2026七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解拔尖检测试卷（附答案沪科版）

这是一份2026七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解拔尖检测试卷（附答案沪科版），共12页。
第8章 拔尖检测限时：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.1．化简(−x3)2的结果是 （ ）A. −x6B. −x5C. x6D. x52．下列运算正确的是（ ）A. a2+a2=a4B. a(a+1)=a2+1C. a2⋅a4=a6D. (a−1)2=a2−13．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.000 000 7 mm2.将0.000 000 7用科学记数法表示为（ ）A. 0.7×10−7B. 0.7×10−6C. 7×10−7D. 7×10−64．若36x2−mxy+49y2是完全平方式，则m的值是（ ）A. 1 764B. 42C. 84D. ±845．观察图①中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图②所示运算中，可得m+n是（ ）A. −10B. 3C. −3D. 106．把多项式ax2−4ax+4a分解因式，结果正确的是（ ）A. a(x−2)2B. a(x+2)2C. a(x−4)2D. a(x+2)(x−2)7．(−25)2 026×(−52)2 027的计算结果是（ ）A. 25B. −25C. 52D. −528．若关于x的多项式(x2+ax)(x−2)的展开式中不含x2项，则a的值是（ ）A. 2B. 12C. 0D. −29．已知x−1x=3，则x2+1x2的值是（ ）A. 9B. 7C. 11D. 不能确定10．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上.已知a+b=10，ab=24,则图中阴影部分的面积为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．因式分解：x2y+2xy=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .12．定义运算★为：若ab=N（其中：a>0，a≠1，以下同），则a★N=b.如23=8，则2★8=3.设a★m=x，a★n=y，则a★(mn)=_ _ _ _ _ _ .13．若一个长方形的长增加4 cm，宽减少1 cm，面积保持不变；长减少2 cm，宽增加1 cm，面积仍保持不变，则这个长方形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .14．学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下：第1次操作：把多项式a−2b与a−b的平方差的结果记为M1；第2次操作：把多项式a−3b与a−2b的平方差的结果记为M2；第3次操作：M3=M1+M2；第4次操作：把多项式a−4b与a−3b的平方差的结果记为M4；….以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和.（1） 当a=1，b=−1时，M1+M2+M3+⋯+M9=_ _ _ _ ；（2） M2 026+M2 027= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算（1） (−2y3)2+(−4y2)3−(−2y)2⋅(−3y2)2;（2） (x−2y)(x+2y)−x(x−y−2).16．因式分解：（1） 2ax2−18a3；（2） y2−12y+116；（3） 6x2−7x−5；（4） (x2−5)2−8(5−x2)+16.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．先化简，再求值：(x−y)(x2+xy+y2)−(x+y)(x2−y2)，其中x=15,y=5.18．（1） 已知2x+5y−3=0，求4x⋅32y的值；（2） 若多项式ax2+bx+1与2x2−3x+1的积不含x3项和x项，求a和b的值.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知(x+y)2=4,(x−y)2=3,试求：（1） x2+y2的值;（2） xy的值.20．分解因式x2+ax+b时，甲看错了a，分解的结果是(x+6)(x−1),乙看错了b,分解的结果是(x−2)(x+1),请求出x2+ax+b分解因式的正确结果.六、（本题满分12分）21．阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m,n的值.解：因为m2−2mn+2n2−4n+4=0，所以(m2−2mn+n2)+(n2−4n+4)=0.所以(m−n)2+(n−2)2=0.所以(m−n)2=0，(n−2)2=0.所以n=2，m=2.根据上述材料，探究下面的问题：（1） 若a2+b2−6a+9=0，则a=_ _ _ _ ，b=_ _ _ _ ;（2） 已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，求xy的值;（3） 已知三角形ABC的三边长a,b,c都是正整数,且b=4，a，c满足a2−8a+c2−10c+41=0，求三角形ABC的周长.七、（本题满分12分）22．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，⋯ .（1） 请根据上述式子中的规律推测出264的个位数字是多少；（2） 根据上面的结论，结合计算，求(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的个位数字.八、（本题满分14分）23．如图①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形均分成四个小长方形，然后拼成一个正方形（如图②）.（1） 求图②中阴影部分的面积;（2） 观察图②，请你直接写出(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系式;（3） 根据（2）中的结论，若x+y=6，xy=2.75，求x−y的值;（4） 有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2，试画出一个几何图形，使它的面积能用(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2来表示.第8章 拔尖检测答案限时：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.1．化简(−x3)2的结果是 （ ）A. −x6B. −x5C. x6D. x5【答案】C2．下列运算正确的是（ ）A. a2+a2=a4B. a(a+1)=a2+1C. a2⋅a4=a6D. (a−1)2=a2−1【答案】C3．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.000 000 7 mm2.将0.000 000 7用科学记数法表示为（ ）A. 0.7×10−7B. 0.7×10−6C. 7×10−7D. 7×10−6【答案】C4．若36x2−mxy+49y2是完全平方式，则m的值是（ ）A. 1 764B. 42C. 84D. ±84【答案】D【点拨】36x2−mxy+49y2=(±6x)2−mxy+(±7y)2,所以m=±84,故选D.本题的易错之处在于中间项前有“-”号，误认为单项式的符号为负，从而漏掉一个解.5．观察图①中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图②所示运算中，可得m+n是（ ）A. −10B. 3C. −3D. 10【答案】C6．把多项式ax2−4ax+4a分解因式，结果正确的是（ ）A. a(x−2)2B. a(x+2)2C. a(x−4)2D. a(x+2)(x−2)【答案】A7．(−25)2 026×(−52)2 027的计算结果是（ ）A. 25B. −25C. 52D. −52【答案】D8．若关于x的多项式(x2+ax)(x−2)的展开式中不含x2项，则a的值是（ ）A. 2B. 12C. 0D. −2【答案】A【点拨】(x2+ax)(x−2)=x3−2x2+ax2−2ax=x3+(a−2)x2−2ax.因为该多项式的展开式中不含x2项，所以a−2=0.所以a的值是2.9．已知x−1x=3，则x2+1x2的值是（ ）A. 9B. 7C. 11D. 不能确定【答案】C【点拨】把x−1x=3两边同时平方，得x2+1x2−2=9.移项，得x2+1x2=11.故选C.10．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上.已知a+b=10，ab=24,则图中阴影部分的面积为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B【点拨】因为正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，所以易得S阴影=a2+b2−12a2−12(a+b)b=12a2−12ab+12b2 =12(a2−ab+b2) =12(a2+2ab+b2−3ab) =12[(a+b)2−3ab].将a+b=10，ab=24代入，得S阴影=12×(102−3×24)=14.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．因式分解：x2y+2xy=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】xy(x+2) 12．定义运算★为：若ab=N（其中：a>0，a≠1，以下同），则a★N=b.如23=8，则2★8=3.设a★m=x，a★n=y，则a★(mn)=_ _ _ _ _ _ .【答案】x+y 13．若一个长方形的长增加4 cm，宽减少1 cm，面积保持不变；长减少2 cm，宽增加1 cm，面积仍保持不变，则这个长方形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】24 cm2 【点拨】设长方形原来的长为a cm，宽为b cm.根据题意，得(a+4)(b−1)=ab,(a−2)(b+1)=ab,解得a=8,b=3.所以这个长方形的面积为8×3=24(cm2).14．学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下：第1次操作：把多项式a−2b与a−b的平方差的结果记为M1；第2次操作：把多项式a−3b与a−2b的平方差的结果记为M2；第3次操作：M3=M1+M2；第4次操作：把多项式a−4b与a−3b的平方差的结果记为M4；….以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和.（1） 当a=1，b=−1时，M1+M2+M3+⋯+M9=_ _ _ _ ；（2） M2 026+M2 027= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】（1） 120（2） −4ab+5 408b2【解析】（1） 【点拨】因为M1=(a−2b)2−(a−b)2，M2=(a−3b)2−(a−2b)2，所以M3=M1+M2=(a−2b)2−(a−b)2+(a−3b)2−(a−2b)2=(a−3b)2−(a−b)2.因为M4=(a−4b)2−(a−3b)2，M5=(a−5b)2−(a−4b)2，所以M6=M4+M5=(a−4b)2−(a−3b)2+(a−5b)2−(a−4b)2=(a−5b)2−(a−3b)2.因为M7=(a−6b)2−(a−5b)2，M8=(a−7b)2−(a−6b)2，所以M9=M7+M8=(a−6b)2−(a−5b)2+(a−7b)2−(a−6b)2=(a−7b)2−(a−5b)2，所以M1+M2+M3+⋯+M9=2M3+2M6+2M9 =2(M3+M6+M9) =2[(a−3b)2−(a−b)2+(a−5b)2−(a−3b)2+(a−7b)2−(a−5b)2] =2[(a−7b)2−(a−b)2] =2[(a−7b+a−b)(a−7b−a+b)] =2[−6b(2a−8b)] =−24b(a−4b).所以当a=1，b=−1时，原式=−24b(a−4b)=−24×(−1)×(1+4)=120.（2） 因为M1=(a−2b)2−(a−b)2=(a−2b+a−b)(a−2b−a+b)=−2ab+3b2，M2=(a−3b)2−(a−2b)2=−2ab+5b2，同理可得，M4=(a−4b)2−(a−3b)2=−2ab+7b2，M5=(a−5b)2−(a−4b)2=−2ab+9b2，M7=(a−6b)2−(a−5b)2=−2ab+11b2，M8=(a−7b)2−(a−6b)2=−2ab+13b2，⋯ ，因为2 026÷3=675⋯⋯1，2 027÷3=675⋯⋯2,所以M2 026=−2ab+(4×675+3)b2=−2ab+2 703b2，M2 027=−2ab+(4×675+5)b2=−2ab+2 705b2，所以M2 026+M2 027=−2ab+2 703b2+(−2ab+2 705b2)=−4ab+5 408b2.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算（1） (−2y3)2+(−4y2)3−(−2y)2⋅(−3y2)2;（2） (x−2y)(x+2y)−x(x−y−2).【答案】（1） 【解】原式=4y6−64y6−4y2⋅9y4=4y6−64y6−36y6 =−96y6.（2） 原式=x2−4y2−x2+xy+2x=−4y2+xy+2x.16．因式分解：（1） 2ax2−18a3；（2） y2−12y+116；（3） 6x2−7x−5；（4） (x2−5)2−8(5−x2)+16.【答案】（1） 【解】2ax2−18a3=2a(x2−9a2) =2a(x+3a)(x−3a).（2） y2−12y+116=y2−2×y×14+(14)​2 =(y−14)​2.（3） 6x2−7x−5=(2x+1)(3x−5).（4） (x2−5)2−8(5−x2)+16=(x2−5)2+8(x2−5)+16 =(x2−5+4)2 =(x2−1)2 =(x+1)2(x−1)2.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．先化简，再求值：(x−y)(x2+xy+y2)−(x+y)(x2−y2)，其中x=15,y=5.【解】(x−y)(x2+xy+y2)−(x+y)(x2−y2)=(x−y)(x2+xy+y2)−(x+y)(x+y)(x−y) =(x−y)[x2+xy+y2−(x+y)2] =(x−y)(−xy) =−x2y+xy2，当x=15，y=5时，原式=−(15)2×5+15×52=245.18．（1） 已知2x+5y−3=0，求4x⋅32y的值；（2） 若多项式ax2+bx+1与2x2−3x+1的积不含x3项和x项，求a和b的值.【答案】（1） 【解】因为2x+5y−3=0，所以2x+5y=3.所以4x⋅32y=22x⋅25y=22x+5y=23=8.（2） (ax2+bx+1)(2x2−3x+1)=2ax4−3ax3+ax2+2bx3−3bx2+bx+2x2−3x+1 =2ax4+(2b−3a)x3+(a−3b+2)x2+(b−3)x+1.因为多项式ax2+bx+1与2x2−3x+1的积不含x3项和x项，所以2b−3a=0,b−3=0,解得a=2,b=3.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知(x+y)2=4,(x−y)2=3,试求：（1） x2+y2的值;（2） xy的值.【答案】19．【解】因为(x+y)2=4,所以x2+y2+2xy=4.①因为(x−y)2=3,所以x2+y2−2xy=3.②（1） ①+②,得2x2+2y2=7,所以x2+y2=3.5.（2） ①−②,得4xy=1,所以xy=0.25.20．分解因式x2+ax+b时，甲看错了a，分解的结果是(x+6)(x−1),乙看错了b,分解的结果是(x−2)(x+1),请求出x2+ax+b分解因式的正确结果.【解】(x+6)(x−1)=x2+5x−6,因为甲看错了a,所以b=−6.(x−2)(x+1)=x2−x−2,因为乙看错了b,所以a=−1.所以x2+ax+b=x2−x−6.所以分解因式的正确结果为x2−x−6=(x−3)(x+2).六、（本题满分12分）21．阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m,n的值.解：因为m2−2mn+2n2−4n+4=0，所以(m2−2mn+n2)+(n2−4n+4)=0.所以(m−n)2+(n−2)2=0.所以(m−n)2=0，(n−2)2=0.所以n=2，m=2.根据上述材料，探究下面的问题：（1） 若a2+b2−6a+9=0，则a=_ _ _ _ ，b=_ _ _ _ ;（2） 已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，求xy的值;（3） 已知三角形ABC的三边长a,b,c都是正整数,且b=4，a，c满足a2−8a+c2−10c+41=0，求三角形ABC的周长.【答案】（1） 3；0（2） 【解】由x2+2y2−2xy−8y+16=0,得(x−y)2+(y−4)2=0，所以x−y=0，y−4=0.所以x=y=4.所以xy=16.（3） 因为a2−8a+c2−10c+41=0，所以a2−8a+16+c2−10c+25=0.所以(a−4)2+(c−5)2=0.所以a−4=0，c−5=0.所以a=4，c=5.又因为b=4，所以三角形ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13.【解析】（1） 【点拨】由a2+b2−6a+9=0，得(a−3)2+b2=0.因为(a−3)2≥0，b2≥0，所以a−3=0，b=0.所以a=3.七、（本题满分12分）22．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，⋯ .（1） 请根据上述式子中的规律推测出264的个位数字是多少；（2） 根据上面的结论，结合计算，求(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的个位数字.【答案】（1） 【解】因为21的个位数字是2，22的个位数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，25的个位数字是2，⋯ ，依次循环，64÷4=16,所以264的个位数字与24的个位数字相同.所以264的个位数字是6.（2） (2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(28−1)(28+1)(216+1)(232+1) =(216−1)(216+1)(232+1) =(232−1)(232+1) =264−1.由（1）知264的个位数字是6，所以264−1的个位数字是5.所以(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的个位数字是5.八、（本题满分14分）23．如图①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形均分成四个小长方形，然后拼成一个正方形（如图②）.（1） 求图②中阴影部分的面积;（2） 观察图②，请你直接写出(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系式;（3） 根据（2）中的结论，若x+y=6，xy=2.75，求x−y的值;（4） 有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2，试画出一个几何图形，使它的面积能用(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2来表示.【答案】（1） 【解】阴影部分的面积为(m+n)2−4mn=m2+2mn+n2−4mn=m2−2mn+n2=(m−n)2.（2） (m+n)2=(m−n)2+4mn.（3） 由（2）知(x−y)2=(x+y)2−4xy=62−4×2.75=25，所以x−y=±5.（4） 如图.（答案不唯一，合理即可）【解析】（2） 【点拨】整个大正方形的面积可以用两种不同的方法计算:方法一：大正方形的边长为(m+n),所以面积为(m+n)2;方法二：大正方形的面积等于四个长为m，宽为n的长方形的面积和加上中间一个小正方形的面积，即4mn+(m−n)2.两种方法计算的面积相等，所以三者之间的关系为(m+n)2=(m−n)2+4mn.