初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.3 二次函数的表达式的求法多媒体教学ppt课件

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用待定系数法求二次函数的表达式
1. 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式；(2)列：把已知点的坐标代入所设的二次函数的表达式，列出关于表达式中待定系数的方程或方程组；(3)解：解方程或方程组，求出待定系数的值；(4) 写：将求出的待定系数还原到表达式中，写出表达式.
2. 二次函数表达式的类型
技巧提醒特殊位置抛物线的表达式的设法技巧：(1)顶点在原点，可设为 y=ax2；(2)对称轴是y 轴(或顶点在 y 轴上) ，可设为 y=ax2+k；(3)顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x － h）2；(4)抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx.
[一题多解] 已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：求这个二次函数的表达式.
1-1.(1)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且经过点(-2，0)，则该抛物线的表达式为_________________；(2)已知抛物线经过点(-1，0)，(1，8)和(3，0)，则该抛物线的表达式为_________________ ；(3)已知抛物线经过(-1，10)，(0，6)，(1，4) 三点，则该抛物线的表达式为_________________ .
y=-2x2+4x+6
1-2. 一个二次函数的图象经过点A(-1，1)，B(3，1)，最小值为-3.(1)求函数图象的顶点坐标；
解：因为点A(-1，1)，B(3，1)的纵坐标相同，所以函数图象的对称轴为直线x=1.由题知二次函数的最小值为-3，所以函数图象的顶点坐标为(1，-3).
(2)求函数的表达式.
解：由(1)知函数图象的顶点坐标为(1，-3)，所以设函数的表达式为y=a(x-1)2-3.把A(-1，1)的坐标代入，得1=a×(-1-1)2-3，解得a=1.所以函数的表达式为y=(x-1)2-3，即y=x2-2x-2.
二次函数的表达式的求法
利用对称变换法求二次函数的表达式
已知抛物线y=2x2-4x+1.求下列变换后的抛物线的表达式：(1)关于 x 轴对称；(2)关于 y 轴对称；(3)绕顶点旋转 180°.
解题秘方：紧扣对称变换的特征，关键是顶点坐标的变化 .
解：y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1.(1)关于 x 轴对称，开口方向改变，顶点坐标为(1，1)，则 y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1.(2)关于 y 轴对称，开口方向不变，顶点坐标为(-1，-1)，则 y=2(x+1)2-1=2x2+4x+1.(3)绕顶点旋转 180°，开口方向改变，顶点坐标为(1，-1)，则 y=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3.
方法点拨求对称变换后的抛物线的表达式关键注意两点：一是开口方向是否发生改变；二是顶点坐标的变化情况.
利用等量关系法求二次函数的表达式
如图 4.3-1，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为 S，求 S 与m之间的函数表达式 .
解题秘方：利用待定系数法和等量关系法求二次函数的表达式 .
解：(1)因为抛物线与 x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，所以设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3).因为抛物线与 y 轴交于点C(0，3)，所以 a(0+1)(0-3)=3，解得 a=-1.所以抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
方法点拨利用点的坐标表示图形的面积时，通常过某点作x轴(或 y轴)的垂线，将图形进行分割.
用顶点式求二次函数表达式时，符号出现错误
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且经过点(-3，-2)，求这个二次函数的表达式 .
正解：因为抛物线的顶点坐标为(-2，-3)，所以设抛物线的表达式为y=a(x+2)2-3.把(-3，-2)代入，得-2=a(-3+2)2-3，解得a=1.所以二次函数的表达式为y=(x+2)2-3.
诊误区：二次函数的顶点式为 y=a(x-h)2+k，当顶点的横坐标为负数时，设函数表达式时应注意符号 .
试题评析：本题主要考查二次函数表达式的求法. 解题关键在于利用抛物线的对称轴，分析点的对称特征，分情况讨论抛物线上的点的组合，再通过代入点的坐标，借助待定系数法求出a的值，以此判断即可．
1. [期中·岳阳君山区] 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，-4)，则这个二次函数的表达式为( )A. y=-2(x+2)2-4 B. y=-2(x-2)2+4C. y=2(x+2)2-4 D. y=2(x-2)2+4
2. [中考·陕西] 已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( 　 )A. 图象的开口向上B. 当x＞ 0 时，y的值随x值的增大而增大C. 图象经过第二、三、四象限D. 图象的对称轴是直线x=1
y=-x2+x+2(答案不唯一)
5. 如图，二次函数的图象过A，C，B三点，点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y 轴正半轴上，且AB=OC.
解：因为A(-1，0)，B(4，0)，所以AO=1，OB=4.所以AB=AO+OB=1+4=5.因为AB=OC，所以OC=5，所以点C的坐标为(0，5).
(2)求二次函数的表达式，并求出函数的最大值.
6. [新趋势 学科内综合]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x 轴负半轴上，点B在x 轴正半轴上，且OB>OA. 已知点C(0，-4)，OA2+OB2=17，线段OA，OB的长是关于x 的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根.
(1)求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
解：因为OA，OB的长是方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根，所以OA+OB=m，OA·OB=2(m-3).因为OA2+OB2=17，所以(OA+OB)2-2OA·OB=17，即m2-4(m-3)=17，解得m1=5，m2=-1.因为OA+OB=m>0，所以m=5.当m=5时，一元二次方程为x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4.因为OB>OA，所以OA=1，OB=4.所以A(-1，0)，B(4，0).
(2)设上述抛物线的顶点为P，求直线PB的表达式.
(1)OB=_______；(2)求点C的坐标；