高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数模型的应用示范课课件ppt

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探究点一　指数函数模型【典例1】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210≈1.127,≈15)【思维导引】具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,确定函数关系.
【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2,3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3,x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).(3)设x年后该城市人口将达到120万,即100×(1+1.2%)x=120,所以1.012x=1.20.所以x=lg1.012 1.20≈15(年).
【类题通法】指数型函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.(2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围,是数学中常用的方法之一.
【类题通法】对数函数y=lgax(x>0,a>1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际上是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算.
【定向训练】1.土地沙漠化的治理,对中国乃至世界来说都是一个难题,我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理,已有1 000公顷植被,假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长,按这种规律发展下去,则植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为(　　)(参考数据:取lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)A.6B.7C.8D.9
探究点三　拟合函数模型的应用【典例3】某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,如表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:给出以下3个函数模型:①y=-x+b;②y=abx(a≠0,b>0且b≠1);③y=lga(x+b)(a>0且a≠1).(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;(2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型.
【类题通法】数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解.(2)列式比较法:若题目所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.(3)描点观察法:可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.
【解析】选B.散点图如图所示:由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D.
2.某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林 (　　)A.14 400亩B.172 800亩C.17 280亩D.20 736亩【解析】选C.因为年增长率为20%,所以第四年造林为10 000×(1+20%)3=17 280(亩).
4.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:已知加密函数为y=ax-2(x为明文、y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是　　　　. 【解析】依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密函数为y=2x-2,因此当y=14时,由14=2x-2,解得x=4. 答案:4