重难点培优03 抽象函数问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优03 抽象函数问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共100页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，典例2-1，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力
\l "_Tc17807" 题型01 抽象函数的定义域 …………………………………………………………………04
题型02 抽象函数的值域 ……………………………………………………………………04
题型03抽象函数的解析式 ……………………………………………………………………05
题型04 抽象函数的奇偶性……………………………………………………………………06
题型05 抽象函数的单调性……………………………………………………………………07
题型06 抽象函数的对称性 …………………………………………………………………08
题型07 抽象函数的周期性……………………………………………………………………09
题型08 抽象函数的求值问题…………………………………………………………………10
题型09 抽象函数中的比较大小 ……………………………………………………………10
题型10 解抽象函数不等式 …………………………………………………………………11
题型11 抽象函数中的零点问题………………………………………………………………12
题型12 抽象函数中的导数问题………………………………………………………………13
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效
\l "_Tc30327" 巩固过关……………………………………………………………………………………………14
\l "_Tc11271" 创新提升……………………………………………………………………………………………15
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1抽象函数
1.抽象函数的概念
抽象函数，就是没有直接给出具体解析式，而是只通过一些关系式、性质或条件来描述的函数。抽象函数的核心不是“函数很复杂”，而是已知的是函数的性质和运算规则，而不是具体解析式。高考里主要用它来考查你对函数概念、奇偶性、单调性、周期性和图像的理解。
2.抽象函数的解题策略
策略1 赋值法
根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。
策略1 探究新知
根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论：
1.对称性：
结论1：任意函数关于直线对称
推广：的图像关于对称；
结论2：任意函数关于直线对称
2.周期性：
结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期.
结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期.
结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期.
3.对称性与周期性的关系：
性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。
下面三个函数，也是常见的周期函数形式：
fx+2=fx+1−fx
fx+1=fx+2fx
．
策略3 构造具体函数
抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度：
角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法；
角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。
\l "_Tc25045" 知识点2 抽象函数模型
（1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为
（4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 .
（5） 对于对数函数 ，
其对应的抽象函数为 或
对于对数函数 ，其抽象函数还可以是
（6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
（7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为
对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
（8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
题型深研·通法变式提能力
题型1 抽象函数的定义域
【典例1-1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．
【变式1-3】已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.
方法技巧 抽象函数定义域的求法
（1）若函数的定义域是，则函数的定义域由解得（2）函数的定义域是，则的定义域是函数在时的值域.
题型2 抽象函数的值域
【典例2-1】已知满足，且，则的值域为_____
【变式2-1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【变式2-2】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
【变式2-3】已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在使得，则的最小正周期为
C．为偶函数
D．的值域为
题型3 求抽象函数的解析式
【典例3-1】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【变式3-1】已知函数满足，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数在区间上为“凹函数”
D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为
【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．直线是曲线的切线
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ）
A．一定是奇函数B．一定是偶函数
C．一定是奇函数D．一定是偶函数
【典例4-2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数C．为周期函数D．
【变式4-1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
【变式4-3】已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
题型5 抽象函数的单调性
【典例5-1】（多选）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ）
A．B．
C．当时，D．在上单调递减
【变式5-1】已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-2】已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【变式5-3】（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．当时，
【变式5-4】已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
方法技巧 抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断主要是配凑法，其实质就是实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）构造“积”
（3）利用构造
（4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造．
题型06 抽象函数的对称性
【典例6-1】1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（ ）
A．关于对称B．关于点对称
C．的周期D．
【变式6-2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（ ）
A．点对称B．点对称C．点对称D．直线对称
【变式6-3】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称D．是奇函数
【变式6-4】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型7 抽象函数的周期性
【典例7-1】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A．B．
C．是周期为的周期函数D．
【典例7-2】已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称B．为的一个周期
C．D．
【变式7-1】（多选）函数满足，且，，下列说法正确的有（ ）
A．为的一个周期B．为奇函数
C．D．
【变式7-2】已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A．B．3C．6D．9
【变式7-3】（2026高三下·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的一个周期B．
C．点是函数图象的一个对称中心D．在上有4个零点
方法技巧 如何求抽象函数的周期
抽象函数对称性的判断有两个角度：一是根据轴对称和中心对称的定义式；二是根据图像变换寻找对称轴（中心）的关系.
题型08 抽象函数的求值问题
【典例8-1】．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A．0B．C．2D．4
【变式8-1】（25-26高三上·云南·阶段检测）若的定义域为，且，，则（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【变式8-2】（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47B．C．1D．2
【变式8-3】（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．B．
C．D．2为的一个周期
【变式8-4】（多选）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．
题型09 抽象函数的比较大小问题
【典例9-1】已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型10 解抽象函数不等式
【典例10-1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-1】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-3】（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上的最大值是6
D．不等式的解集为
【变式10-4】已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________.
题型11 抽象函数的零点问题
【典例11-1】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期B．
C．点是函数图象的一个对称中心D．在上有4个零点
【变式11-1】（多选）（25-26高三上·江苏无锡·期末）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．零点个数大于1
【变式11-2】（多选）已知函数满足，且，则（ ）
A．B．为奇函数
C．没有零点．D．
【变式11-3】（多选）（2026·贵州毕节·三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（ ）
A．的周期为6
B．在至多有两个零点
C．曲线的一条对称轴为
D．若，则曲线在处的切线方程为
【变式11-4】（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
题型12 抽象函数中的导数问题
【典例12-1】（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ）
A．B．
C．存在极值点D．有且只有一个零点
【变式12-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式12-2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式12-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．可能是单调递减函数
C．为奇函数D．若，则
3．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A．B．是奇函数（ ）
C．是奇函数D．恒成立
6．（多选）已知，，则（ ）
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
7．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④.
创新提升
1．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
2．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2B．图象关于直线对称
C．为偶函数D．为奇函数
6．（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
7．（多选）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在上单调递增
8．（多选（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．一个对称中心为B．的一个周期为2
C．的图象关于对称D．
9．（2026·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．