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必刷04 天体运动的“三类”典型问题-2021届高考物理二轮复习专项必刷（人教版）
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必刷04 天体运动的“三类”典型问题
必刷点1 卫星环绕问题
典例1. 如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带.假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【答案】 C
【解析】 设太阳质量为M,小行星质量为m,根据万有引力定律F=GMmr2可知,由于各小行星的质量和到太阳的距离不同,万有引力不同,A错误;由万有引力提供向心力可知,GMmr2=m4π2T2r,则各小行星做匀速圆周运动周期T=2πr3GM,由于各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径,所以,各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期1年,B错误;向心加速度a=Fm=GMr2,内侧小行星到太阳的距离小,向心加速度大,C正确;由GMmr2=mv2r得小行星的线速度v=GMr,小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径,线速度小于地球绕太阳公转的线速度,D错误.
变式1.观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ(弧度),如图所示.已知引力常量为G,“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为( )
A.2πl3Gθt2 B.l3Gθt2 C.l3θGt2 D.lGθt2
【答案】 B
【解析】 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为:v=lt,角速度为ω=θt;根据线速度和角速度的关系式:v=ωr,可得其轨道半径r=vω=lθ;“嫦娥三号”做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,GMmr2=mωv,解得M=l3Gθt2,故选B.
必刷点2 星体表面问题
典例2假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为( )
A.3πGT2·g0-gg0 B.3πGT2·g0g0-g C.3πGT2 D.3πGT2g0g
【答案】B
【解析】 设地球的质量为M,半径为R,地球上某物体的质量为m.由题意得,在两极处,GMmR2=mg0;在赤道处,GMmR2=mg+m4π2T2R;地球的密度ρ=M43πR3.联立以上各式得,ρ=3πGT2·g0g0-g,B正确.
变式2..据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍.已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N,地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求:
(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少?
(2)若在该行星上距行星表面2 m高处,以10 m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力),则小球的水平射程是多大?
【答案】 (1)2 (2)5 m
【解析】 (1)在该行星表面处,G人=mg行,得g行=16 m/s2.
在忽略自转的情况下,由万有引力等于物体所受的重力得GMmR2=mg,有R2=GMg,故R行2R地2=M行g地M地g行=4,所以R行R地=2.
(2) 由平抛运动的规律,有竖直方向h=12g行t2,水平方向x=vt,故x=v2hg行,代入数据解得:
x=5 m.
必刷点3 卫星变轨问题
典例3. 我国于2016年9月15日发射了“天宫二号”空间实验室,之后在10月17日,又发射了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】为了实现飞船与空间实验室的对接,必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动,上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接,选项C正确.
变式3.(多选)如图所示,某人造地球卫星发射过程经过地球近地轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ,最终到达预定圆周轨道Ⅲ,椭圆轨道Ⅱ与近地轨道Ⅰ和圆周轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,卫星从P点到Q点运行时间tPQ=8πRg,则下列说法正确的是( )
A.卫星从P点到Q点做减速运动
B.圆周轨道Ⅲ的半径为8R
C.圆周轨道Ⅲ的半径为7R
D.卫星在圆周轨道Ⅲ的周期为14πRg
【答案】AC
【解析】卫星从P点运动到Q点的过程中,受到地球的引力方向与速度方向的夹角大于90°,因此卫星做减速运动,A项正确;设卫星近地飞行的周期为T,则mg=m2πT2R,设圆周轨道Ⅲ的半径为r,卫星在圆周轨道Ⅲ的周期为T',根据开普勒第三定律,R+r23(2tPQ)2=R3T2=r3T'2,求得r=7R,T'=14π7Rg,B、D项错误,C项正确.
练考点 过基础 过素养
题组一 卫星环绕问题
1某行星的质量约为地球质量的12,半径为地球半径的18,那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1
【答案】 A
【解析】 设地球质量为M,地球半径为R,由GMmR2=mv2R,可知地球上的第一宇宙速度v地=GMR,同理,得行星上的第一宇宙速度v行=G·12M18R=2GMR,所以v行∶v地=2∶1,则A正确,B、C、D错误.
2.火星被认为是太阳系中最有可能存在地外生命的行星,对人类来说充满着神奇,为了更进一步探究火星,发射一颗火星的同步卫星.已知火星的质量为地球质量的p倍,火星自转周期与地球自转周期相同均为T,地球表面的重力加速度为g,地球的半径为R,则火星的同步卫星距球心的距离为( )
A.r=3gR2T24π2p B.r=3gRT2p4π2 C.r=3pgR2T24π2 D.r=3gRT24π2p
【答案】C
【解析】 由黄金代换式有GM地=gR2,又知M火=pM地,则GM火=pgR2,对火星的同步卫星有GM火mr2=m2πT2r,解得r=3pgR2T24π2,C项正确.
3.2019年10月11日,我国首颗火星探测器——“火星一号”第一次公开亮相,将在未来实现火星的环绕、着陆和巡视.已知火星绕太阳公转的轨道半径是地球公转轨道半径的1.5倍,火星质量约为地球质量的十分之一,关于火星、地球绕太阳的运动,下列说法正确的是( )
A.火星的周期小于地球的周期
B.火星的线速度大于地球的线速度
C.火星的加速度大于地球的加速度
D.太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力
【答案】D
【解析】设太阳质量为M,行星质量为m,根据万有引力提供向心力有GMmr2=m4π2rT2,得T=4π2r3GM,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,所以火星的公转周期比地球的公转周期大,故A错误;根据万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r,解得:v=GMr,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的公转速度比地球的公转速度小,故B错误;根据万有引力提供向心力有GMmr2=ma,解得:a=GMr2,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的加速度比地球的加速度小,故C错误;根据万有引力定律得:F日火F日地=GMm火r日火2GMm地r日地2=110m地m地×r日地2(1.5r日地)2=245,故太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力,故D正确.
4. (2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一附加速度,使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s,某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同步轨道的夹角为30°,如图所示,发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A.西偏北方向,1.9×103 m/s
B.东偏南方向,1.9×103 m/s
C.西偏北方向,2.7×103 m/s
D.东偏南方向,2.7×103 m/s
【答案】B
【解析】合速度为同步卫星的线速度,为:v=3.1×103 m/s;
一个分速度为在转移轨道上的速度,为:v1=1.55×103 m/s;
合速度与该分速度的夹角为30°,根据平行四边形定则,另一个分速度v2如图所示:
该分速度的方向为东偏南方向,根据余弦定理,大小为:v2=v2+v12-2vv1cos30°
代入数据,解得v2=1.9×103 m/s.
5.2019年4月10日21时,人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布.该黑洞半径为R,质量M和半径R的关系满足:MR=c22G(其中c为光速,G为引力常量).若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则( )
A.该黑洞质量为v2r2G B.该黑洞质量为v2rG
C.该黑洞的半径为c22v2r D.该黑洞的半径为v2r2c2
【答案】B
【解析】令黑洞的质量为M,环绕天体质量为m,根据万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力有:GMmr2=mv2r,可得黑洞的质量M=v2rG,故A错误,B正确;据黑洞质量M和半径R的关系满足:MR=c22G,可得黑洞的半径R=2GMc2=2v2rc2,故C、D错误.
6.科学家发现太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量G已知)( )
A.恒星与太阳质量之比
B.恒星与太阳密度之比
C.行星与地球质量之比
D.行星与地球表面的重力加速度之比
【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力可得:GMmr2=m2πT2r,解得:M=4π2r3GT2,由题意可知,行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍(即知道轨道半径之比),行星围绕该恒星的周期为1 200年,地球绕太阳的周期为1年(即知道周期之比),而G是常数,所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比,故A正确;由A分析可求出恒星与太阳的质量之比,但由于不知恒星与太阳的半径之比,所以不能求出恒星与太阳的密度之比,故B错误;根据万有引力提供向心力可得:GMmr2=m2πT2r,解得的M是中心天体的质量,所以不能求出行星与地球的质量之比,故C错误;根据公式m0g=Gm0mR2可知,g=GmR2,由于不知行星与地球的半径之比和质量之比,所以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比,故D错误.
7.(多选)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动.地球的轨道半径为r1,周期为T1,运行速度为v1,角速度为ω1,加速度为a1,火星的轨道半径为r2,周期为T2=kT1,运行速度为v2,角速度为ω2,加速度为a2.下列关系正确的有( )
A.ω1ω2=k B.r1r2=13k2 C.v1v2=13k D.a1a2=k
【答案】AB
【解析】根据GMmr2=mr4π2T2得:T=4π2r3GM,则T2T1=r23r13=k,解得:r1r2=13k2,因为ω=2πT,则有:ω1ω2=T2T1=k,故A、B正确.根据GMmr2=mv2r得:v=GMr,则有:v1v2=r2r1=3k,故C错误.根据GMmr2=ma,得:a=GMr2,则有:a1a2=r22r12=3k4,故D错误.
8.因“光纤之父”高锟的杰出贡献,早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”.假设高锟星为均匀的球体,其质量为地球质量为k倍,半径为地球半径的q倍,则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )
A.1k倍 B.kq倍 C.kq2倍 D.1q倍
【答案】C
【解析】根据地球表面物体重力等于万有引力求得地球表面重力加速度的表达式,再根据“高锟星”表面物体重力等于万有引力求得“高锟星”表面重力加速度,进而得到比值.
解析 设地球质量为M,半径为R,地球表面重力加速度为g,那么,由地球表面物体重力等于万有引力可得:GMmR2=mg,所以,g=GMR2;由题意可知“高锟星”质量为kM,半径为qR,设“高锟星”表面重力加速度为g',那么,由“高锟星”表面物体重力等于万有引力可得:kGMm(qR)2=mg',所以,g'=kGMq2R2=kq2g,故C正确,A、B、D错误.
9.(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )
A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA=SB D.RA3TA2=RB3TB2
【答案】AD
【解析】卫星做匀速圆周运动时有GMmR2=mv2R=mRω2=mR4π2T2,则T=2πR3GM∝R3,故TA>TB,TA2TB2=RA3RB3,A、D皆正确;Ek=12mv2=GMm2R∝1R,故EkA
题组二 星体表面问题
10.(多选)关于自由落体运动的加速度g,下列说法正确的是( )
A.同一地点轻重不同的物体的g值一样大
B.北京地面的g值比上海地面的g值略大
C.g值在赤道处大于在南北两极处
D.g值在地面任何地方都一样
【答案】B
【解析】 不管物体轻重如何,在同一地点,g值相等,故A正确;随着纬度的升高,重力加速度增大,则北京地面的g值比上海地面的g值略大,赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度,故B正确,C、D错误.
11. 宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t落到月球表面(设月球半径为R).据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )
A.2Rht B.2Rht C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【解析】设在月球表面处的重力加速度为g
则h=12gt2,所以g=2ht2
飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有mg=mv2R
所以v=gR=2hRt2=2Rht,选项B正确.
12.宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时,指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图.若聂海胜的质量为m,飞船距离地球表面的高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )
A.0 B.mg C.GMmh2 D.GMm(R+h)2
【答案】A
【解析】飞船在距地面高度为h处,由万有引力等于重力得:
G'=mg'=GMm(R+h)2,故D正确,A、B、C错误.
13.(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
【答案】A
【解析】行星绕太阳运动时,万有引力提供向心力,设太阳的质量为M,行星的质量为m,行星的轨道半径为r,根据牛顿第二定律有:GMmr2=ma=mv2r,可得向心加速度为a=GMr2,线速度为v=GMr,由题意有R金a地>a火,v金>v地>v火,故A正确,B、C、D错误.
题组三 卫星变轨问题
14.“天宫一号”被长征二号火箭发射后,准确进入预定轨道,如图所示,“天宫一号”在轨道1上运行4周后,在Q点开启发动机短时间加速,关闭发动机后,“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点,开启发动机再次加速,进入轨道3绕地球做圆周运动,“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时,下列说法正确的是( )
A.“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度
D.“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
【答案】D
【解析】 根据v=GMr,可知v3
15.(多选)中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空,由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,B点距离地面高度为h,地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫一号”飞行几周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示.已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,引力常量为G,地球半径为R.则下列说法正确的是( )
A.“天宫一号”在椭圆轨道的B点的加速度大于在预定圆轨道的B点的加速度
B.“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中,机械能守恒
C.“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中,动能先减小后增大
D.由题中给出的信息可以计算出地球的质量M=(R+h)34π2n2Gt2
【答案】 BD
【解析】 在B点,由GMmr2=ma知,无论在哪个轨道上的B点,其加速度相同,A项错;“天宫一号”在椭圆轨道上运行时,其机械能守恒,B项对;“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B运行中,动能一直减小,C项错;对“天宫一号”在预定圆轨道上运行,有GMm(R+h)2=m(R+h)4π2T2,而T=tn,故M=(R+h)34π2n2Gt2,D项对.
16.2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆.在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图象是( )
【答案】 D
【解析】 设地球的质量为M,半径为R.探测器的质量为m.根据万有引力定律得:F=GMm(R+h)2,可知,F与h是非线性关系,F-h图象是曲线,且随着h的增大,F减小,故A、B、C错误,D正确.
17.小型登月器连接在空间站上,一起绕月球做圆周运动,其轨道半径为月球半径的3倍.某时刻,空间站与登月器减速分离,登月器沿如图所示的椭圆轨道登月,在月球表面逗留一段时间,完成科考工作后,启动后仍沿原椭圆轨道返回,当第1次回到分离点时恰与空间站对接.登月器启动时间可以忽略不计,整个过程中空间站保持原轨道绕月运行.已知月球表面的重力加速度为g,月球半径为R,不考虑月球自转的影响,则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )
A.4.7πRg B.3.6πRg C.1.7πRg D.1.4πRg
【答案】 A
【解析】 空间站运行周期T=2π(3R)3GM,结合GM=gR2可得T=63πRg.登月器沿椭圆轨道运动,椭圆轨道的半长轴为2R,由开普勒第三定律可得(3R)3T2=(2R)3T12,解得T1=269T,则最短时间t=T-T1≈4.7πRg,A正确.
18.(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器,航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身.假设一航天飞机在完成某次维修任务后,在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,如图所示,已知A点距地面的高度为2R(R为地球半径),B点为轨道Ⅱ上的近地点,地球表面重力加速度为g,地球质量为M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零,则当物体与星球球心距离为r时,其引力势能Ep=-GMmr(式中m为物体的质量,M为星球的质量,G为引力常量),不计空气阻力.则下列说法中正确的有( )
A.该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A点的速度小于经过B点的速度
B.该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A点时的向心加速度
C.在轨道Ⅱ上从A点运动到B点的过程中,航天飞机的加速度一直变大
D.可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A、B两点的速度大小
【答案】 ACD
【解析】 在轨道Ⅱ上A点为远地点,B点为近地点,航天飞机经过A点的速度小于经过B点的速度,故A正确;在A点,航天飞机所受外力为万有引力,根据GMmr2=ma,知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点和在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度相等,故B错误;在轨道Ⅱ上运动时,由A点运动到B点的过程中,航天飞机距地心的距离一直减小,故航天飞机的加速度一直变大,故C正确;航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒,有-GMmrA+12mvA2=-GMmrB+12mvB2,由开普勒第二定律得rAvA=rBvB,结合GMmR2=mg,rA=3R,rB=R,可求得vA、vB,故D正确.
必刷04 天体运动的“三类”典型问题
必刷点1 卫星环绕问题
典例1. 如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带.假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【答案】 C
【解析】 设太阳质量为M,小行星质量为m,根据万有引力定律F=GMmr2可知,由于各小行星的质量和到太阳的距离不同,万有引力不同,A错误;由万有引力提供向心力可知,GMmr2=m4π2T2r,则各小行星做匀速圆周运动周期T=2πr3GM,由于各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径,所以,各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期1年,B错误;向心加速度a=Fm=GMr2,内侧小行星到太阳的距离小,向心加速度大,C正确;由GMmr2=mv2r得小行星的线速度v=GMr,小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径,线速度小于地球绕太阳公转的线速度,D错误.
变式1.观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ(弧度),如图所示.已知引力常量为G,“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为( )
A.2πl3Gθt2 B.l3Gθt2 C.l3θGt2 D.lGθt2
【答案】 B
【解析】 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为:v=lt,角速度为ω=θt;根据线速度和角速度的关系式:v=ωr,可得其轨道半径r=vω=lθ;“嫦娥三号”做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,GMmr2=mωv,解得M=l3Gθt2,故选B.
必刷点2 星体表面问题
典例2假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为( )
A.3πGT2·g0-gg0 B.3πGT2·g0g0-g C.3πGT2 D.3πGT2g0g
【答案】B
【解析】 设地球的质量为M,半径为R,地球上某物体的质量为m.由题意得,在两极处,GMmR2=mg0;在赤道处,GMmR2=mg+m4π2T2R;地球的密度ρ=M43πR3.联立以上各式得,ρ=3πGT2·g0g0-g,B正确.
变式2..据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍.已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N,地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求:
(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少?
(2)若在该行星上距行星表面2 m高处,以10 m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力),则小球的水平射程是多大?
【答案】 (1)2 (2)5 m
【解析】 (1)在该行星表面处,G人=mg行,得g行=16 m/s2.
在忽略自转的情况下,由万有引力等于物体所受的重力得GMmR2=mg,有R2=GMg,故R行2R地2=M行g地M地g行=4,所以R行R地=2.
(2) 由平抛运动的规律,有竖直方向h=12g行t2,水平方向x=vt,故x=v2hg行,代入数据解得:
x=5 m.
必刷点3 卫星变轨问题
典例3. 我国于2016年9月15日发射了“天宫二号”空间实验室,之后在10月17日,又发射了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】为了实现飞船与空间实验室的对接,必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动,上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接,选项C正确.
变式3.(多选)如图所示,某人造地球卫星发射过程经过地球近地轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ,最终到达预定圆周轨道Ⅲ,椭圆轨道Ⅱ与近地轨道Ⅰ和圆周轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,卫星从P点到Q点运行时间tPQ=8πRg,则下列说法正确的是( )
A.卫星从P点到Q点做减速运动
B.圆周轨道Ⅲ的半径为8R
C.圆周轨道Ⅲ的半径为7R
D.卫星在圆周轨道Ⅲ的周期为14πRg
【答案】AC
【解析】卫星从P点运动到Q点的过程中,受到地球的引力方向与速度方向的夹角大于90°,因此卫星做减速运动,A项正确;设卫星近地飞行的周期为T,则mg=m2πT2R,设圆周轨道Ⅲ的半径为r,卫星在圆周轨道Ⅲ的周期为T',根据开普勒第三定律,R+r23(2tPQ)2=R3T2=r3T'2,求得r=7R,T'=14π7Rg,B、D项错误,C项正确.
练考点 过基础 过素养
题组一 卫星环绕问题
1某行星的质量约为地球质量的12,半径为地球半径的18,那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1
【答案】 A
【解析】 设地球质量为M,地球半径为R,由GMmR2=mv2R,可知地球上的第一宇宙速度v地=GMR,同理,得行星上的第一宇宙速度v行=G·12M18R=2GMR,所以v行∶v地=2∶1,则A正确,B、C、D错误.
2.火星被认为是太阳系中最有可能存在地外生命的行星,对人类来说充满着神奇,为了更进一步探究火星,发射一颗火星的同步卫星.已知火星的质量为地球质量的p倍,火星自转周期与地球自转周期相同均为T,地球表面的重力加速度为g,地球的半径为R,则火星的同步卫星距球心的距离为( )
A.r=3gR2T24π2p B.r=3gRT2p4π2 C.r=3pgR2T24π2 D.r=3gRT24π2p
【答案】C
【解析】 由黄金代换式有GM地=gR2,又知M火=pM地,则GM火=pgR2,对火星的同步卫星有GM火mr2=m2πT2r,解得r=3pgR2T24π2,C项正确.
3.2019年10月11日,我国首颗火星探测器——“火星一号”第一次公开亮相,将在未来实现火星的环绕、着陆和巡视.已知火星绕太阳公转的轨道半径是地球公转轨道半径的1.5倍,火星质量约为地球质量的十分之一,关于火星、地球绕太阳的运动,下列说法正确的是( )
A.火星的周期小于地球的周期
B.火星的线速度大于地球的线速度
C.火星的加速度大于地球的加速度
D.太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力
【答案】D
【解析】设太阳质量为M,行星质量为m,根据万有引力提供向心力有GMmr2=m4π2rT2,得T=4π2r3GM,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,所以火星的公转周期比地球的公转周期大,故A错误;根据万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r,解得:v=GMr,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的公转速度比地球的公转速度小,故B错误;根据万有引力提供向心力有GMmr2=ma,解得:a=GMr2,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的加速度比地球的加速度小,故C错误;根据万有引力定律得:F日火F日地=GMm火r日火2GMm地r日地2=110m地m地×r日地2(1.5r日地)2=245,故太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力,故D正确.
4. (2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一附加速度,使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s,某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同步轨道的夹角为30°,如图所示,发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A.西偏北方向,1.9×103 m/s
B.东偏南方向,1.9×103 m/s
C.西偏北方向,2.7×103 m/s
D.东偏南方向,2.7×103 m/s
【答案】B
【解析】合速度为同步卫星的线速度,为:v=3.1×103 m/s;
一个分速度为在转移轨道上的速度,为:v1=1.55×103 m/s;
合速度与该分速度的夹角为30°,根据平行四边形定则,另一个分速度v2如图所示:
该分速度的方向为东偏南方向,根据余弦定理,大小为:v2=v2+v12-2vv1cos30°
代入数据,解得v2=1.9×103 m/s.
5.2019年4月10日21时,人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布.该黑洞半径为R,质量M和半径R的关系满足:MR=c22G(其中c为光速,G为引力常量).若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则( )
A.该黑洞质量为v2r2G B.该黑洞质量为v2rG
C.该黑洞的半径为c22v2r D.该黑洞的半径为v2r2c2
【答案】B
【解析】令黑洞的质量为M,环绕天体质量为m,根据万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力有:GMmr2=mv2r,可得黑洞的质量M=v2rG,故A错误,B正确;据黑洞质量M和半径R的关系满足:MR=c22G,可得黑洞的半径R=2GMc2=2v2rc2,故C、D错误.
6.科学家发现太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量G已知)( )
A.恒星与太阳质量之比
B.恒星与太阳密度之比
C.行星与地球质量之比
D.行星与地球表面的重力加速度之比
【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力可得:GMmr2=m2πT2r,解得:M=4π2r3GT2,由题意可知,行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍(即知道轨道半径之比),行星围绕该恒星的周期为1 200年,地球绕太阳的周期为1年(即知道周期之比),而G是常数,所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比,故A正确;由A分析可求出恒星与太阳的质量之比,但由于不知恒星与太阳的半径之比,所以不能求出恒星与太阳的密度之比,故B错误;根据万有引力提供向心力可得:GMmr2=m2πT2r,解得的M是中心天体的质量,所以不能求出行星与地球的质量之比,故C错误;根据公式m0g=Gm0mR2可知,g=GmR2,由于不知行星与地球的半径之比和质量之比,所以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比,故D错误.
7.(多选)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动.地球的轨道半径为r1,周期为T1,运行速度为v1,角速度为ω1,加速度为a1,火星的轨道半径为r2,周期为T2=kT1,运行速度为v2,角速度为ω2,加速度为a2.下列关系正确的有( )
A.ω1ω2=k B.r1r2=13k2 C.v1v2=13k D.a1a2=k
【答案】AB
【解析】根据GMmr2=mr4π2T2得:T=4π2r3GM,则T2T1=r23r13=k,解得:r1r2=13k2,因为ω=2πT,则有:ω1ω2=T2T1=k,故A、B正确.根据GMmr2=mv2r得:v=GMr,则有:v1v2=r2r1=3k,故C错误.根据GMmr2=ma,得:a=GMr2,则有:a1a2=r22r12=3k4,故D错误.
8.因“光纤之父”高锟的杰出贡献,早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”.假设高锟星为均匀的球体,其质量为地球质量为k倍,半径为地球半径的q倍,则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )
A.1k倍 B.kq倍 C.kq2倍 D.1q倍
【答案】C
【解析】根据地球表面物体重力等于万有引力求得地球表面重力加速度的表达式,再根据“高锟星”表面物体重力等于万有引力求得“高锟星”表面重力加速度,进而得到比值.
解析 设地球质量为M,半径为R,地球表面重力加速度为g,那么,由地球表面物体重力等于万有引力可得:GMmR2=mg,所以,g=GMR2;由题意可知“高锟星”质量为kM,半径为qR,设“高锟星”表面重力加速度为g',那么,由“高锟星”表面物体重力等于万有引力可得:kGMm(qR)2=mg',所以,g'=kGMq2R2=kq2g,故C正确,A、B、D错误.
9.(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )
A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA=SB D.RA3TA2=RB3TB2
【答案】AD
【解析】卫星做匀速圆周运动时有GMmR2=mv2R=mRω2=mR4π2T2,则T=2πR3GM∝R3,故TA>TB,TA2TB2=RA3RB3,A、D皆正确;Ek=12mv2=GMm2R∝1R,故EkA
题组二 星体表面问题
10.(多选)关于自由落体运动的加速度g,下列说法正确的是( )
A.同一地点轻重不同的物体的g值一样大
B.北京地面的g值比上海地面的g值略大
C.g值在赤道处大于在南北两极处
D.g值在地面任何地方都一样
【答案】B
【解析】 不管物体轻重如何,在同一地点,g值相等,故A正确;随着纬度的升高,重力加速度增大,则北京地面的g值比上海地面的g值略大,赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度,故B正确,C、D错误.
11. 宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t落到月球表面(设月球半径为R).据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )
A.2Rht B.2Rht C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【解析】设在月球表面处的重力加速度为g
则h=12gt2,所以g=2ht2
飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有mg=mv2R
所以v=gR=2hRt2=2Rht,选项B正确.
12.宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时,指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图.若聂海胜的质量为m,飞船距离地球表面的高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )
A.0 B.mg C.GMmh2 D.GMm(R+h)2
【答案】A
【解析】飞船在距地面高度为h处,由万有引力等于重力得:
G'=mg'=GMm(R+h)2,故D正确,A、B、C错误.
13.(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
【答案】A
【解析】行星绕太阳运动时,万有引力提供向心力,设太阳的质量为M,行星的质量为m,行星的轨道半径为r,根据牛顿第二定律有:GMmr2=ma=mv2r,可得向心加速度为a=GMr2,线速度为v=GMr,由题意有R金
题组三 卫星变轨问题
14.“天宫一号”被长征二号火箭发射后,准确进入预定轨道,如图所示,“天宫一号”在轨道1上运行4周后,在Q点开启发动机短时间加速,关闭发动机后,“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点,开启发动机再次加速,进入轨道3绕地球做圆周运动,“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时,下列说法正确的是( )
A.“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度
D.“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
【答案】D
【解析】 根据v=GMr,可知v3
15.(多选)中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空,由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,B点距离地面高度为h,地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫一号”飞行几周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示.已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,引力常量为G,地球半径为R.则下列说法正确的是( )
A.“天宫一号”在椭圆轨道的B点的加速度大于在预定圆轨道的B点的加速度
B.“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中,机械能守恒
C.“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中,动能先减小后增大
D.由题中给出的信息可以计算出地球的质量M=(R+h)34π2n2Gt2
【答案】 BD
【解析】 在B点,由GMmr2=ma知,无论在哪个轨道上的B点,其加速度相同,A项错;“天宫一号”在椭圆轨道上运行时,其机械能守恒,B项对;“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B运行中,动能一直减小,C项错;对“天宫一号”在预定圆轨道上运行,有GMm(R+h)2=m(R+h)4π2T2,而T=tn,故M=(R+h)34π2n2Gt2,D项对.
16.2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆.在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图象是( )
【答案】 D
【解析】 设地球的质量为M,半径为R.探测器的质量为m.根据万有引力定律得:F=GMm(R+h)2,可知,F与h是非线性关系,F-h图象是曲线,且随着h的增大,F减小,故A、B、C错误,D正确.
17.小型登月器连接在空间站上,一起绕月球做圆周运动,其轨道半径为月球半径的3倍.某时刻,空间站与登月器减速分离,登月器沿如图所示的椭圆轨道登月,在月球表面逗留一段时间,完成科考工作后,启动后仍沿原椭圆轨道返回,当第1次回到分离点时恰与空间站对接.登月器启动时间可以忽略不计,整个过程中空间站保持原轨道绕月运行.已知月球表面的重力加速度为g,月球半径为R,不考虑月球自转的影响,则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )
A.4.7πRg B.3.6πRg C.1.7πRg D.1.4πRg
【答案】 A
【解析】 空间站运行周期T=2π(3R)3GM,结合GM=gR2可得T=63πRg.登月器沿椭圆轨道运动,椭圆轨道的半长轴为2R,由开普勒第三定律可得(3R)3T2=(2R)3T12,解得T1=269T,则最短时间t=T-T1≈4.7πRg,A正确.
18.(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器,航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身.假设一航天飞机在完成某次维修任务后,在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,如图所示,已知A点距地面的高度为2R(R为地球半径),B点为轨道Ⅱ上的近地点,地球表面重力加速度为g,地球质量为M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零,则当物体与星球球心距离为r时,其引力势能Ep=-GMmr(式中m为物体的质量,M为星球的质量,G为引力常量),不计空气阻力.则下列说法中正确的有( )
A.该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A点的速度小于经过B点的速度
B.该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A点时的向心加速度
C.在轨道Ⅱ上从A点运动到B点的过程中,航天飞机的加速度一直变大
D.可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A、B两点的速度大小
【答案】 ACD
【解析】 在轨道Ⅱ上A点为远地点,B点为近地点,航天飞机经过A点的速度小于经过B点的速度,故A正确;在A点,航天飞机所受外力为万有引力,根据GMmr2=ma,知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点和在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度相等,故B错误;在轨道Ⅱ上运动时,由A点运动到B点的过程中,航天飞机距地心的距离一直减小,故航天飞机的加速度一直变大,故C正确;航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒,有-GMmrA+12mvA2=-GMmrB+12mvB2,由开普勒第二定律得rAvA=rBvB,结合GMmR2=mg,rA=3R,rB=R,可求得vA、vB,故D正确.
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