人教A版 (2019)必修 第一册函数模型的应用练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册函数模型的应用练习，共8页。试卷主要包含了3　　D等内容，欢迎下载使用。
题组一 利用指数函数、对数函数模型解决问题
1.(2026北京顺义期中)点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL=15lg πr24,则传播距离从6 m变化到30 m时,衰减量的增加值约为(参考数据:lg 3≈0.5,lg 5≈0.7)( )
A.21 dB B.20 dB C.18 dB D.14 dB
2.(2026江苏南京七校联合体期中)物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1℃,环境温度为θ0℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.已知环境温度为20 ℃,一块面包从温度为140 ℃的烤箱里拿出,经过10分钟温度降至80 ℃,那么温度降至35 ℃大约再经过( )
A.10分钟 B.20分钟
C.30分钟 D.40分钟
3.(2026四川成都石室中学期中)DeepSeek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它以神经网络为出发点.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时,学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(多选题)(2026海南创新中学协作校月考)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率r满足r=t-1ln MtM0,其中t为经过的时间,M0为t=0时的人口总数(单位:万),Mt为经过t年后的人口总数(单位:万).给出三市2025年年底人口总数及预计年平均增长率的情况,如表:
利用上表数据,设A,B,C三市在2035年年底人口总数的估计值分别为MA,MB,MC,则( )
A.MA>23MC B.MB>12MC
C.MC=3Me0.3 D.MA≤23MC
5.(多选题)(2026陕西安康部分校期中联考)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它所到之处,树木枯萎、花草凋零.经测算,薇甘菊的侵害面积S(单位:hm2)与自开始受侵害起的年数t满足关系式S=S0at,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.某热带地区最初受到薇甘菊侵害的面积为2 000 hm2,一年后受侵害的面积为2 114 hm2,则( )
A.a=1.077
B.当t=15.5时,S=S0·a31
C.必然存在正数b,使得b2=a31
D.当t为整数时,薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数的增大而增大
6.(2026重庆巴蜀中学期中)某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇,决定开发生产一大型电子设备,该设备分为A,B两种型号,两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A型号该设备的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1亿元,公司获得毛收入0.5亿元;生产B型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)分别求出生产A,B两种型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式;
(2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产A,B两种型号该设备,设投入x亿元生产A型号,用f(x)表示公司所获净利润,当x为多少时,可以获得最大净利润?并求出最大净利润.(净利润=A型号的毛收入+B型号的毛收入-研发耗费资金)
题组二 拟合函数模型解决问题
7.(2025河南新乡月考)在一次数学试验中,小胡同学运用图形计算器采集到如下数据:
在以下四个函数模型中,a,b为常数,则最能反映x,y之间的函数关系的是( )
A.y=ax+b B.y=ax+b
C.y=ax2+b D.y=lgax+b
8.(2026广东六校联合学业质量检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t·9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3,4天的舆论场指数整理成如下表格:
为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①y=ax+b;②y=plgqx+g;③y=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0.
(1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第6天的舆论场指数;
(2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值.
能力提升练
题组 利用指数、对数函数模型解决实际问题
1.(2025上海松江期末)根据经济学理论,企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响.若用Q表示产量,L表示劳动投入,K表示资本投入,A表示技术水平,则它们的关系可以表示为Q=AK1αL1β,其中A>0,K>0,L>0,α>1,β>1.当A不变,K与L均变为原来的2倍时,有关于Q的两个命题:
①存在α,β∈(1,2),使得Q变为原来的2倍;
②若2(α2+β2)=α2β2,则Q最多可变为原来的2倍.
下列说法正确的是( )
A.①和②都是真命题
B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题
D.①和②都是假命题
2.(2026黑龙江哈尔滨六中月考)已知某种放射性元素在有机体体液内的浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k·at(k,a为大于0的常数且a≠1).当c=16时,t=10;当c=112时,t=20.当这种有机体体液内该种放射性元素的浓度为160 Bq/L时,大约需要(参考数据:lg23≈1.58,lg25≈2.32)( )
A.43年 B.53年
C.73年 D.120年
3.(2026福建厦门外国语学校期中)某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射1 mL该药品,从注射时间起血药浓度y(单位:μg/mL)与该药品在体内的时间x(单位:小时)的关系如下:
已知当0≤x≤6时,y与x的关系服从下列三个函数模型中的一个:①y=ax2-6ax,②y=klg2x+b(k0,该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
答案
4.5.3 函数模型的应用
基础过关练
1.A 当r=6时,ΔL1=15lg 36π4,
当r=30时,ΔL2=15lg 900π4,
所以ΔL2-ΔL1=15lg 900π4-lg 36π4=15lg900π4×436π=30lg 5≈30×0.7=21.
2.B 由已知得θ0=20,θ1=140,θ=80,t=10,
代入θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt可得80=20+(140-20)e-10k,则e10k=2,
设再经过t1分钟,温度可由80 ℃降为35 ℃,则35=20+(80-20)e-kt1,
即ekt1=4=22=e20k,即t1=20.
故再经过20分钟,面包的温度降为35 ℃.
3.C 由已知得L0=0.6,G0=20,代入L=L0DGG0,得L=0.6DG20,依题意得0.3=0.6D12,则D=14,
则L=0.6×14G20,
令L=0.6×14G2020lg1423=10(lg23-1)=10lg3lg2-1≈10×,
所以所需的训练迭代轮数至少为6.
4.BCD 由r=t-1ln MtM0,得rt=ln MtM0,所以MtM0=ert,所以Mt=M0ert.由题意得t=10,所以Mt=M0e10r.
设A,B,C三市的人口年平均增长率分别为r1,r2,r3,则r1∈[0.02,0.03],r2∈[0.04,0.05],r3=0.03.
对于A,D,MAMC=2Me10r13Me10r3=23e10(r1-r3),因为r1-r3≤0,所以MAMC≤23,故A错误,D正确.
对于B,MBMC=1.5Me10r23Me10r3=12e10(r2-r3),因为r2-r3>0,所以MBMC>12,故B正确.
对于C,MC=3Me10r3=3Me0.3,故C正确.
5.BCD 当t=0时,S=S0·a0=S0=2 000,当t=1时,S=S0·a1=S0a=2 114,则a=1.057,因此A错误;
当t=15.5时,S=S0·a312=S0·a31,因此B正确;
当t=15.5时,at=a312,由正分数指数幂的定义,必然存在正数b,使得b2=a31,此时正数b=a312,因此C正确;
当t为整数时,因为a>1,所以由指数函数的单调性知薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数的增大而增大,因此D正确.
6.解析 (1)由已知可设生产A型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式为y=mx(m≠0),则0.5=m×1,得m=0.5,故y=x2(x>0).
将(1,3),(4,6)代入y=kxa,
得k=3,k×4a=6,解得k=3,a=12,
故生产B型号该设备的毛收入y(亿元)与投入的资金x(亿元)的函数关系式为y=3x(x>0).
(2)由题意得f(x)=x2+320-x-2,
令t=20-x,则x=20-t2(0