人教版 (2019)必修 第二册行星的运动课后测评

这是一份人教版 (2019)必修 第二册行星的运动课后测评试卷主要包含了万有引力物理学史，开普勒三定律的理解和应用，万有引力定律的理解，环绕模型，天体质量和密度的计算，卫星运行参量的分析，卫星的变轨和对接问题，天体的“追及”问题等内容，欢迎下载使用。
【例1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．哥白尼追求真理，不惧权威，否定了亚里士多德提出的地心说，创造性地提出日心说
B．卡文迪什用扭秤实验测定了万有引力常量，涉及的物理思想方法是放大法
C．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的
D．海王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”
题型二 开普勒三定律的理解和应用
【例1】关于开普勒行星定律，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒定律只能适用于太阳系，不能推广到其他星系
B．开普勒第二定律可以理解为“近（日点）快，远（日点）慢”
C．地球到太阳连线和火星到太阳连线在相等时间扫过的面积相等
D．地球公转轨道半长轴3次方除以公转周期的2次方的值与月亮公转轨道半长轴3次方除以公转周期的2次方的值相等
【例2】如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比约为（ ）
A．B．C．D．
【例3】某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为（ ）
A．vb＝vaB．vb＝va
C．vb＝vaD．vb＝va
【例4】如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在A点的速度最小 B．卫星在C点的加速度最大
C．卫星从A到D运动时间为 D．卫星从A经B到C的运动时间为
题型三 万有引力定律的理解
类型1 万有引力定律的理解和计算
【例1】木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（ ）
A．300B．318
C．400D．360
【例2】火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
类型2 割补法
【例1】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【例2】半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
类型2 重力和万有引力的关系
【例1】关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（ ）
A．物体在南极受到的万有引力大于重力 B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大 D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
【例2】将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（ ）
A．g0小于g B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为ω= D．地球的平均密度为
类型3 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。
（1）用题目中的已知量表示图中的g0；
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。
【例2】把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(（R－d）2,（R＋h）2) C.eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3) D.eq \f(（R－d）（R＋h）,R2)
题型四 环绕模型
类型1 同一中心天体
【例1】火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太阳运动的（）
A. 轨道周长之比为2:3
B. 线速度大小之比为3:2
C. 角速度大小之比为22:33
D. 向心加速度大小之比为9:4
类型2 不同一中心天体
【例1】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为（）
110 B. 1 C. 5 D. 10
类型3 环绕+黄金代换
【例1】若把“天和核心舱”的运动看作是绕地球运行的匀速圆周运动，一航天爱好者研究发现，陈冬从打开舱门到完成出舱活动的时间t内，“天和核心舱”组合体绕地心转过的角度为。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑地球自转，由此可得到（ ）
A．“天和核心舱”绕地球转动的周期是 B．“天和核心舱”距地球表面的高度是
C．陈冬在随“天和核心舱”运行的过程中受到的重力为零 D．地球质量可表示或
类型4 张角问题
【例1】（多选）如图所示，行星绕太阳公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角，两角最大值分别为、则（ ）
A. 水星公转周期比金星的大
B. 水星的公转向心加速度比金星的大
C. 水星与金星的公转轨道半径之比为
D. 水星与金星的公转线速度之比为
题型五 天体质量和密度的计算
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】（多选）若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。忽略自转影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量
C．月球的自转周期 D．小球在空中的飞行时间为
【例2】一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。
（1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度；
（2）求出该星球的平均密度；
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例1】利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【例2】据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2) B.eq \f(π,3T2) C.eq \f(3πb,aGT2) D.eq \f(3πa,bGT2)
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
题型六 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量的关系
【例1】金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金a火 B．a火>a地>a金 C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【例2】假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(4π2R\\al(13,)M,gR\\al(22,)T2) B.eq \f(gR\\al(22,)T2M,4π2R\\al(13,)) C.eq \f(gR\\al(12,),G) D.eq \f(gR\\al(22,),G)
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
【例1】中国天宫空间站运行在距离地球表面约400千米高的近地轨道上，而地球同步卫星离地高度约为36000千米。如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为中国空间站，c为地球同步卫星，则下列说法正确的是（ ）
A．线速度的大小关系为
B．周期关系为
C．向心加速度的关系
D．同步卫星c的4 h内转过的圆心角是eq \f(π,6)
【例2】国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震撼。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站和配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以建设在北京
B．箱体在上升过程中质量越来越小
C．配重的线速度大于同步空间站的线速度
D．若同步空间站和配重间的缆绳断开，配重将做向心运动
类型3 宇宙速度
【例1】如图所示是三个宇宙速度的示意图，则（ ）
A．嫦娥一号卫星的无动力发射速度需要大于16.7 km/s
B．太阳系外飞行器的无动力发射速度只需要大于11.2 km/s
C．天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D．三个宇宙速度对哈雷彗星（绕太阳运动）不适用
【例2】已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（ ）
A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度
B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的
C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的
D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的
题型七 卫星的变轨和对接问题
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
【例1】（多选）某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道II，到达轨道II的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道III绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A．Z卫星在轨道I上运动的角速度与在轨道III上运动的角速度之比是8：1
B．Z卫星在轨道I上运动的周期大于在轨道II上运动的周期
C．Z卫星在轨道III上经过B点时的速度大于在轨道II上经过B点时的速度
D．Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度
【例2】(多选)如图所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
D．地球的质量可表示为
类型2 卫星的对接问题
【例1】假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
题型八 天体的“追及”问题
类型1 一维相遇
【例1】（多选）我国在太原卫星发射中心又一次“一箭三星”发射成功。现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为、h、h，某一时刻三个卫星位置如图所示，从该时刻起，下列说法正确的是（ ）
A．a、b每经过4h相距最近一次B．a、b经过8h第一次相距最远
C．a、c经过2h第一次相距最远D．a、c经过8h相距最近
【例2】我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，该双星系统由两个恒星、组成，两恒星绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为。为的一个行星，绕做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略与之间的万有引力，且与之间的万有引力远大于与之间的万有引力。则、、三星由图示位置到再次共线所用时间为（ ）
A．B．
C．D．
类型2 二维相遇
【例3】如图所示为天启星座04组卫星中的卫星A与北斗导航卫星B绕地球的运动轨迹，两卫星轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，卫星A恰好位于卫星B的正下方，一段时间后，A在另一位置从B的正下方经过，已知卫星A的轨道半径为，则卫星B的轨道半径可能为（ ）
A．B．
C．D．
题型九 星球稳定自转的临界问题
【例1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【例2】2017年诺贝尔物理学奖授予了三位美国科学家，以表彰他们为“激光干涉引力波天文台”(LIGO)项目和发现引力波所做的贡献，引力波的形成与中子星有关。通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的自转周期增为T＝2T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
题型十 双星或多星模型
【例1】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2)) B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3 D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
【例2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，则下列说法正确的是（ ）
A．A星体所受合力大小
B．B星体所受合力大小
C．C星体的轨道半径
D．三星体做圆周运动的周期
【例4】据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为（ ）
A．B．
C．D．
题型十一 潮汐
【例1】海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。
已知太阳质量为，太阳与地球的距离为，月球质量为，月球与地球的距离为，地球质量为，地球半径取。请你估算一下：对同一片海水来说，太阳对海水的引力、月球对海水的引力，分别是海水重力的几分之一？
题型十二 黑洞
【例1】（多选）理论研究表明，黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。已知某恒星的质量为M，半径为R，忽略自转影响，引力常量为G，真空中的光速为c，黑洞的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。则下列说法正确的是（ ）
A．该恒星的平均密度
B．该恒星表面的重力加速度为
C．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为（假设该恒星质量不变）
D．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为（假设该恒星质量不变）
题型十三 拉格朗日点
【例1】（多选）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动，若发射一颗卫星定位于拉格朗日点，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等
B．该卫星在点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处大
题型十四 星下点
【例1】“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A的运行圆轨道及某时刻星下点M的示意图。图乙为某段时间内卫星A绕地球做匀速圆周运动的星下点轨迹的经、纬度平面图，已知：卫星A绕行方向与地球自转方向相同，且轨道低于地球静止同步轨道卫星B（图中未画出）的轨道，卫星B的轨道半径为r。下列对卫星A的运动情况说法正确的是（ ）
A．运行周期为16h
B．轨道半径为r39
C．运行速度大于7.9km/s
D．轨道平面与北纬60°平面重合
【例2】（多选）如图（a），“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图（b）是航天控制中心大屏幕上显示甲、乙两颗卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。已知两卫星均绕地球做圆周运动，绕行方向与地球的自转方向一致，甲卫星的周期小于乙卫星；则下列说法正确的是（）
A．甲、乙两卫星的轨道一定不在同一平面
B．甲、乙两卫星的运行周期之比为1:3
C．甲、乙两卫星的运行速度之比为33:32
D．若甲、乙两卫星的星下点在某一时刻重合，则24小时后星下点仍会重合
题型十五 图像问题
【例1】木星周围的一些卫星围绕木星公转，其轨道可近似看成圆轨道，T和R是卫星圆周运动的周期和轨道半径。和为其中某一颗卫星的周期和轨道半径。可以预计，根据观测数据绘制的图像应该是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【例2】我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（ ）
A．该星球和地球的质量之比
B．该星球和地球的第一宇宙速度之比
C．该星球和地球的密度之比为
D．该星球和地球表面的重力加速度大小之比为
题型十六 万有引力与能量相关
【例1】地球对其周围的物体产生的万有引力是通过地球周围的引力场产生的，物体在引力场中具有的势能我们称为引力势能。在物理学中，动能、引力势能和弹性势能统称为机械能。一卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动。已知在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的人造地球卫星引力势能的表达式，离地心无穷远处引力势能为0，其中M为地球的质量（即产生引力场的中心天体质量），m为卫星的质量，G为引力常量。
(1)a．求该卫星的动能；
b．求该卫星的机械能；
c．若该卫星变轨后到达高轨道继续做匀速圆周运动，请说明随着轨道半径的增大，该卫星的机械能变化情况及原因。（不计卫星质量的变化）
(2)我们知道地球有三大宇宙速度，卫星沿地球表面附近做匀速圆周运动时所需的最小发射速度叫第一宇宙速度，也称为环绕速度。当卫星在地球表面的发射速度超过第一宇宙速度达到一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度叫第二宇宙速度，亦称逃逸速度。所谓摆脱地球束缚，就是几乎不受地球引力影响，这与处于离地球无穷远点的位置情况等价。请尝试从机械能守恒的角度推导地球的第二宇宙速度为，即第二宇宙速度为第一宇宙速度的倍（其中R为地球的半径，忽略其他天体的影响）。
(3)已知在地球表面附近，对于质量为m的物体离开地面高度为h时，若规定地球表面为重力势能零点，物体重力势能的表达式E0=mgh（g为重力加速度），这个表达式虽然与题干中引力势能的表达式在形式上有很大的差别，但二者本质相同，试证明在忽略地球自转的情况下，当h远小于地球半径R时，重力势能和引力势能的表达式是一致的。（可能用到的数学知识：当x→0时，）
天体运动习题答案
题型一 万有引力物理学史
【例1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．哥白尼追求真理，不惧权威，否定了亚里士多德提出的地心说，创造性地提出日心说
B．卡文迪什用扭秤实验测定了万有引力常量，涉及的物理思想方法是放大法
C．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的
D．海王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”
BD
【详解】A．哥白尼追求真理，不惧权威，否定了托勒密提出的地心说，创造性地提出日心说，A错误；
B．卡文迪什测量引力常量使用的扭秤装置，利用入射光线不变时，当入射角改变时，将扭秤转动的角度通过反射光线在屏上光斑移动显示出来，采用了放大法的物理思想方法，B正确；
C．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的，C错误；
D．海王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”，D正确。
故选BD。
题型二 开普勒三定律的理解和应用
【例1】关于开普勒行星定律，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒定律只能适用于太阳系，不能推广到其他星系
B．开普勒第二定律可以理解为“近（日点）快，远（日点）慢”
C．地球到太阳连线和火星到太阳连线在相等时间扫过的面积相等
D．地球公转轨道半长轴3次方除以公转周期的2次方的值与月亮公转轨道半长轴3次方除以公转周期的2次方的值相等
【答案】B
【解析】A．开普勒定律不但适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，故A错误；
B．根据开普勒第二定律，可知“近（日点）快，远（日点）慢”，而从近（日点）到远（日点），只有万有引力做功，故可以用机械能守恒定律进行解释，故B正确；
C．根据开普勒第二定律，同一行星在不同位置与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而火星和地球不在同一轨道，相等的时间内扫过的面积不相同，故C错误；
D．根据开普勒第三定律，同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，而地球围绕的中心天体是太阳，月亮围绕的中心天体是地球，故D错误。
故选B。
【例2】如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由开普勒第三定律可得
解得
故选D。
【例3】某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为（ ）
A．vb＝vaB．vb＝va
C．vb＝vaD．vb＝va
【答案】D
【详解】由开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，设行星在近日点和远日点都经过极短时间扫过的面积相等得
得
故选D。
【例4】如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在A点的速度最小B．卫星在C点的加速度最大
C．卫星从A到D运动时间为D．卫星从A经B到C的运动时间为
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律，有
可得在椭圆的各个点上产生的加速度为
因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故A正确；
D．卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，故D错误；
B C．卫星在B、D两点的速度大小相等，根据椭圆运动的对称性可知
因为卫星在距离地球最近的A点速度最大，所以卫星从A到D运动时间小于，卫星从B经A到D的运动时间小于，故BC错误；
故选D。
题型三 万有引力定律的理解
类型1 万有引力定律的理解和计算
【例1】木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（ ）
A．300B．318
C．400D．360
【答案】B
【解析】设物体的质量为m，地球质量为M，半径为R，木星的质量为，则木星的半径为11R，由万有引力公式可知：物体在木星表面受到的引力
物体在地球表面受到的引力
因为
所以
故选B。
【例2】火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(m地m,Req \\al(2,地))，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(m火m,Req \\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(m火Req \\al(2,地),m地Req \\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。
类型2 割补法
【例1】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】质量为M的球体对质点m的万有引力
挖去的球体的质量
质量为的球体对质点m的万有引力
则剩余部分对质点m的万有引力
故选D。
【例2】半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
D
【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量
所以
故选D。
类型3 重力和万有引力的关系
【例1】关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（ ）
A．物体在南极受到的万有引力大于重力
B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大
D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
【答案】B
【解析】ABD．万有引力的一个分力表现为重力，另一分力提供物体转动的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，所以物体在赤道受到的万有引力大于重力，在地球两极万有引力等于重力，故AD错误，B正确；
C．离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。
故选B。
【例2】将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（ ）
A．g0小于g
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为ω=
D．地球的平均密度为
【答案】C
【解析】A．设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有
物体在极地的重力等于万有引力，即
综合以上可知
故A错误；
B．在极地
解得
故B错误；
C．以上分析有
联立得
ω＝
故C正确；
D．由密度
结合B选项分析得
故D错误。
故选C 。
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。
（1）用题目中的已知量表示图中的g0；
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。
【答案】（1）；（2）见解析所示；（3）
【详解】（1）在地球表面，忽略地球自转，则有
（2）地球是质量均匀分布的球体，设地球密度为。在地球内部，设物体到地心的距离r，根据题意，在以半径r为界，外部球壳对物体吸引力为0，则有吸引力部分的质量，根据万有引力定律
可得出，在地球内部，重力加速度与r成正比。
（3）微元法：将物体从离地心2R释放到落地表过程中分割为无数微小段，每一段的重力加速度可近似认为是不变的，再对这些过程进行累加求重力做功，其中gh数值与图像中R-2R部分的面积相对应，根据题意，又与O-R部分的面积对应，可得总功为
根据动能定理
带入计算可得
【例2】把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(（R－d）2,（R＋h）2)
C.eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3) D.eq \f(（R－d）（R＋h）,R2)
【答案】C
【解析】：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝Geq \f(M,R2).由于地球的质量为：M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g,g)＝eq \f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)，eq \f(g,a)＝eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3)，故C正确，A、B、D错误．
题型四 环绕模型
类型1 同一中心天体
【例1】火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太阳运动的（）
A. 轨道周长之比为2:3
B. 线速度大小之比为3:2
C. 角速度大小之比为22:33
D. 向心加速度大小之比为9:4
【答案】C
类型2 不同一中心天体
【例1】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为（）
110 B. 1 C. 5 D. 10
【答案】B
类型3 环绕+黄金代换
【例1】若把“天和核心舱”的运动看作是绕地球运行的匀速圆周运动，一航天爱好者研究发现，陈冬从打开舱门到完成出舱活动的时间t内，“天和核心舱”组合体绕地心转过的角度为。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑地球自转，由此可得到（ ）
A．“天和核心舱”绕地球转动的周期是
B．“天和核心舱”距地球表面的高度是
C．陈冬在随“天和核心舱”运行的过程中受到的重力为零
D．地球质量可表示或
A
【详解】A．“天和核心舱”角速度为
周期为
A正确；
B．根据
又
距地球表面的高度为
B错误；
C．陈冬在随“天和核心舱”运行的过程中所受重力等于万有引力，用来提供向心力，C错误；
D．根据
得
D错误。
故选A。
类型4 张角问题
【例1】（多选）如图所示，行星绕太阳公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角，两角最大值分别为、则（ ）
A. 水星公转周期比金星的大
B. 水星的公转向心加速度比金星的大
C. 水星与金星的公转轨道半径之比为
D. 水星与金星的公转线速度之比为
【答案】BC
题型五 天体质量和密度的计算
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】（多选）若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。忽略自转影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度
B．月球的质量
C．月球的自转周期
D．小球在空中的飞行时间为
【答案】ABD
【解析】AD．根据平抛运动规律得
联立解得
，
故AD正确；
B．对于月球表面质量为m的物体有
解得
故B正确；
C．v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，所以题中的公式不能计算出月球的自转周期，故C错误。
故选ABD。
【例2】一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。
（1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度；
（2）求出该星球的平均密度；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得
可得该星球表面的重力加速度为
（2）在星球表面，由万有引力等于重力可得
联立解得该星球的平均密度为
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例1】利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解析】因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即eq \f(GM地m,R2)＝mg，得M地＝eq \f(gR2,G)，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM地m卫,R2)＝m卫eq \f(v2,R)和T＝eq \f(2πR,v)，得M地＝eq \f(v3T,2πG)，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM地m月,r2)＝m月eq \f(4π2,T2)r，得M地＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据eq \f(GM太m地,r2)＝m地eq \f(4π2,T2)r，得M太＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
【例2】据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2) B.eq \f(π,3T2) C.eq \f(3πb,aGT2) D.eq \f(3πa,bGT2)
【答案】C
【解析】：万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：Geq \f(M地m,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，且ρ地＝eq \f(3M地,4πR3)，联立得ρ地＝eq \f(3π,GT2).而eq \f(ρ星,ρ地)＝eq \f(M星,V星M地)＝eq \f(b,a)，因而ρ星＝eq \f(3πb,aGT2)
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有eq \f(Gm中m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，整理得eq \f(R3,T2)＝eq \f(Gm中,4π2)，可知eq \f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(\f(Req \\al(3,S2),Teq \\al(2,S2)),\f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地)))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确
题型六 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量的关系
【例1】金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金a火 B．a火>a地>a金 C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【答案】A
【解析】金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,R2)＝ma，解得a＝Geq \f(M,R2)，结合题中R金a火，选项A正确，B错误；同理，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，再结合题中R金v火，选项C、D错误．
【例2】假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(4π2R\\al(13,)M,gR\\al(22,)T2) B.eq \f(gR\\al(22,)T2M,4π2R\\al(13,)) C.eq \f(gR\\al(12,),G) D.eq \f(gR\\al(22,),G)
【答案】A
【解析】绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知：
Geq \f(Mm,R\\al(22,))＝mg
同理，对绕火星表面运动的天体有：
eq \f(GM火m,R\\al(12,))＝m(eq \f(2π,T))2R1
结合两个公式可解得：M火＝eq \f(4π2R\\al(13,)M,gR\\al(22,)T2)，故A对．
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
【例1】中国天宫空间站运行在距离地球表面约400千米高的近地轨道上，而地球同步卫星离地高度约为36000千米。如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为中国空间站，c为地球同步卫星，则下列说法正确的是（ ）
A．线速度的大小关系为
B．周期关系为
C．向心加速度的关系
D．同步卫星c的4 h内转过的圆心角是eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】A．对ac因为两者的角速度相同，根据，可知，对bc根据
可得，可知，则线速度的大小关系为
选项A错误；
B．对ac两者的周期相同，对bc根据开普勒第三定律可知，可知
可知周期关系为，选项B错误；
C．对ac因为两者的角速度相同，根据，可知，对bc根据，可知，可知则向心加速度的关系
选项C正确；
D．c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是eq \f(2π,24)×4＝eq \f(π,3)，选项D错误。
故选C。
【例2】国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震撼。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站和配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以建设在北京
B．箱体在上升过程中质量越来越小
C．配重的线速度大于同步空间站的线速度
D．若同步空间站和配重间的缆绳断开，配重将做向心运动
【答案】C
【详解】A．根据题意可知缆绳相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道正上方，所以地面基站不可能建设在北京，故A错误；
B．质量是物体的基本属性，不随物体的位置、状态等因素改变，箱体在上升过程中，位置变化，但质量不变，故B错误；
C．根据（v是线速度，ω是角速度，r是圆周运动半径 ）由于配重和同步空间站角速度ω相同，配重的圆周运动半径大于同步空间站，所以配重的线速度大于同步空间站的线速度，故C正确；
D．若同步空间站和配重间的缆绳断开，配重所需向心力不足，将做离心运动，而非向心运动，故D错误。
故选C。
类型3 宇宙速度
【例1】如图所示是三个宇宙速度的示意图，则（ ）

A．嫦娥一号卫星的无动力发射速度需要大于16.7 km/s
B．太阳系外飞行器的无动力发射速度只需要大于11.2 km/s
C．天宫空间站的飞行速度大于7.9 km/s
D．三个宇宙速度对哈雷彗星（绕太阳运动）不适用
【答案】D
【详解】A．嫦娥一号绕月球运行，但仍没有脱离太阳系，无动力发射速度需要小于16.7 km/s，A错误；
B．太阳系外飞行器的无动力发射速度需要大于16.7 km/s，B错误；
C．天宫空间站绕地球做近似圆周运动，运动速度小于7.9 km/s，C错误；
D．三个宇宙速度对应的中心天体均是地球，不适用于哈雷彗星，D正确。
故选D。
【例2】已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（ ）
A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度
B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的
C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的
D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的
【答案】B
【详解】A．天问一号要脱离地球引力，则发射速度要大于地球的第二宇宙速度，故A错误；
B．根据重力等于万有引力，即
可知，则火星陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的，故B正确；
C．第一宇宙速度
则火星的第一字宙速度约为地球第一宇宙速度的，故C错误；
D．根据牛顿第二定律，公转加速度
则火星公转的加速度约为地球公转加速度的，故D错误。
故选B。
题型七 卫星的变轨和对接问题
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
【例1】（多选）某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道II，到达轨道II的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道III绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A．Z卫星在轨道I上运动的角速度与在轨道III上运动的角速度之比是8：1
B．Z卫星在轨道I上运动的周期大于在轨道II上运动的周期
C．Z卫星在轨道III上经过B点时的速度大于在轨道II上经过B点时的速度
D．Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度
【答案】ACD
【解析】AD．根据万有引力提供向心力可得
可得，
则Z卫星在轨道I上运动的角速度与在轨道II上运动的角速度之比
由于Z卫星在圆形轨道III上的轨道半径大于在圆形轨道I上的轨道半径，则Z卫星在圆形轨道III上运行时的加速度小于在圆轨道I上运行时的加速度，故AD正确；
B．根据开普勒第三定律可得
由于Z卫星在轨道I上的轨道半径小于在轨道II上的半长轴，则Z卫星在轨道I上运动的周期小于在轨道II上运动的周期，故B错误；
C．Z卫星从轨道II变轨到轨道III，需要在B处点火加速，则Z卫星在轨道III上经过B点时的速度大于在轨道II上经过B点时的速度，故C正确。
故选ACD。
【例2】(多选)如图所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
D．地球的质量可表示为
【答案】AD
【解析】在轨道Ⅰ上A点时点火减速变轨进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，在轨道Ⅲ上B的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，即在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，故A正确；从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，引力做正功，动能增加，引力势能减小，在A点和B点变轨过程中，发动机点火减速运动，则机械能减小，即在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能大，故B错误；根据公式Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，所以距离地球越近，向心加速度越大，故从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故C错误；在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝，故D正确．
类型2 卫星的对接问题
【例1】假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
【答案】D
【详解】A．由于线速度是矢量，既有大小又有方向，飞船从A点到B点线速度大小不变，方向改变，A错误；
B．飞船从B点到C点，做加速运动，速度增大，喷气对飞船做正功，飞船的机械能增大，机械能不守恒，B错误；
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得
解得
可知对接稳定后在2轨道周期大于在1轨道周期，C错误；
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得
解得
可知对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小，D正确。
故选D。
题型八 天体的“追及”问题
类型1 一维相遇
【例1】（多选）我国在太原卫星发射中心又一次“一箭三星”发射成功。现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为、h、h，某一时刻三个卫星位置如图所示，从该时刻起，下列说法正确的是（ ）
A．a、b每经过4h相距最近一次B．a、b经过8h第一次相距最远
C．a、c经过2h第一次相距最远D．a、c经过8h相距最近
CD
【详解】AB．a、b转动方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为t1，则由
解得
t1=8h
即a、b每经过8h相距最近一次，故AB错误；
C．a、c转动方向相反，当a、c第一次相距最远时，设经过时间t2，则
解得
t2=2h
选项C正确。
D．a、c转动方向相反，在相距最近的过程中，a、c共转n圈，设相遇的时间为t2，则由
（n=1，2，3……）
当n=2时解得
t2=8h
故D正确。
故选CD。
【例2】我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，该双星系统由两个恒星、组成，两恒星绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为。为的一个行星，绕做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略与之间的万有引力，且与之间的万有引力远大于与之间的万有引力。则、、三星由图示位置到再次共线所用时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】、组成双星系统，其运动周期一致，时刻保持共线。绕到如图所示的位置，、、三星再次共线。
设、旋转角度为，、顺时针旋转，逆时针旋转，则旋转的角度为
、旋转所用时间
旋转所用时间
联立得
解得
故选A。
类型2 二维相遇
【例3】2024年12月19日，我国将天启星座04组卫星送入近地轨道，有效解决了地面网络覆盖盲区的问题。如图所示为天启星座04组卫星中的卫星A与北斗导航卫星B绕地球的运动轨迹，两卫星轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，卫星A恰好位于卫星B的正下方，一段时间后，A在另一位置从B的正下方经过，已知卫星A的轨道半径为，则卫星B的轨道半径可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设“卫星A”卫星周期为，则它运动到地球另一侧经过的时间，，
设导航卫星B周期为，经过的时间，
由于“卫星A”卫星轨道更低，周期更短，则
它再从导航卫星B正下方经过，满足
即，
设导航卫星B的半径为，根据开普勒第三定律，则卫星B的轨道半径
其中、取整数且，D符合题意。
故选D。
题型九 星球稳定自转的临界问题
【例1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对近地卫星，有
联立得
考虑地球赤道处一小块质量为m0的物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有
联立得
所以
故D正确ABC错误。
故选D。
【例2】2017年诺贝尔物理学奖授予了三位美国科学家，以表彰他们为“激光干涉引力波天文台”(LIGO)项目和发现引力波所做的贡献，引力波的形成与中子星有关。通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的自转周期增为T＝2T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
【答案】D
【解析】考虑中子星“赤道”上的一物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体转动所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的质量为M，半径为R，已知自转周期为T0，位于“赤道”处的物体的质量为m，则有eq \f(GMm,R2)＝mReq \f(4π2,Teq \\al(2,0))，当中子星的自转周期增为T＝2T0时，质量为m的某物体在该中子星“两极”所受重力G1＝Geq \f(Mm,R2)＝mReq \f(4π2,Teq \\al(2,0))，在该中子星“赤道”处所受重力G2＝Geq \f(Mm,R2)－mReq \f(4π2,（2T0）2)＝eq \f(3,4)mReq \f(4π2,Teq \\al(2,0))，解得eq \f(G1,G2)＝eq \f(4,3)，即D正确。
题型十 双星或多星模型
【例1】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2)) B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3 D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
【答案】A
【解析】两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即Meq \f(4π2,T2)rA＝3Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝eq \f(3,4)L，根据牛顿第二定律有：Meq \f(4π2,T2)rA＝Geq \f(3M2,L2)，解得L＝eq \r(3,\f(GMT2,π2))，选项A正确；由v＝eq \f(2π,T)r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
【例2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则
解得
第二种形式下，三颗星体之间的距离均为，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为
任一星体所受的合力充当向心力，即有
解得
则
故B正确。
故选B。
【例3】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，则下列说法正确的是（ ）
A．A星体所受合力大小
B．B星体所受合力大小
C．C星体的轨道半径
D．三星体做圆周运动的周期
D
【详解】A．由万有引力定律可知，A星受到B、C的引力的大小
方向如图，则合力的大小为
故A错误；
B．同上，B星受到的引力分别为
，
方向如图；则沿x方向的分力为
沿y方向的分力为
可得B星体所受合力大小为
故B错误；
C．通过对于B的受力分析可知，由于
图中O为BC中垂线AD的中点，根据几何关系可得
可知B星体受到的合力的方向经过BC的中垂线AD的中点O，由于C的受力大小与B的受力大小相同，所以C星体受到的合力的方向也经过BC的中垂线AD的中点O，则B、C星体做圆周运动的圆心一定在BC的中垂线AD的中点O处；则有
故C错误；
D．对B星体，根据牛顿第二定律可得
解得
故D正确。
故选D。
【例4】据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，由几何关系可知，图甲中对角线上两颗星的距离为
图甲中每颗星受力情况如图所示
由万有引力公式可得
则每颗星所受合力为
由合力提供向心力有
解得
根据题意，由几何关系可知，图乙中，两个三角形顶点上的星间的距离为
图乙中三角形顶点上的星受力情况如图所示
由万有引力公式可得
则三角形顶点上的星所受合力为
由合力提供向心力有
解得
故
故选B。
题型十一 潮汐
【例1】海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。
已知太阳质量为，太阳与地球的距离为，月球质量为，月球与地球的距离为，地球质量为，地球半径取。请你估算一下：对同一片海水来说，太阳对海水的引力、月球对海水的引力，分别是海水重力的几分之一？
答案，
【详解】在地球表面上，根据
解得
设海水的质量为m，太阳对海水的万有引力为
月球对海水的万有引力为
则太阳对海水的万有引力与海水重力之比为
月球对海水的万有引力与海水重力之比为
题型十二 黑洞
【例1】（多选）理论研究表明，黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。已知某恒星的质量为M，半径为R，忽略自转影响，引力常量为G，真空中的光速为c，黑洞的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。则下列说法正确的是（ ）
A．该恒星的平均密度
B．该恒星表面的重力加速度为
C．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为（假设该恒星质量不变）
D．若该恒星演化为黑洞，则其半径的最大值为（假设该恒星质量不变）
AD
【详解】A．该恒星的平均密度为
故A正确；
B．由
解得
故B错误；
CD．光无法逃逸，则黑洞的最小逃逸速度大于等于光速，逃逸速度最小时黑洞的半径最大，由
联立解得
故C错误，D正确。
故选AD。
题型十三 拉格朗日点
【例1】（多选）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动，若发射一颗卫星定位于拉格朗日点，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等
B．该卫星在点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处大
CD
【详解】A．根据题意可知，该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等，故A错误；
B．该卫星在点绕太阳做匀速圆周运动，不是平衡状态，故B错误；
C．根据题意可知，卫星位于这些点上与地球同步绕太阳做圆周运动，由公式可知，由于卫星绕太阳运动的半径大于地球绕太阳运动的半径，则该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故C正确；
D．根据题意，由牛顿第二定律有
卫星在处和在处绕太阳做圆周运动的周期相同，处半径大，则卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处大，故D正确。
故选CD。
题型十四 星下点
【例1】“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A的运行圆轨道及某时刻星下点M的示意图。图乙为某段时间内卫星A绕地球做匀速圆周运动的星下点轨迹的经、纬度平面图，已知：卫星A绕行方向与地球自转方向相同，且轨道低于地球静止同步轨道卫星B（图中未画出）的轨道，卫星B的轨道半径为r。下列对卫星A的运动情况说法正确的是（ ）
A．运行周期为16h
B．轨道半径为r39
C．运行速度大于7.9km/s
D．轨道平面与北纬60°平面重合
【答案】B
【例2】（多选）如图（a），“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图（b）是航天控制中心大屏幕上显示甲、乙两颗卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。已知两卫星均绕地球做圆周运动，绕行方向与地球的自转方向一致，甲卫星的周期小于乙卫星；则下列说法正确的是（）
A．甲、乙两卫星的轨道一定不在同一平面
B．甲、乙两卫星的运行周期之比为1:3
C．甲、乙两卫星的运行速度之比为33:32
D．若甲、乙两卫星的星下点在某一时刻重合，则24小时后星下点仍会重合
【答案】AC
题型十五 图像问题
【例1】木星周围的一些卫星围绕木星公转，其轨道可近似看成圆轨道，T和R是卫星圆周运动的周期和轨道半径。和为其中某一颗卫星的周期和轨道半径。可以预计，根据观测数据绘制的图像应该是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据开普勒周期定律运动天体的周期的平方与轨道半径的三次方成正比可知
两式相除后取对数，得
整理得
故选B。
【例2】我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆周运动中的周期二次方与轨道半径三次方的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，图中c、m、n已知，则（ ）
A．该星球和地球的质量之比
B．该星球和地球的第一宇宙速度之比
C．该星球和地球的密度之比为
D．该星球和地球表面的重力加速度大小之比为
【答案】B
【详解】A．根据万有引力提供向心力可得
联立可得
图像的斜率为
该星球和地球的质量之比
故A错误；
B．“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足，则
则
根据万有引力提供向心力可得
可得
该星球和地球的第一宇宙速度之比
故B正确；
C．体积为
密度为
该星球和地球的密度之比为
故C错误；
D．根据万有引力与重力的关系
该星球和地球表面的重力加速度大小之比为
故D错误。
故选B。
题型十六 万有引力与能量相关
【例1】地球对其周围的物体产生的万有引力是通过地球周围的引力场产生的，物体在引力场中具有的势能我们称为引力势能。在物理学中，动能、引力势能和弹性势能统称为机械能。一卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动。已知在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的人造地球卫星引力势能的表达式，离地心无穷远处引力势能为0，其中M为地球的质量（即产生引力场的中心天体质量），m为卫星的质量，G为引力常量。
(1)a．求该卫星的动能；
b．求该卫星的机械能；
c．若该卫星变轨后到达高轨道继续做匀速圆周运动，请说明随着轨道半径的增大，该卫星的机械能变化情况及原因。（不计卫星质量的变化）
(2)我们知道地球有三大宇宙速度，卫星沿地球表面附近做匀速圆周运动时所需的最小发射速度叫第一宇宙速度，也称为环绕速度。当卫星在地球表面的发射速度超过第一宇宙速度达到一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度叫第二宇宙速度，亦称逃逸速度。所谓摆脱地球束缚，就是几乎不受地球引力影响，这与处于离地球无穷远点的位置情况等价。请尝试从机械能守恒的角度推导地球的第二宇宙速度为，即第二宇宙速度为第一宇宙速度的倍（其中R为地球的半径，忽略其他天体的影响）。
(3)已知在地球表面附近，对于质量为m的物体离开地面高度为h时，若规定地球表面为重力势能零点，物体重力势能的表达式E0=mgh（g为重力加速度），这个表达式虽然与题干中引力势能的表达式在形式上有很大的差别，但二者本质相同，试证明在忽略地球自转的情况下，当h远小于地球半径R时，重力势能和引力势能的表达式是一致的。（可能用到的数学知识：当x→0时，）
(1)a．，b．，c．见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）a．根据万有引力提供向心力
动能的表达式
联立可得
b．该卫星的机械能
c．根据b，可知卫星机械能表达式
若该卫星变轨后到达高轨道继续做匀速圆周运动，则随着轨道半径的增大，卫星的机械能变大。
（2）设地球的第二宇宙速度为v2，卫星脱离地球到无穷远处时引力势能为零、动能为零，卫星从地球表面发射后至离地球无穷远处的过程中只有引力做负功，该过程机械能守恒，所以有
得
（3）以无穷远处为零势能点，根据题意，物体在地表的引力势能为
在距离地表h处的引力势能为
以地面为零势能点时
在地球表面时，万有引力等于重力，即
整理可得
联立可得
又
可得