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人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）图文ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）图文ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了常见函数模型，常考题型，函数模型的选择等内容，欢迎下载使用。
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
重点：应用函数模型解决实际问题的方法与步骤.难点：如何选择适当的函数模型分析和解决问题.
二、建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题的基本思路
建立函数模型解决实际问题的解题步骤第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型.了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定.第二步，求解数学模型.利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答.第三步，转译成实际问题的解.
不同增长的函数模型的特点一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
一、利用已知函数模型解决实际问题
1. 指数函数和对数函数模型 例1 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at-1（a>0且a≠1），它的图象如图4-5-5所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号有 .（注：请写出所有正确结论的序号）【解题提示】 利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数关系式和函数的性质求出结果.
◆利用已知函数模型解决实际问题的一般思路（1）根据已知条件，利用待定系数法求出已知函数模型中的参数值；（2）利用求得的函数模型解决实际问题.◆指数型、对数型函数问题的类型及解法1.指数型函数模型:y＝max（a>0且a≠1，m≠0），在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.2.对数型函数模型:y＝mlgax+c（m≠0，a>0且a≠1），对数型函数模型一般给出函数解析式，然后利用对数的运算求解.
◆分段函数模型的求解技巧1.在求分段函数解析式时，应先确定函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”.2.求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值求解自变量的值时，每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断该值是否属于此段自变量所在区间.◆应用分段函数时的三个注意点1.分段函数的“段”一定要分的合理，不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数值域的求法：逐段求函数值的范围，比较后再下结论.
二、构建函数模型解决实际问题
例3 某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈［6，8］.另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.（1）写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并指明其定义域.（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.
◆建立函数模型解决实际问题的步骤1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.2.建模：将文字语言转化成数学语言.3.求模：求解数学模型，得到数学结论.4.还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论.用框图表示如下：
训练题某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）A.2020年B.2021年C.2022年 D.2023年
2. 拟合函数模型解决实际问题 例4 某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场 调查，得到该蔬菜种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：10天） 的数据如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数：Q＝at+b，Q＝at2+bt+c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt中（其中a≠0），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【解】（1）以上市时间t（单位：10天）为横坐标，以种植成本Q（单位：元/10 kg）为纵坐标，画出散点图（如图所示）.根据点的分布特征，Q＝at+b，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型Q＝at2+bt+c与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型Q＝at2+bt+c描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2+bt+c， 得
◆建立拟合函数与预测的基本步骤
（1）求y关于x的函数解析式y＝f（x）；（2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳.
三、函数模型的选择与决策问题
例5 某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励工作人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解】 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间［5，60］上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有模型y＝lg5x符合公司的要求.
◆函数模型的增长差异1.对于幂函数y＝xn，当x>0，n>0时，y＝xn才是增函数，n越大，增长速度越快.2.指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax是增函数的前提都是a>1，它们的图象关于直线y＝x对称，a越大，y＝ax增长越快；a越小，y＝lgax增长越快.3.指数函数y＝ax与幂函数y＝xn，当x>0，n>0，a>1时，可能开始时有xn>ax，但因指数函数是爆炸式增长，因此当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax>xn.
训练题 1.输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f（x）的图象为（ ）
A B C D
2.汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的数据如下表：
2. 决策问题例6 某村电费收取有以下两种方案供农户选择.方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30千瓦时时，每千瓦时0.5元；超过30千瓦时时，超过部分按每千瓦时0.6元收取；方案二：不收管理费，每千瓦时0.58元.（1）求方案一中收费L（x）（元）与用电量x（千瓦时）间的函数关系.（2）老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少千瓦时？（3）老王家该月用电量在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更好？
【解】 （1）当0≤x≤30时，L（x）＝2+0.5x；当x>30时，L（x）＝2+30×0.5+（x-30）×0.6＝0.6x-1. 故L（x）＝
（2）当0≤x≤30时，由L（x）＝2+0.5x＝35，得x＝66（舍去）.当x>30时，L（x）＝0.6x-1＝35，得x＝60.故老王家该月用电60千瓦时.（3）设方案二收费F（x），则F（x）＝0.58x.当0≤x≤30时，由L（x）25，所以2530时，由L（x）
训练题学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12］时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）,当x∈［12，40］时，图象是线段BC，其中C（40，50）.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求y＝f（x）的函数解析式.（2）老师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
重点：应用函数模型解决实际问题的方法与步骤.难点：如何选择适当的函数模型分析和解决问题.
二、建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题的基本思路
建立函数模型解决实际问题的解题步骤第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型.了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定.第二步，求解数学模型.利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答.第三步，转译成实际问题的解.
不同增长的函数模型的特点一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
一、利用已知函数模型解决实际问题
1. 指数函数和对数函数模型 例1 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at-1（a>0且a≠1），它的图象如图4-5-5所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号有 .（注：请写出所有正确结论的序号）【解题提示】 利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数关系式和函数的性质求出结果.
◆利用已知函数模型解决实际问题的一般思路（1）根据已知条件，利用待定系数法求出已知函数模型中的参数值；（2）利用求得的函数模型解决实际问题.◆指数型、对数型函数问题的类型及解法1.指数型函数模型:y＝max（a>0且a≠1，m≠0），在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.2.对数型函数模型:y＝mlgax+c（m≠0，a>0且a≠1），对数型函数模型一般给出函数解析式，然后利用对数的运算求解.
◆分段函数模型的求解技巧1.在求分段函数解析式时，应先确定函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”.2.求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值求解自变量的值时，每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断该值是否属于此段自变量所在区间.◆应用分段函数时的三个注意点1.分段函数的“段”一定要分的合理，不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数值域的求法：逐段求函数值的范围，比较后再下结论.
二、构建函数模型解决实际问题
例3 某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈［6，8］.另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.（1）写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并指明其定义域.（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.
◆建立函数模型解决实际问题的步骤1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.2.建模：将文字语言转化成数学语言.3.求模：求解数学模型，得到数学结论.4.还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论.用框图表示如下：
训练题某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）A.2020年B.2021年C.2022年 D.2023年
2. 拟合函数模型解决实际问题 例4 某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场 调查，得到该蔬菜种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：10天） 的数据如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数：Q＝at+b，Q＝at2+bt+c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt中（其中a≠0），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【解】（1）以上市时间t（单位：10天）为横坐标，以种植成本Q（单位：元/10 kg）为纵坐标，画出散点图（如图所示）.根据点的分布特征，Q＝at+b，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型Q＝at2+bt+c与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型Q＝at2+bt+c描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2+bt+c， 得
◆建立拟合函数与预测的基本步骤
（1）求y关于x的函数解析式y＝f（x）；（2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳.
三、函数模型的选择与决策问题
例5 某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励工作人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解】 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间［5，60］上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有模型y＝lg5x符合公司的要求.
◆函数模型的增长差异1.对于幂函数y＝xn，当x>0，n>0时，y＝xn才是增函数，n越大，增长速度越快.2.指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax是增函数的前提都是a>1，它们的图象关于直线y＝x对称，a越大，y＝ax增长越快；a越小，y＝lgax增长越快.3.指数函数y＝ax与幂函数y＝xn，当x>0，n>0，a>1时，可能开始时有xn>ax，但因指数函数是爆炸式增长，因此当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax>xn.
训练题 1.输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f（x）的图象为（ ）
A B C D
2.汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的数据如下表：
2. 决策问题例6 某村电费收取有以下两种方案供农户选择.方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30千瓦时时，每千瓦时0.5元；超过30千瓦时时，超过部分按每千瓦时0.6元收取；方案二：不收管理费，每千瓦时0.58元.（1）求方案一中收费L（x）（元）与用电量x（千瓦时）间的函数关系.（2）老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少千瓦时？（3）老王家该月用电量在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更好？
【解】 （1）当0≤x≤30时，L（x）＝2+0.5x；当x>30时，L（x）＝2+30×0.5+（x-30）×0.6＝0.6x-1. 故L（x）＝
（2）当0≤x≤30时，由L（x）＝2+0.5x＝35，得x＝66（舍去）.当x>30时，L（x）＝0.6x-1＝35，得x＝60.故老王家该月用电60千瓦时.（3）设方案二收费F（x），则F（x）＝0.58x.当0≤x≤30时，由L（x）
训练题学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12］时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）,当x∈［12，40］时，图象是线段BC，其中C（40，50）.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求y＝f（x）的函数解析式.（2）老师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
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