高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行1 行星的运动精品导学案

开普勒三定律

1. 开普勒三定律

开普勒以第谷详细的天文观测数据为基础，总结出了开普勒行星运动三定律，为牛顿万有引力定律的提出奠定了基础。其主要内容为：

1）第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

说明：第一定律指出了行星运动局限在一个平面上，在高中阶段我们把该问题化简为平面上的圆周运动问题，这就保证了同学们前面学习圆周运动的知识与方法可以应用在本节中。

2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

说明：第二定律等效于指出在天体运动中，近星体点速度大而远星体点速度小。要求同学们会根据第二定律进行定性的判定。

3）第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

说明：第三定律定量的指出了行星运动周期与距离中心天体的距离之间的关系，要求同学们会利用第三定律定量计算同一中心天体不同卫星的周期等与圆周运动相关的量。

2. 开普勒第三定律的应用

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

注意：在应用开普勒第三定律的时候，应该注意其成立前提，即：对于同一个中心天体的不同环绕天体。同时应明确，开普勒第三定律既可以讨论圆轨道，也可以讨论椭圆轨道上的运动，对于圆轨道表达式中的代表圆轨道半径，对于椭圆轨道表达式中的则代表椭圆轨道的半长轴。

1. 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（    ）

A. 开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B. 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C. 开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D. 开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

答案：B

解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒三定律，找出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，是牛顿发现了万有引力定律

2. 对于开普勒第三定律的表达式的理解正确的是（    ）

A. 与成正比

B. 与成反比

C. 值是与和无关的值

D. 值只与中心天体有关

答案：CD

解析：由开普勒第三定律可知，所有行星的半长轴a的三次方与公转周期T的平方之比都是不变的，当a增大时，T也增大，使得k值不变，所以A、B错误.k是由与恒星有关的量决定，而与a、T及行星都无关，故C、D正确。

有一颗与同步卫星在同一轨道平面的人造卫星，自西向东绕地球运行。已知它的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，地球自转周期为T，则该卫星至少需要相隔多长时间才在同一城市的正上方再次出现?      

答案：

解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以根据开普勒第三定律该人造卫星与同步卫星的周期之比是

即

设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，

根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得：

解得t=，即卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次。

1. 使用开普勒第三定律的方法

（1）明确中心天体。

（2）找到研究对象距离中心天体的距离之比（或周期之比）。

（3）带入求得周期之比（或距离之比）。

2. 天体圆周的追击相遇问题：当两天体的角位移满足时两者再次相遇。

（答题时间：30分钟）

1. 根据开普勒行星运动规律推论出下列结论中，哪个是错误的（    ）

A. 人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上

B. 同一卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同

C. 不同卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同

D. 同一卫星绕不同行星运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等

2. 设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常数，即R3/T2=k，那么k的大小（    ）

A. 与行星质量有关                   B. 与恒星质量有关

C. 与恒星及行星的质量均有关       D. 与恒星的质量及行星的速率有关

3. 1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（    ）

A. 0.6小时      B. 1.6小时     C. 4.0小时       D. 24小时

4. 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为（    ）

A. 1.2亿千米       B. 2.3亿千米      C. 4.6亿千米     D. 6.9亿千米

5. 如图所示，三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC 。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示。那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是（    ）

6. 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104km和rB＝1.2 ×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

（1）求岩石颗粒A和B的周期之比；

（2）求岩石颗粒A和B的线速度之比

1.【答案】D

【解析】A. 根据开普勒第一定律，人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，故A正确。

B. 根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。

即=k，其中k与中心体的质量有关，所以不同卫星在绕同一中心体在不同轨道上运动，k是一样的，故BC正确，D错误。

2.【答案】B

【解析】由开普勒第三定律，所有行星的椭圆半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，该比值k是只与恒星质量有关的恒量，B选项正确。

3.【答案】B

【解析】由开普勒行星运动定律可知：=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24 h），代入数据解得t1=1.6 h，所以本题正确选项为B。

4.【答案】A

【解析】由题干得知“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。

由表中得知地球公转周期1年，火星公转周期为1.88年。所以火星与太阳之间的平均距离约为（1.5亿）3÷（1.0年）2×（1.88年）2，即约为2.3亿千米。

5.【答案】C

【解析】根据开普勒第三定律有，轨道半径越大，周期越大，相同的时间内转过的角度越小。因为：RA＜RB＜RC。所以在A卫星转过 的时间内，三卫星对地球转过的角度θ A＞θB＞θ C，所以C正确，ABD错误。

6.【解析】设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，根据开普勒第三定律

对于A、B两颗行星可得：，根据可得：