重难点培优03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的高级应用（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 周期性及其应用（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 9
\l "_Tc3897" 题型五 对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc326" 题型六 对称性结合周期性（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 11
\l "_Tc11957" 题型七 类周期性（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 13
\l "_Tc17557" 题型八 函数性质的综合应用（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 14
\l "_Tc28054" 题型九 导函数与原函数的对称性（★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 15
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 16
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 16
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 20
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．


题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·天津·期末）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
4．若函数为偶函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知函数是奇函数，当时，，则 ．
6．（23-24高三上·安徽安庆·月考）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
7．（23-24高三下·江西·开学考试）已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为 ．

题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三下·河南·月考）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
4．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．

题型三 周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．C．4D．2
2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A．B．C．D．4
3．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为( ).
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1B．C．0D．
7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2B．1C．0D．
8．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．

题型四 对称性Ⅰ—轴对称
【技巧通法·提分快招】
1．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·重庆·月考）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
3．（24-25高三下·河南·月考）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．定义在上的函数满足，且当时，是增函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·四川成都·月考）定义在上的函数关于对称，且满足：对任意、，且，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高三上·江苏·月考）若曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2

题型五 对称性Ⅱ—中心对称
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称
5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ）
A．9B．C．12D．
6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知R，，函数，则（ ）
A．当时，函数在其定义域上单调递减
B．当时，函数在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数的图像是轴对称图形
D．当时，函数的图像恒为中心对称图形

题型六 对称性结合周期性
【技巧通法·提分快招】
1．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023B．C．4048D．
2．已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．0
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数D．函数的图象关于点对称
5．（24-25高三下·湖南·月考）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，，为偶函数，且函数的图象关于点对称，则（ ）
A．4 048B．4 049C．4 051D．4 054
7．已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A．不为偶函数B．为奇函数
C．D．

题型七 类周期性
【技巧通法·提分快招】
1．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·河北唐山·一模）对于，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ．
4．（2024·湖南永州·三模）已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则 .

题型八 函数性质的综合应用
1．（24-25高三下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于对称D．
4．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（ ）
A．B．2C．D．1003
5．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（多选题）已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于对称
C．的值域为D．函数有9个零点
7．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）（多选题）已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．

题型九 导函数与原函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心B．有对称中心
C．有对称轴D．有对称轴
2．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．
3．（24-25高三下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．-1D．-2
4．已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A．B．1C．2025D．2026
6．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012B．2024C．D．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（ ）
A．B．1C．0D．3
5．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
10．已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（ ）
A．3mB．6mC．9mD．12m
11．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．
13．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（ ）
A．2025B．2026C．4050D．4052
14．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数．函数均满足，下列说法：
①；
②若数列是公比为4的等比数列．则；
③点是曲线的对称中心：
④．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选题）已知定义在上的偶函数满足，则下列命题成立的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．
C．函数为偶函数D．函数为奇函数
17．（2025·宁夏银川·三模）（多选题）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
18．（2024·海南·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称
C．D．
19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选题）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
20．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
21．（2025·河南郑州·二模）（多选题）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．关于点中心对称
C．关于轴对称
D．
22．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则 ．
23．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
24．（23-24高三上·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
25．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
26．（23-24高三上·河北邯郸·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．
27．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
28．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 .
29．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
6．（24-25高三上·山西·期中）（多选题）已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A．8是一个周期B．为偶函数
C．D．
7．（24-25高三上·广东清远·月考）（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于原点对称
C．D．的极小值为3
8．（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．在上至少有2个零点D．
9．（多选题）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为41、奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
3、已知奇函数，，则
（1）
（2）
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
周期性技巧
轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足,则的一条对称轴为
（2）若函数满足,则的一条对称轴为
（3）若函数满足,则的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=eq \f(a＋b,2)对称；
小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
中心对称结论如下：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
导函数与原函数的对称性
为偶函数为奇函数
为奇函数为偶函数
为偶函数有对称中心 注意：此处 或
同理：
有对称轴有对称中心
关于中心对称有对称轴 注意：此处 或