重难点培优04 复合函数、嵌套函数的零点问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优04 复合函数、嵌套函数的零点问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc17807" 题型01 y=f[f(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………02
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
题型02 y=f[g(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………09
题型03 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题 ……………………………………………16
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效
\l "_Tc30327" 巩固过关……………………………………………………………………………………………23
\l "_Tc11271" 创新提升……………………………………………………………………………………………30
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1嵌套函数的概念
嵌套函数，又称复合函数，是指一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成如f(g(x))或f(f(x))的结构。其中，g(x)为内层函数，f(x)为外层函数。这类函数在数学分析与实际建模中广泛应用，其零点问题（即方程f(g(x))=0的解）常需借助特殊策略求解。
知识点2嵌套函数零点问题的处理策略
处理嵌套函数零点的核心思想是“换元转化、分层讨论”。首先，令 t=gx ，将原方程转化为 ft=0 ，先求解外层函数的零点 t1,t2, 。然后，将每个 ti 代回，解方程 gx=ti ，从而得到原函数的零点。此过程体现了“由外到内”的分解逻辑。
在实际操作中，常结合图像法辅助分析。例如，若 ft=0 有两个解 t=a 和 t=b ，则原函数零点个数即为方程 gx=a 与 gx=b 的实数解个数之和。通过绘制 y=gx 的图像，并观察其与水平线 y=a 、 y=b 的交点个数，可直观判断零点数量。
此外，需注意内层函数的值域对外层函数定义域的限制，避免增解或漏解。对于含参问题，可通过分析交点个数随参数变化的情况，确定参数范围。
总之，嵌套函数零点问题的关键在于换元降维、分层求解，并辅以数形结合，提升解题效率与准确性。
题型深研·通法变式提能力
题型1 \l _Tc17807 y=f[f(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
【典例1-1】（多选）（2026高三·一轮·专题复习）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（ ）
A．在内一定有零点B．在内一定有零点
C．当时，有个零点D．当时，有个零点
【答案】CD
【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得.
【详解】当时，，图象如图（1），
此时即，
若，则，
若，则，
又有2个零点，也有2个零点，
故有4个零点，故C正确；
当时，，图象如图（2），
此时即，只有一种情况，
此时仅有1个零点，
所以当时，有1个零点，故D正确；
由图象可得A、B错误.
角度2 根据零点个数求参数范围
【典例1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围.
【详解】已知，其值域为，
令，则原方程可化为，即：，
设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足：
有两个不同的实根，这两个根均大于.
即有两个不同实根，则Δ=4+4a>0 ⇒ a>−1
设，要使的两根均大于，需满足：
其中g(−1)=(−1)2−2(−1)−a=3−a>0 ⇒ a