“碳14年代学检测”？
碳14年代学检测是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常来测得古生物化石的年代．因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数建立函数模型．
问题6 什么是“半衰期”？
我们在指数函数的概念一节的问题2中涉及过“半衰期”的问题．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
追问１：设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？
与间对应关系为

这个对应关系中有四个参数，我们需要分析一下哪个参数是可以通过已知条件确定的．
追问２：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？
需要确定年衰减率．
追问３：可以利用哪个已知条件确定年衰减率？
在指数函数的概念一节的问题2中由已知碳14的半衰期为5730年得出了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系，即
，
从而有，即．
问题７ 确定年衰减率后，生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系可以进一步确定为什么函数关系？
生物体内碳14含量与死亡年数之间的函数关系可以进一步确定为．
追问：利用模型如何推断此水坝大概是什么年代建成的？
由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得
，
即 ，
解得 ，
由计算工具得 ．
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．
良诸遗址位于浙江省杭州市余杭区良诸镇，1936年首次发现这里的巨型城址面积近300万平方米，包括古城，水坝和多处高及建筑．良渚古城外围水利系统是迄今所知中国最早的大型水利工程，也是世界最早的水坝．它对研究中华五千年文明的起源具有重要参考价值.
本节课我们尝试利用已知函数模型解决实际问题，重在通过运算推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题，感受了利用函数模型解决实际问题的过程．
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
问题８ 本节课我们感受了数学建模过程中哪些环节？
本节课主要感受了确定参数、计算求解，验证结果三个环节．
通过高中数学课程的学习，我们应有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题， 积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用， 提升应用能力实践能力，增强创新意识和科学精神．
已知1650年世界人口为５亿，当时人口的年增长率为0.3%，1970年世
界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%，
用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么
时候世界人口是1970年的2倍？
实际上，1850年前世界人口就超过了10亿，而2004年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔，大约需要多少年？
1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残留量约为初始量的62.76%，能否依此推断二里头遗址大概是什么年代的？