重难点培优01 分段函数问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优01 分段函数问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共28页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，典例2-1，典例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力
\l "_Tc17807" 题型01 分段函数的求值问题…………………………………………………………………02
题型02 已知函数值求参数……………………………………………………………………04
题型03分段函数的解析式 ……………………………………………………………………05
题型04 分段函数的奇偶性……………………………………………………………………08
题型05 分段函数的单调性……………………………………………………………………10
题型06 已知分段函数的单调性求参数………………………………………………………13
题型07 分段函数的值域与最值………………………………………………………………17
题型08 已知分段函数的值域求参数…………………………………………………………20
题型09 分段函数的零点问题 ………………………………………………………………22
题型10 解分段函数不等式 …………………………………………………………………28
题型11 分段函数中恒（能）成立问题………………………………………………………31
题型12 分段函数中的新定义问题……………………………………………………………35
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效
\l "_Tc30327" 巩固过关……………………………………………………………………………………………39
\l "_Tc11271" 创新提升……………………………………………………………………………………………43
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1分段函数的概念
1.定义
分段函数：在定义域的不同区间上，对应法则（解析式）不相同的函数，整体仍是一个函数，不是多个函数。
简单说：一个函数，多段表达式，分段定义。
2.定义域： 把每一段自变量的取值范围合并，就是整个分段函数的定义域。
3.解析式： 按自变量 x 所在区间，选用对应一段式子计算函数值。
4.图像： 由几段不同曲线 / 直线拼接而成，分界点要注意空心点、实心点（判断该点是否有定义）
\l "_Tc25045" 知识点2 解答分段函数问题的基本思路
分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的，否则是断开的.
2.遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
3.如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
题型深研·通法变式提能力
题型1 分段函数的求值问题
【典例1-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数则______.
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式求值即可.
【详解】因为
所以，
故答案为：2
【典例1-2】（2026·江西·二模）已知函数，则_____．
【答案】
【详解】因为，
所以
【变式1-1】已知函数，则___________．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解.
【详解】由题意知，，．
故答案为：
【变式1-2】已知函数，则___________．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可.
【详解】因为，则，
且，
所以
故答案为：.
【变式1-3】（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.
【详解】由，可得，
由，可得，
由，可得，故，
因此.
方法技巧 已知函数值求参数
1 在分段函数中，若已知函数值（如fa=2）求参数a，需要对a进行分类讨论；
2 若遇到求类似f(f(a))多重函数值，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法t=f(a)；
3 遇到新定义的分段函数，理解函数的含义是关键。
题型2 已知函数值求参数
【典例2-1】（2026·河北·一模）已知函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和.
【详解】若，则，因为函数在单调递增，
且，所以方程无解；
若，，则，
得到，即，
整理得，解得（舍）或；
若，因为函数在单调递减，
且，所以方程无解；
综上，，，
所以，.
故选：B.
【典例2-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________．
【答案】0或2
【分析】根据题意结合指、对数函数性质可得，分类讨论解方程即可.
【详解】因为恒成立，若，
则，且，可得，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：或.
【变式2-1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．1或3B．或1C．0或D．1或
【答案】D
【详解】当时，，解得；
当时，，解得.
综上所述，或.
【变式2-2】（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可.
【详解】当时，，即，无解；
当时，，解得，
所以.
【变式2-3】（25-26高三上·河北沧州·期末）已知函数若，，则______.
【答案】2
【分析】由题设可得，据此可得答案.
【详解】注意到，
由，得或，又，故.
故答案为：.
题型3 求分段函数的解析式
【典例3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）给定函数，，，用表示中的较小者，记为，则________．
【答案】
【分析】分别令和，解不等式，结合题意即可得结果.
【详解】令，即，整理可得，解得；
令，即，整理可得，解得或；
所以.
故答案为：.
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．

【答案】
【详解】当时，，
当时，设，把，分别代入可得，
解得，故
即函数的解析式
【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．
【答案】
【详解】当时，，所以.
展开式中，的系数为.
【变式3-3】若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意解不等式确定的大小关系，进而可得函数解析式；
（2）分和两种情况，结合一次函数和二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）因为，
令，即，解得；
令，即，解得或；
所以．
（2）因为，且，
当时，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
可知在上的最大值为，最小值为，
可得；
当时，可知在上单调递减，
且，可得；
综上所述：，即在上的值域为．
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（ ）
A．4B．3C．D．2
【答案】B
【详解】∵为偶函数，∴，
又，
∴.
【变式4-1】已知为奇函数，则（ ）
A．－4B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
则，
所以，则，
此时，
则，满足题意
故.
故选：B.
【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A．B．C．1D．9
【答案】A
【详解】因为是奇函数，所以当时，有，
又因为当时，有，所以，
根据恒等式可知：，，
所以．
【变式4-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，在区间上单调递增
D．当时，
【答案】AB
【详解】A：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确.
B：函数定义域为，关于原点对称，
若，则，，
若，则，，
∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确.
C：令，在上，，
当时，，不满足单调递增的定义，故C错误.
D：取，满足，
∵，
∴，
∵，
∴，
此时，故D错误.
【变式4-4】已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
【答案】
【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得.
又因为为偶函数，所以，.
因为，所以.
故答案为：.
题型5 分段函数的单调性
【典例5-1】已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
【答案】B
【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性.
【详解】的定义域为，
因为，则，
所以为奇函数.
又，则也是奇函数.
由，可得图象如图所示：

所以函数在上单调递增.
故选：B
【变式5-1】函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.
【详解】函数，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A
【变式5-2】（2026·北京顺义·三模）设，函数则（ ）
A．有最小值且在上是单调递减的B．有最小值且在上是单调递减的
C．无最小值且在上是单调递减的D．无最小值，且在是单调递减的
【答案】C
【分析】分别分析各分段区间的单调性、端点函数值，结合趋向负无穷时取值趋势判断最值情况.
【详解】当时，，其中，故在上函数单调递增；
当时，，因此无最小值，直接排除A、B选项.
当时，，其中，故在上函数单调递减.
当时，，该函数在上单调递减，在处取值为；
当时，处的右极限为，
因为，所以，所以函数在上不是单调递减函数，D错误.
综上，C正确.
【变式5-3】（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
【答案】BC
【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项．
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
根据定义画出，
容易看出有最大值，无最小值，故A错误；
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，无最小值，故B正确；
时，由，解得：（舍去），
故F在，递增，在和递减，
故C正确，D错误，
故选：BC．
题型6 已知分段函数的单调性求参数
【典例6-1】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围．
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，
在上单调递增，最大值为；
当时，，求导得，
要使在上单调递增，需对所有恒成立，
即，则，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得最大值，，
，
在上单调递增，
，解得，
综上可得，．
【典例6-2】（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减，
因为函数在上单调递减，在上单调递减，
所以，解得，
所以的最小值为2.
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值．
【详解】因为是上的严格减函数，故
当时，必须严格单调递减，故，解得；
当时，，因为，故单调递减；
分段点为，，当时，，
故，解得；
综上，实数的取值范围是．
【变式6-2】已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将已知不等式变形后构造减函数，根据分段函数的单调性及衔接点处的单调性列方程组可求解.
【详解】因为，所以，
令函数，则是减函数.
因为，
所以，
因为是减函数，所以在上单调递减，
在上单调递减，且衔接点左侧函数值不小于右侧函数值.
当时，根据的图象可知，
在上，随着x的增大，与的差越来越大，
即在上单调递增，不符合题意，所以，
所以，解得.
【变式6-3】已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数，
故函数在上为减函数，
所以在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，解得，
且有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
方法技巧 分段函数的单调性问题
1 判断分段函数的单调性，可以进行分类讨论或者数形结合；
2 若已知分段函数的单调性求参数，可先由已知的单调性得到各段函数单调性求出参数符合的范围，但要注意各段函数之间在端点处也要符合题意中的单调性；
3 利用分段函数的图象，更有利于思考。
题型07 分段函数的值域与最值
【典例7-1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________．
【答案】
【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
显然当时，，因此，，
所以当时，，
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，，
显然，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案.
【详解】因在上单调递增，则时，，
又在上单调递增，则时，，
则的值域为，故A正确．
【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】画出，，的图像，观察图像可知，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的最大值在时取得为，故B正确．
【变式7-3】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域.
【详解】当时，单调递增，，
当时，．
综上所述，的值域是．
【变式7-4】（25-26高三上·安徽·期中）若，则的最小值是（ ）
A．12B．14C．16D．20
【答案】A
【分析】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解.
【详解】由，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
作出的图象如图所示，
即在上单调递减，上单调递增，
所以当时，取最小值，即.
故选：A.
题型08 已知分段函数的值域求参数
【典例8-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解.
【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，
且当时，，当时，，
此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得；
若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；
若，则在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
的值域不可能为，不合题意；
若，则在上单调递增，在上单调递增，
且当时，，当时，，
此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得，
综上所述，实数的取值范围为.
【典例8-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数单调递减，.
函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是.
【变式8-1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】当时，，则，故，
若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，不是，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【变式8-2】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．
【答案】
【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论，
当，时，的最大值为，
而在区间上为单调递增函数，则，解得，
故，
当，时，的最大值为，
而在区间上为单调递增函数，
则，即，解得，
故，
综上所述可得的取值范围为，故的最大值为．
【变式8-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【答案】
【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.
【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
题型09 分段函数的零点问题
【典例9-1】若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可.
【详解】因为，则是周期为的周期函数，
又，所以在上的图象如图所示.
由的解析式可知，单调递增，；
在上单调递减，上单调递增，，
所以的图象如图所示.
令，将所求零点问题转化为函数交点问题，
则在上的交点个数即为所求零点个数.
如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点，
综上共有个交点，即有个零点.
故选：.
【典例9-2】已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，令，可得或.
作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围.
【详解】设，令，得，
即，解得或.
作出函数的大致图象如图所示：
由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根，
所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是.
【变式9-1】（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系，
有3个零点等价于与图象有3个交点，设，
由图可知，，即．
【变式9-2】（2026高三·宁夏内蒙古·专题练习）已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围.
【详解】因为，
可得，因此关于轴对称是偶函数，
又， 且恰有4个零点，
因此当时，恰有2个零点，
当时，恰有2个零点，
当时，，
因为时，
当且时， 即有2个解，
令且
，
则， 解得或
因此或时，单调递减，
当时，单调递增，
因此函数图象如下：
因此时，有2个交点，
即若恰有4个零点，则.
故选：B.
【变式9-3】（多选）（2026·陕西延安·三模）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
【答案】BC
【分析】利用对数函数及正弦函数的性质可以画出函数图象，结合图象分析逐个选项分析即可.
【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解，
也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误；
对B，因为有4个零点，，，，且，
所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确；
对C，时，或，
解得或，
对，令，则，则由图可知，
所以，
因为函数在单调递增，所以，故C正确：
对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，，
令，所以，，
令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增，
所以，所以的取值范围为，所以D错误.
【变式9-4】（多选）设函数，则（ ）
A．B．有3个零点
C．当时，仅有1个零点D．当时，的零点之和为1
【答案】BD
【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案.
【详解】对于A，代入可得，故A错误；
对于B，若，由，解得或，满足;
若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确；
对于C，由，得，而二次函数的对称轴为,
当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误；
对于D，当时，的零点即为的零点，
当时，由，解得，满足;
当时，由，解得,满足，
所以的零点之和为，故D正确.
故选：BD.
题型10 解分段函数不等式
【典例10-1】（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可.
【详解】 分情况讨论不等式的解：
当时，，不等式，
与前提矛盾，故此时不等式无解；
当时，，对其求导得.
当时，，即在上单调递增.
又，
因此.
综上，的解为.
将代入得，解得，即.
【典例10-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式.
【详解】由已知得，当时，，
所以，当时，同理有，可知是奇函数．
又当时，，所以在上单调递增，
从而可得在上单调递增．
不等式即，
所以有，解得．
【变式10-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题得或，解得，故选项D正确．
【变式10-2】设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性求解即可.
【详解】当时，，为单调递减函数，且，
当时，，也为单调递减函数，，
所以在上单调递减.
因为，所以，解得，
所以.
故该不等式的解集为.
【变式10-3】（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可．
【详解】解：由，则，
，解得，
，解得，
综上，不等式的解集是．
【变式10-4】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对的取值范围分，，三种情况进行分类讨论，分别求解对应的不等式即可得到最终结果.
【详解】当，则，
，，
成立，
当时，，
，
，解得：.
.
当时，
，，
成立，
综上所述：.
故选：C
方法技巧 解分段函数不等式
1 在分段函数中，遇到求类似fa>2不等式，要对a进行分类讨论；
2 若遇到求解类似ffa≤−1多重函数的不等式，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法t=f(a)；
3 求分段函数的不等式，也可以用数形结合的方法，先把分段函数和不等式中所含的函数的图象画出，再结合图象进行求解。
题型11 分段函数中恒（能）成立问题
【典例11-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数，同时满足条件：
①，或；
②，.
则的取值范围是________.
【答案】
【分析】画出的图象，得到故时，，当时，，由①可知，当时，，由二次函数图象可知，需满足，解得，由②可知存在时，使得，结合二次函数特征可知，，解得，从而得到答案.
【详解】画出的图象，如下：

故时，，当时，，
由①，或，可知，当时，，
故二次函数开口向下，所以，
其中，要想满足时，，
需满足，解得，
又，，故存在时，使得，
结合二次函数特征可知，，解得，
综上，.
故答案为：.
【变式11-1】（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围.
【详解】因为函数和均是增函数，
所以是上的增函数，只需要满足，
即，解得.
由得 ，即 恒成立.
因为，即.
所以实数的取值范围是.
【变式11-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题意化为，即，根据是R上的增函数，得对恒成立，进而利用判别式法求解即可.
【详解】由题意得，如图所示，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以原不等式化为，
由图可知是R上的增函数，所以对恒成立，
所以，则，即.
故选：D．
【变式11-3】已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论，则问题变成一元二次不等式存在性问题.
【详解】①当时，等价于，即，
依题意在上有解，
开口向上，对称轴，
当时，，
，即，此时的取值范围为；
②当时，等价于，即，
依题意在上有解
，当且仅当，即时等号成立，
，解得，此时的取值范围为；
综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是，
故选：D．
【变式11-4】已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.
【详解】因为，则定义域为，
所以的图象是取与图象位于下方的部分，
作出的图象如下所示（实线部分）：
当时，显然在上单调递减，且；
因为，使得关于的不等式成立，
所以，令，解得，
结合图象可得的解集为或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
题型12 分段函数中的新定义问题
【典例12-1】（25-26高三上·湖北·期中）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ）
A．1B．2C．6D．5
【答案】BD
【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况.
【详解】，图象开口向下，对称轴为.
当时，由或；
由时，由，
依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界），
如图所示：，
当时，，符合题意，
，，
当，符合题意，
而，故选项BD正确.
故选：BD.
【变式12-1】设，定义符号函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解.
【详解】对于选项A，，，故，故A不正确；
对于选项B，，，故，故B不正确；
对于选项C， ，，故，故C不正确；
对于选项D，，，故，故D正确.
故选：D.
【变式12-2】）Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于ABC，依次取，，即可逐一判断各个选项；对于D，分是无理数、有理数讨论即可判断.
【详解】若，当时，取，则，此时，A错误；
若，当时，取，则，此时，B错误；
若，当时，取，则，此时，C错误；
若，当时，，此时恒成立，即．
当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确．
故选：D.
【变式12-3】定义运算：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】问题化为与图象的交点个数，结合新定义写出的分段函数形式，再数形结合求参数范围.
【详解】函数的零点个数，即与图象的交点个数，
由题意知，其图象如图所示（实线），
若直线与的图象有两个交点，则，即.
故选：A
【变式12-4】对于任意实数，表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____.
【答案】11
【分析】就的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求中元素的和.
【详解】注意到
且
所以，
所以，故所求为.
故答案为：11.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】，
.
所以
2．（2026·四川雅安·一模）已知函数则方程的实数根的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对函数进行分段讨论即可求解.
【详解】当时，则，可得或,
由解得符合题意；
由得无实数解，舍去.
当时，则，解得符合题意，
综上，方程有个实数根.
故选：
3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数为奇函数，则的值为（ ）.
A．0B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【详解】因为函数为奇函数，
当时，，则，所以，
又，则，即.
故选：C
4．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解.
【详解】由函数在上都单调递增，
得函数在上单调递增，
由函数在上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是.
5．（多选）（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，则（ ）．
A．B．的值域为
C．D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】对于A，直接代值即可得出；对于B，求出每段函数的值域，将结果取并集即为分段函数的值域；对于C，每段函数的在各自范围内的零点即为分段函数的零点；对于D，求出每段函数的在各自范围内大于1的解集，将结果取并集即为分段函数的大于1的解集.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，当时，，当时，，所以的值域为，故B正确．
对于C，当时，由，解得，
当时，由，解得或（舍去），所以，故C错误．
对于D，当时，由，解得，即，
当时，由，解得，
所以不等式的解集为，故D正确．
故选：ABD
6．（多选）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，因为，
所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点，
又设这4个交点横坐标分别为，且，
由关于直线对称，得，故A错误；
由，可得，故B正确；
由图可知，则，故C正确；
由图可知，即，得，
则，故D正确.
故选：BCD
7．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分，，，三种情况，分别求出每段的值域即可求最值.
【详解】解：①若.当时，；
当时，.
依题意需，解得（舍去）.
②若.当时，；
当时，
此时，则.
③若.当时，；当时，.
则需，解得.
当时，，当时，，则有最小值1.
综上，或.
故答案为：.
创新提升
1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，故，故,
所以或,
故．
2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得.
【详解】当时，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，则，
则在上单调递减，则，
又当时，，
则有，解得，
故满足的实数的取值范围是.
3．（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（ ）
A．26B．27C．28D．29
【答案】B
【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数.
【详解】当时，，
所以当时，先减后增，
则存在实数，方程有两个不同的实数解；
当时，单调递减，
方程至多有一个实数解；
当时，，
所以当时，先减后增，
则存在实数，方程有两个不同的实数解；
当时，单调递增，
方程至多有一个实数解；
综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解，
又为正整数，所以可取，和为.
4．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围.
【详解】对于，当时，，则；
当时，，故函数的值域为；
设，则的值域为.
因对任意，存在，使得成立,即成立，
故函数的值域是函数值域的子集，
故只需，即，解得.
5．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，求得集合M；由是递增数列列出不等式组，求解得集合N，再根据集合的包含关系判定即可.
【详解】因为对且，都有成立，
所以是上的增函数，
解得，所以.
数列满足，且是递增数列，
所以，即，解得，所以
故.
6．（多选）（25-26高三上·宁夏·期中）已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（ ）
A．时，方程有2个不同的实数根
B．方程至少有2个不同的实数根
C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】将问题转化为和的图象的交点个数问题，然后作图分析可得．
【详解】方程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题，
如图，作出直线和函数的图象，
A，由图可知：时，方程有2个不同的实数根，正确；
B，当时，结合图象可知，方程有一个解，错误．
C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确．
D，因为为方程，即的两个不相等实根，所以，
因为为方程的根，所以，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，正确．
故选：ACD.
7．（多选）（2026·江苏扬州·三模）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】AB
【分析】结合图像得出方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，根据方程和求出，再逐个选项进行判断.
【详解】画出函数的图像：
设，即方程有三个不同的实根，
由于在上单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，
令，
结合图像可知，方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，
即当且仅当，且，
，
再考虑方程和，注意，
或或，
因为，所以，
对于A，，
所以，A正确；
对于B，，，
令，则，当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，B正确；
对于C，，因为，所以单调递增，
因为，所以无最小值，C错误；
对于D，在上单调递增，
所以，所以的最大值为，D错误.
8．（25-26高一上·上海闵行·期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】当时，，讨论时，取得的最小值，确定的取值范围.
【详解】当时，，无最小值，所以需时，取得最小值.
当时，，
若，则在单调递减，，
则当时，在定义域内存在最小值；
若，则在上恒为，在定义域内存在最小值；
若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值.
综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为.
故答案为：
9．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为________
【答案】
【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．
【详解】作出函数图像如图所示：
令，则可化为，
若有6个根，
结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，
不妨设，，
则，解得，
故m的取值范围为.
故答案为：