第1章图形的相似 单元测试卷(原卷+解析版)-湘教版初中数学九年级上册

这是一份第1章图形的相似 单元测试卷(原卷+解析版)-湘教版初中数学九年级上册，文件包含2026-2027学年湘教版九年级数学上册第1章相似图形单元测试卷原卷版docx、2026-2027学年湘教版九年级数学上册第1章相似图形单元测试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共0页， 欢迎下载使用。
2026-2027学年湘教版2024九年级数学上册第1章相似图形单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1．（本题3分）人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可．【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意；选项，两个图形形状不相同，不符合相似定义，符合题意；选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意；选项，两个图形形状不同，符合相似定义，不符合题意．2．（本题3分）若，则下列各式中一定成立的是（     ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可．【详解】解：由可设，（），对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误；对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误；对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误；对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意．3．（本题3分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可．【详解】解：A、，，，∵，这组线段不成比例，故本选项错误．B、，，，∴，这组线段成比例，故本选项正确．C、，，，∵，这组线段不成比例，故本选项错误．D、，，，∵，∴这组线段不成比例，故本选项D错误．4．（本题3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ）A．B．C．D．【答案】C【详解】A、由位似图形可知，，，故选项A正确，不符合题目要求；B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求；C、由位似图形可知，相似比为，，、、三点共线，，故选项C错误，符合题目要求；D、由位似图形可知，相似比为，，故选项D正确，不符合题目要求．5．（本题3分）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得．6．（本题3分）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：A、如图，根据题意得，，∴∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意；B、如图，∵不知道的长度，∴无法求出的长度，∴无法得出和以为夹角的两边成比例∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意；C、如图，∵，∴∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意；D、∵，且∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意．7．（本题3分）如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可．【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即，当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即，综上所述，点C的对应点的坐标为或．8．（本题3分）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，则，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角相等可得出，从而得出，根据相似三角形的周长比等于对应边的比即可求出结论．【详解】解：设，则，在中，，，即，解得．，．又，，．，．9．（本题3分）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意得出点，确定，第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定点的横坐标为，纵坐标为，据此规律即可求解．【详解】解：的斜边在直线上，点，∴，解得，点，，，第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E，∴，，∴，∴，即∴，，∴点的横坐标为，纵坐标为；同理第6次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为；当第9次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为．二、填空题（共18分）11．（本题3分）若，则的值是________ ．【答案】4【详解】解：设，∴，∴．12．（本题3分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）．【答案】/【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可．【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知为较长线段．13．（本题3分）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______．【答案】【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比．【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为．14．（本题3分）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号）【答案】①②或①③【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得．【详解】解：∵，∴，即．当或时，．即①②或①③符合题意．15．（本题3分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺．【答案】【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可．【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点，设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺，∵标杆、大树均与地面垂直，∴，∴，∴，解得．16．（本题3分）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．（1）若，则_____________；（2）若，则_____________．【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案；（2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案．【详解】解：（1）在正方形中，，在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形，，则；（2）在等腰中，；在等腰中，；则，，，，则，，即，解得．【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心．三、解答题（共72分）17．（本题6分）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为．(1)求的度数；(2)求边的长度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键．（）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解；（）根据相似四边形的性质求解即可．【小问1】解：四边形与四边形相似，，．【小问2】解：∵四边形与四边形相似，，，解得．18．（本题6分）在的网格图中，已知和点．(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形；(2)写出的各顶点坐标．【答案】(1)如图，即为所求：(2)，，【分析】（1）连接并延长至点，使，则即为点的对应点，同样的方法作出，的对应点，，从而得到；（2）利用（1）所画图形就可以得到各顶点坐标．【详解】（1）略（2）略19．（本题8分）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2．(1)________；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解；（2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解．【详解】（1）解：因为所以，又因为，所以，所以；（2）解：因为，所以因为，所以，又因为所以．20．（本题8分）已知线段、、满足，且(1)求、、的值；(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长；(3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解．（1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值．（2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负．（3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值．【详解】（1）解：设，则，，．∵，∴，解得，∴，，；（2）解：∵线段是线段、的比例中项，∴，把，代入可得：，∵线段长度不能为负，∴；（3）解：∵四条线段、、、为成比例线段，∴，把，，代入可得：，解得．21．（本题10分）如图，在和中，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见详解；(2)6【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证；（2）根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：，，即，又，；（2）解：由（1）已证：，，，，，解得或（不符题意，舍去），则的长为6．22．（本题10分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使．(1)若添加的条件为，求证：；(2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）；①；②；③．(3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)③(3)【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证；（2）根据相似三角形的判定定理解答即可；（3）根据相似三角形的性质可得，即可求解．【详解】（1）证明：四边形是菱形，，， 又，；（2）解：四边形是菱形，，， ∴可添加，使；（3）解：四边形是菱形，，又，，即，，∵，，，，即菱形的边长为．23．（本题12分）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）．【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区．【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上，【问题解决】任务一：(1)求车头盲区的长度；任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围．(2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到）(3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）．任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶．(4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围．【答案】(1)(2)解：不能看到物体，理由如下：过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据题意，得，∴，∴，∵，，，∴，解得，根据题意，得，∴，∴，∵，，，∴，解得，，∴驾驶员不能观察到物体；根据题意，得，∴，∴，∵，，，∴，解得，故将座椅的高度调低；(3)增大(4)【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可．（2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可；（3）设，得到，根据分式的性质，求解即可．（4）设，根据题意，得，解得，求解即可;【详解】（1）解：根据题意，得，∴，∴，设，∵，，，，∴，，∴，解得，经检验，时，，故时原方程的根，故的长为（2）略（3）解：根据题意，得， ∴，∴，设，∵，，，∴，，∴，解得，经检验，是原方程的根，故，减小，也在减小，在增大，在增大，故增大;（4）解：根据题意，得，∴，∴，设，∵，，，，∴，，∴，解得，经检验，时，，故时原方程的根，，根据题意，得车顶到地面的距离为，故;24．（本题12分）在等腰直角中，，，外有一点D满足，BD与AC相交于点E，连接CD．(1)如图1，若，，求BD的长；(2)如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将沿直线AB翻折至所在平面内，得，连接、，AG，请直接写出的比值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）证明得到，得到 ，设，，在中，由勾股定理求解即可；（2）延长至使得，连接，证明四边形DFHC为平行四边形，得到DC=FH，DH=2DG，再由已知BC=AC=2DG，进而得到BC=DH；过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N，先证明△HND≌△CMB推出DM=BN，即可证明△DMC≌△BNH得到CD=HF=HB，证明A、B、C、D四点共圆，得到∠BDC=∠BAC=45°，从而推出∠FHB=90°，则；（3）如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD，先证明CD=CF，∠DCF=90°，设CD=CF=2，则，，求出点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0），先推出，得到，，由△ADE∽△BCE，求出，，设点D的坐标为（m，n），由两点距离公式可得 ，从而求出点D的坐标为（，），则点F的坐标为（，），点G的坐标为（，），再求出，则，求出点M的坐标为，得到，则，再由，得到，由此即可得到答案．【详解】（1）解：如下图所示：，，，，且，，，，设，则，，在中，由勾股定理可知：，代入数据：即，解得或(舍)，．（2）解：如图，延长至使得，连接，∵G为CF的中点，∴GF=GC，在△GFD和△GCH中：，∴△GFD≌△GCH(SAS)，∴DF=CH，∠FDG=∠CHG，∴DF∥CH，∴四边形DFHC为平行四边形，∴DC=FH，DH=2DG，∵已知BC=AC=2DG，且2DG=DH，∴BC=DH，过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N，∴∠HMB=∠HND=90°∵BD∥CH，∴CM=HN，又∵BC=DH，∴△HND≌△CMB（HL），∴DN=BM，∴DM=BN，∴△DMC≌△BNH（SAS），∴CD=HF=HB，∵∠ADB=∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，∴A、B、C、D四点共圆，∠CAB=45°，∴∠BDC=∠BAC=45°，∵CD∥FH，∴∠HFB=∠HBF=∠CDF=45°，∴∠FHB=90°，∴；（3）解：如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD，由（2）可知，∵F是BD的中点，∴，∵∠CDF=45°，∴若过点C作CP⊥CD交BD于P，那么，即点P与F点重合，∴CD=CF，∠DCF=90°，设CD=CF=2，则，，∴，∴，∴，点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0）∵，∴，∴，，∵△ADE∽△BCE，∴，∴，∴ 设点D的坐标为（m，n），∴ ，解得或（此时E在x轴下方，不符合题意，舍去），∴点D的坐标为（，），∴点F的坐标为（，），∴点G的坐标为（，），由折叠的性质可知，，∴，∴，∴，，∵点G的坐标为（，），点D的坐标为（，），∴DG的中点坐标为 ，即点M的坐标为，∴，，∵，∴，∴【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形全等的性质及判定，四点共圆，解直角三角形，一次函数与几何综合，两点距离公式等等，属于难题，熟练掌握各图形的性质及判定是解决本类题的关键．