重难点培优02 导数中的函数构造问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力
题型01 利用f(x)与x构造
题型02 利用f(x)与ex构造函数
题型03 利用f(x)与sin x，cs x构造
题型04 比较大小问题中的构造函数
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效
\l "_Tc30327" 巩固过关
\l "_Tc11271" 创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 利用f(x)与x构造
f(x)与x构造常见的形式
(1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)．
(2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝fxx．
(3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)．
(4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝fxxn．
知识点02 利用f(x)与ex构造函数
f(x)与ex构造常见的形式
(1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)．
(2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝fxex．
(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)．
(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝fxenx．
知识点03 利用f(x)与sin x，cs x构造
f(x)与sinx，cs x构造常见的形式
(1)对于f′(x)sin x＋f(x)cs x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
(2)对于f′(x)sin x－f(x)cs x＞0，构造函数h(x)＝fxsinx；
(3)对于f′(x)cs x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cs x；
(4)对于f′(x)cs x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝fxcsx．
题型深研·通法变式提能力
题型01 利用f(x)与x构造
【例1】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以在上单调递减；
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，所以不等式的解集是．
【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，
则，
所以在R上递增，
又，
则不等式等价于，
所以，即不等式的解集为.
【变式2】已知函数的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令
因为，且，
所以在上单调递增，
因为，所以.故选：A
【变式3】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则.
因为，所以，即，所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得.
题型02 利用f(x)与ex构造函数
【例2】（2026·江苏无锡·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为等价于，
构造，，原不等式即为，
因为，则，
可知在定义域内单调递增，且，
则不等式的解集为，
所以不等式的解集为.
【变式1】已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为，故选A.
【变式2】（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，已知不等式，则，即，
设，求导得，
函数是实数集上的减函数，
又，即，
，故不等式的解集为．
【变式3】已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为减函数，
由可得，即，
因为，则，所以，，解得.
对于、，当时都有，
不妨设，则，所以，函数在上为增函数，
则对任意的，，则，可得恒成立，
因此，所求不等式的解集为.
题型03 利用f(x)与sin x，cs x构造
【例3】已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增，
又，所以，即，故A错误；
又，所以，即，故B错误；
又，所以，即，故C正确；
由，所以，即，故D错误.
故选：C
【变式1】已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数在上单调递减
∴时，
∵对任意都有
∴，且
令，则，
∴在上单调递增，
∴，即
∵，
∴选项A,B,C不一定成立
由以上分析可得
故选：D
【变式2】（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，设，
，所以函数在上单调递减，
即，得，所以，所以不等式的解集为
【变式3】（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以设，
则，
所以在上为增函数，
又因为，，，
，所以，即，故选C
题型04 比较大小问题中的构造函数
【例4】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设函数，求导可得，
当时，，在上单调递增，
所以，即，
令，代入可得，即，
设函数，求导可得，
当时，，在上单调递增，
所以，即，
令，代入可得，即，
所以的大小关系为.
【变式1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，，，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而，则，即.
【变式2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以，
，
令函数，，且，
则导数，当时，，函数单调递减，
∴，即，
∴.
【变式3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
又，，令，则，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，所以，所以，
又，．所以，所以，故A正确.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则．
令，则，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
则，
则，即．故．
2.（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则.
当时，则，可得，所以在上单调递减.
因为，且，
所以，即．
3.（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，故在上单调递增，
又，故当时，，
则，即，故，
，
，故；
综上可得.
4．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
则，
因为，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，
，即，即，故，
所以不等式的解集为.
5．（2026·福建福州一模）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为，所以，
故在上单调递减，
因为，所以，
因为，所以，即，
故不等式的解集为.
6．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】由题得：，
即，从而（其中为常数），，又，
，因为的定义域为R，且，则为偶函数，
又因为，当时，，
因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合，
则在上恒成立，且仅在时取等号，
则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或，
故选：B．
7．设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，
因为，则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，即，则，
由，令，则，即.
综上所述在实数集上恒成立.
故选：C．
8．已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，又因为满足对恒成立，所以在区间恒大于，即在区间单调递增，故有 ，展开化简得:，
故选.
9．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，所以，
因为当时，，
所以，所以在上单调递增，
因为，
且，所以，所以，
故选：B.
10.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】CD
【解析】令函数，求导得，由，
得，即函数在定义域上单调递增，由，得，
不等式，即，解得，
所以所求的值可能为1，2.
11.记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若为偶函数，则D．可能为二次函数
【答案】ACD
【解析】由，得，
因为，所以，
即，所以是减函数，
所以，即，所以A正确；
，即，所以B不正确；
若为偶函数，则.
两边求导，得，所以是奇函数.
由，，得.
所以，所以C正确；
假设，则.
由，得.
由，得，所以.
由，得，即恒成立；
则，即.
令，则成立，
所以可能为二次函数，所以D正确.
12．若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则函数定义域为，
且对任意恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为函数是偶函数，所以，
所以函数为偶函数，
所以函数在上单调递减，
又，所以，
所以当时，不等式即，
即，所以，
当时，不等式即，
即，所以，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
13.已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】．
令，则，
所以，则在上是减函数．
由，且在上是奇函数，得，则，
又，
所以，即不等式的解集为．
14．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在上单调递增，
故在区间上单调递增，则在上单调递增，
∵，
即，
∴，解得．
创新提升
15．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对两边取自然对数，得，
即，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以方程的解只有一个，
又因为，所以，
所以．
16．（2026·河南·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，所以
所以，即.
令，则，
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以恒成立，即恒成立，所以是减函数，
所以，即，即．
综上所述，.
17．（2026·江西·三模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，
同理，由，可得，
由，可得.
令，得，所以在上单调递减，
满足的即为函数与交点的横坐标；
满足的即为函数与交点的横坐标；
满足的即为函数与交点的横坐标；
在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：
从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为.
18．（2026·海南儋州·二模）已知的导函数为，且，，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．
【答案】ACD
【解析】由，可得，
即(为常数)，
设，则，
由于，所以，则，
解得：，所以，
所以，
则，所以，故A正确；
对于B，，
即，故B错误；
对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确；
对于D，令，
所以，
令，解得：，所以在上单调递增，
令，解得：，所以在上单调递减，
则，即，
所以成立，故D正确.
19．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，得.
令，则，故为上的偶函数．
因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
故等价于，即在上恒成立，
因为为偶函数，且在上单调递增，所以，
平方后化简得到，由一次函数性质得，
解得．故实数的取值范围为