重难点培优04 常见函数及函数的新定义问题（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优04 常见函数及函数的新定义问题（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共13页。
02 \l "_Tc23799" 题型精研·技巧通法提能力 PAGEREF _Tc23799 \h 4
\l "_Tc3045" 题型01 反函数（★★★★） PAGEREF _Tc3045 \h 4
\l "_Tc29721" 题型02 对勾函数（★★★★★） PAGEREF _Tc29721 \h 5
\l "_Tc16948" 题型03 最值函数（★★★） PAGEREF _Tc16948 \h 5
\l "_Tc21166" 题型04 高斯函数（★★★★） PAGEREF _Tc21166 \h 6
\l "_Tc17424" 题型05 狄利克雷函数（★★★） PAGEREF _Tc17424 \h 7
\l "_Tc3563" 题型06 黎曼函数（★★★） PAGEREF _Tc3563 \h 9
\l "_Tc769" 题型07 倍值、倍缩函数（★★★） PAGEREF _Tc769 \h 10
\l "_Tc26046" 题型08 函数新定义问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26046 \h 11
03 \l "_Tc29417" 实战检测·分层突破验成效 PAGEREF _Tc29417 \h 14
\l "_Tc1496" 重难知识巩固 PAGEREF _Tc1496 \h 14
\l "_Tc17384" 创新能力提升 PAGEREF _Tc17384 \h 17
知识重构·重难梳理固根基
\l "_Tc25045" 知识点01 反函数
（1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
\l "_Tc25045" 知识点02 对勾函数
\l "_Tc25045" 知识点03 最值函数
设min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a＜b.))
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
\l "_Tc25045" 知识点04 高斯函数
1、高斯函数
（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
\l "_Tc25045" 知识点05 狄利克雷函数
1、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
\l "_Tc25045" 知识点06 倍值函数
1、倍值函数
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
\l "_Tc25045" 知识点07 函数中的新定义问题
1、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
题型精研·技巧通法提能力
题型01 反函数
1．若函数是函数的反函数，则的值为（ ）
A．16B．0C．1D．2
2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．B．C．D．9
3．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
4．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________．
6．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________.
题型02 对勾函数
1．已知函数，下面有关结论错误的有（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递减D．图象关于原点对称
2．（24-25高三上·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上的最小值是_____．
5．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）定义在区间上的函数的值域为_____.
6．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___
题型03 最值函数
1．定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
2．定义 ，若，则的最大值为（ ）
A．1B．8C．9D．10
3．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（ ）
A．或4B．6C．4或6D．
5．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）定义表示中的最小值.已知实数满足，则（ ）
A．的最大值是2
B．的最大值是
C．的最小值是2
D．的最小值是
6．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线与的图象有个交点，则
D．在区间上的值域为，则的最大值为
7．定义为a，b中较大者，则函数（）的最小值为__________；若，，则的最小值为__________.
题型04 高斯函数
1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·山东东营·模拟预测）对于一切实数x，表示不超过实数x的最大整数，函数称为高斯函数或取整函数．若，，数列的前n项和为，则（ ）
A．284B．280C．274D．270
3．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ）
A．2B．C．4D．6
4．（多选题）（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）记表示不超过x的最大整数．若，，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．D．
5．（多选题）已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为1
C．为周期函数
D．不等式的解集为
6．（2026·河北衡水·一模）设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为______.
7．记表示不超过的最大整数，比如，，．已知函数，则_____，函数的值域为_____．
题型05 狄利克雷函数
1．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为B．当时，的值域为
C．为偶函数D．在实数集上不具有单调性
3．（多选题）狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理的情况，后来亦证明了的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数：，有关该函数的图像，下列判断不正确的是（ ）
A．图象是连续的B．图象是折线段
C．图象关于y轴对称D．图象能画出
4．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为B．的定义域为
C．D．存在是无理数，
5．（多选题）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数，设，则（ ）
A．B．
C．是偶函数D．的解集为空集
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论:
（1） ；
（2）函数 是偶函数；
（3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形；
（4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形.
其中所有正确结论的序号是_____.
题型06 黎曼函数
1．（多选题）黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
2．（多选题）波恩哈德·黎曼（~）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．B．，，
C．的值域为D．为偶函数
3．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中被广泛应用．其定义为：，则______；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则______．
4．波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为:，下列关于黎曼函数的说法正确的是_____.
①；
②关于的不等式的解集为；
③；
④.
题型07 倍值、倍缩函数
1．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．，B．
C．D．
2．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：
①在上是单调函数；②在上的值域是.
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
5．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是___________.
6．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
7．已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．
(1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）
(2)证明：函数存在“2倍值区间”；
(3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．
8．（24-25高三上·云南·阶段检测）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
题型08 函数新定义问题
1．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（英语：）.布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，则称该函数为“不动点函数”.下列四个函数中，“不动点函数”的个数为（ ）
①，
②，
③，
④.
A．1B．2C．3D．4
3．（25-26高三上·江西·阶段检测）设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选题）（25-26高三上·山东淄博·期中）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选题）（25-26高三上·湖北黄冈·期中）在工程技术中，常用到双曲正弦函数（）和双曲余弦函数（），它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记，，下面关于这两支函数的说法正确的有（ ）
A．，在定义域上均为增函数
B．
C．
D．与均为偶函数
7．（2026·湖南长沙·一模）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是________.
8．（25-26高三上·上海·期中）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”．
(1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）；
(2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数；
(3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．
9．（2026·湖南邵阳·一模）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．
(1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；
(2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：．
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数则（ ）．
A．，1是的一个周期B．，1不是的一个周期
C．，1是的一个周期D．，1不是的一个周期
3．已知，用表示中的最大者，记为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．定义运算则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（25-26高三上·山东潍坊·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（25-26高三上·黑龙江·期末）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
11．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
12．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）
A．是偶函数
B．任意非零有理数都是的周期
C．，
D．若，则
13．（多选题）（24-25高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．对任意整数，有
C．存在正实数，使得对所有成立
D．函数有2个零点
14．（多选题）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．的值域为D．是函数的一条对称轴
15．（多选题）（25-26高三上·广东·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．为上的增函数
D．与图象所有交点的横坐标之和为2
16．（多选题）定义若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线与的图象有3个交点，则
D．在区间上的值域为，则的最大值为
17．（多选题）伯恩哈德•黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．若，是内的有理数，则有
18．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”.
(1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值;
(2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围.
19．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质．
(1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由；
(2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质；
（ⅱ）设函数具有性质，求的范围．
创新能力提升
1．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829年定义了一个“奇怪的函数”：，其中为实数集，为有理数集．则关于函数的如下四个命题中，不正确的是（ ）
A．，都有
B．，都有
C．，都有
D．，都有
2．波恩哈德·黎曼（~）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法不正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．
3．对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论：
① 函数恰有2个1倍值区间；
② 函数的所有倍区间长度之和为.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立D．两个结论都不成立
4．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数，的图象关于原点对称
B．函数，的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
5．（多选题）已知函数，并定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．在区间上单调递减
C．若关于的方程有2个实数根，则
D．若在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为
6．已知实数满足，，则__________.
7．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合.
(1)若，求集合；
(2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围；
(3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由.
8．（2025·河南周口·二模）已知函数，，，若存在区间I，对，恒成立，则称在I上具有性质．
(1)若，，且，，求k的值；
(2)若，，，判断在区间上是否具有性质；
(3)若，，，证明，是在上具有性质的必要条件．
9．（2026·上海浦东新·三模）对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”．
(1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由；
(2)设，．若是的一个函数，求的取值范围；
(3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论．
解析式
图像

定义域
渐近线

值域

奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
【技巧通法·提分快招】
互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
【技巧通法·提分快招】
基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
【技巧通法·提分快招】
高斯函数的性质
（1）定义域：R；
（2）值域：Z.
（3）不具有单调性、奇偶性、周期性.
【技巧通法·提分快招】
狄利克雷函数的性质
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
【技巧通法·提分快招】
（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志
（2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律