初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.3 二次函数的表达式的求法授课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.3 二次函数的表达式的求法授课课件ppt，共100页。PPT课件主要包含了待定系数法，a＋b＋c＝1，c＝－4，a－b＋c＝－5，b＝3，a＝2，或14，-8或-14等内容，欢迎下载使用。
1. 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
一次函数的表达式是 y = kx + b ，只要求出____和____的值， 就可以确定一次函数的表达式.
二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0 ），因此，要确定这个表达式，就需要求出___，___，___的值.
已知一个二次函数的图象经过三点（1， 3）， （-1， -5）， （3， -13），求这个二次函数的表达式.
解 设该二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c .
将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13） 分别代入函数表达式， 得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：
a + b + c = 3 ，a - b + c = - 5 ，9a + 3b + c = - 13
解得 a = -3 ， b = 4 ， c = 2 .因此， 所求的二次函数的表达式为 y = -3x2 + 4x + 2 .
已知三个点的坐标， 是否有一个二次函数， 它的图象经过这三个点？（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.
解 （1）设有二次函数 y = ax2 + bx + c ， 它的图象经过 P， Q， R 三点， 则得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：
a+ b + c = -5，a - b + c = 3 ，4a + 2b + c = -3，
解得 a = 2 ， b = - 4 ， c = -3.因此， 二次函数 y = 2x2 - 4x – 3 的图象经过 P， Q， R 三点.
（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.
解 （2）设有二次函数 y = ax2 + bx + c ， 它的图象经过 P， Q， M 三点， 则得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：
a+ b + c = -5，a - b + c = 3 ，4a + 2b + c = -9，
解得 a = 0 ， b = - 4 ， c = -1.因此， 一次函数 y = - 4x – 1 的图象经过 P， Q， M 三点.
y = - 4x – 1
例2中：两点P（1， -5）， Q（-1， 3）确定了一个一次函数 y = - 4x - 1 .点 R（2， -3）的坐标不适合 y = - 4x - 1 ， 因此点 R 不在直线 PQ 上，即P， Q， R 三点不共线.点 M（2， -9）的坐标适合 y = - 4x - 1，因此点 M在直线 PQ 上，即 P，Q，M 三点共线.
（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.
例2表明： 若给定不共线三点的坐标， 且它们的横坐标两两不等， 则可以确定一个二次函数； 而给定共线三点的坐标， 不能确定二次函数.
可以证明： 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.
还可以证明： 若给定不共线三点的坐标， 且它们的横坐标两两不等， 则可以确定唯一的一个二次函数， 它的图象经过这三点.
用顶点式求二次函数解析式.
已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0), 求二次函数解析式.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为 y = a(x-1)2-4,∵点 B（3，0）在图象上，∴0 = 4a-4, ∴ a = 1,∴ y = (x-1)2 - 4,即 y = x2-2x-3.
用交点式求二次函数解析式
已知一抛物线与x轴交于点 A（-2，0），B（1，0），且经过点 C（2，8）.求二次函数解析式.
解：A（-2，0），B（1，0）在 x 轴上，设二次函数解析式为 y = a(x+2)(x-1).又∵图象过点 C（2，8），∴ 8 = a(2+2)(2-1), ∴a=2,∴ y = 2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 的图象经过三点 A（0，2）， B（1，3），C（－1，－1）， 求这个二次函数的表达式.
c = 2，a + b + c = 3 ，a - b + c = -1，
解 设这个二次函数为 y = ax2 + bx + c
解得 a = -1 ， b = 2 ， c = 2.二次函数表达式 y = -x2 + 2x+ 2.
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
注 y = ax2 与 y = ax2 +k、y = a(x -h)2、y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
2. 过点(2，4)，且当 x = 1时，y 有最值为 6 ，则其表达式是 .
y = -2(x -1)2 +6
3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2 ＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点 A(－1，0)，B(1，0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝ a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点 M(0，1)，所以1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1，所以所求抛物线的表达式为 y＝ －(x＋1)(x－1)，即 y＝－x2 ＋1.
5. 已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1) 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线表达式的为(　　)
6. 如果抛物线 y = x2 - 6x + c -2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于(　　)
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是 y ＝ x2＋6x＋5；
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
解：∵CD∥x轴，∴点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．∵点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，∴点 C 的横坐标为 －7，∴点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点 B 的坐标为 (0，5)，∴△BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7，∴△BCD 的面积＝ ×8×7＝28.