初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第1章 图形的相似1.4 相似三角形的判定图片课件ppt

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1.掌握相似三角形的判定定理 2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理 2．（难点）
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
由此猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB. 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
因为 DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
于是 A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.所以 △A′DE≌△ABC. 因此 △ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例1 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△ABC∽△DEF.
证明 因为 AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
因此△ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
又∠C =∠F = 70°，
证明： 因为 CD 是边 AB 上的高，所以 ∠ADC =∠CDB = 90°.
所以∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠CBD +∠BCD = 90°.
例2 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 . 求证 ∠ACB = 90°．
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
因此△ACD∽△CBD.
从而∠ACD = ∠CBD.
1. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′.
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，∴ AD = AE，AB = AC，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC∽△ADE.
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
例3 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
又∵∠EAD =∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
提示：解题时要找准对应边.
(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( )
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC = AD : BD B. AC : BC = AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
又∵∠B =∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA.
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB·AD = AE·AC，求证：△ABC ∽△AED.
证明：∵ AB·AD = AE·AC，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.
又∵∠DAB =∠CAE，