初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）1.2 平行线分线段成比例课文配套课件ppt

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平行线等分线段定理平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实的推论
1. 平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.2. 拓展：经过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必然平分第三边，简记为“中点＋平行→中点”.
3. 平行线等分线段定理的几个基本图形如图1.2-1 所示，若已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，根据定理可直接得到A1B1＝B1C1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．
特别解读1. 平行线等分线段定理的前提条件是三条或三条以上的等距离平行线截两条直线.2. 构成的相等线段满足两点：(1) 相等线段在同一条直线上;(2) 相等线段在被截直线上.
如图1.2-2，A，B，C，D把OE五等分，AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果OE′＝20 cm，那么B′D′等于( )A. 12 cmB. 10 cmC. 6 cmD. 8 cm
解题秘方：紧扣平行线等分线段定理，找出相等的线段，求出线段B′D′的长.
解：由平行线等分线段定理得OA′=A′B′=B′C′=C′D′=D′E′.因为OE′=20 cm，所以OA′=A′B′=B′C′=C′D′=D′E′=4 cm.所以B′D′=B′C′+C′D′=4+4=8(cm).
1-1.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条 横格线间的距离都相等 . 已知同一条直线上的三个点 A， B，C 都在横格线上．若线段 AB=3 cm，则 线段BC= ______cm．
平行线分线段成比例的基本事实
特别解读对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如AB与A1B1是对应线段，BC与B1C1 是对应线段,AC与A1C1 是对应线段.
[母题中考·乐山教材P11例1]如图1.2-4，l1∥l2 ∥l3，AB=2，DE=3，BC=4，则EF 的长为(　　)A．4 B．6 C．8 D．10
解题秘方：先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，再结合待求线段和已知线段构造方程并解方程，求出待求线段的长.
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实找出比例线段进行判断 .
平行线分线段成比例的基本事实的推论
1. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
2. 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形(如图1.2-7)
特别提醒1. 本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，另一条与三角形一边所在直线重合的特殊情况.2. 成比例的线段不涉及平行线上的线段.3. 当被截的两条直线相交时，其交点在一条隐形的平行线上.
解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的基本事实的推论，结合已知条件列出合适的比例式求解.
4-1. [母题 教材 P12 练习 T2 ]如图，已知 BC ∥ DE，AD=3， AE=4， AB=9，则 CE= ________．
利用平行线分线段成比例求线段长
如图 1.2-9，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF 的长 .
解题秘方：利用平行线分线段成比例求线段的长，需先确定图形中的平行线，由此找出线段间的比例关系，再结合待求线段与已知线段写出一个含有它们的比例式，即可求出线段的长 .
技巧点拨抽象出“A 型”或“X 型”图形解决问题：本题相当于是三条直线被一组平行线所截，根据平行线分线段成比例可以列出很多比例式，解题的关键是抽象出“A 型”或“X 型”图形,列出含有待求线段和已知线段的比例式 . 列式时要找准对应关系 ,将对应线段写在对应的位置上 .
利用平行线分线段成比例证明线段成比例
如图 1.2-10，已知平行四边形 ABCD，E 是 BA 延长线上一点，CE 与 AD，BD 分别交于点 G，F. 求证：CF2=GF·EF.
解题秘方：当要证明的比例式中的线段与“平行线分线段成比例”无关时，可利用中间比进行等量代换进行证明 .
构造平行线证明线段相等
[一题多解] 如图 1.2-11，在△ ABC 中，点 D 是 AB 上的点，且 AB=3AD，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交 BC 的延长线于点 F.求证：BC=CF.
解题秘方：作平行线构造成比例的线段的实质是构造“A 型”或“X 型”图形，常用的添加辅助线的规律：(1)原图中的每条直线都可以看成平行线中的一条，针对每一条直线都可以过不在这条直线上的点作它的平行线；(2)过图中任一点都可作不经过这点的直线的平行线 .
另解提示本题还有其他多种解法，下面仅给出 3 种添加辅助线的思路：(1)如图 1.2-14，过点 B 作BG ∥AC，交 FD 的延长线于点 G.
(2)如图 1.2-15，过点 C作 CG ∥DE，交 AB于点G.(3)如图 1.2-16，过点 C作CG ∥AB，交DF 于点G .
运用平行线分线段成比例时，容易弄混比例线段的对应关系而出错
诊误区：利用平行线分线段成比例时，要结合图形确定成比例的线段的四条线段的对应位置关系，不能混淆，同时注意平行线分线段成比例中的比例线段与平行线上所截的线段无关.
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段的长
[中考·郴州] 如图1.2-18 是一架梯子的示意图，其中AA1 ∥ BB1 ∥CC1 ∥ DD1，且AB=BC=CD. 为使其更稳固，在A，D1 间加绑一条安全绳(线段AD1)，量得AE=0.4 m，则AD1=______ m.
试题评析：本题考查平行线分线段成比例的基本事实，根据已知条件，得到AE=EF=FD1，进而即可求解.
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段的比值
试题评析：本题考查平行线分线段成比例的基本事实，根据基本事实找出成比例的线段是解决本题的关键.
利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段的长
试题评析：本题考查了平行线分线段成比例的基本事实的推论，正确列出比例式是解决本题的关键.
5. [新趋势 跨学科]在音乐课上某同学发现：音乐里也存在数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C 都在横线上，若线段AB=9，则线段BC 的长是_______ .
7. 如图，已知直线l1，l2，l3 分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5 于点D，E，F，且l1 ∥ l2 ∥ l3.
(1)如果AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长；
(2)如果DE∶EF=2∶3，AC=25，求AB的长.
8. [母题 教材P12 习题T3]如图， 在△ ABC 中，点D，F在AB上，点E在AC上，若DE∥BC，EF ∥ DC. 求证：AD2= AB·AF.