2026七年级数学下册第9章分式拔尖检测试卷（附答案沪科版）

这是一份2026七年级数学下册第9章分式拔尖检测试卷（附答案沪科版），共12页。
第9章 拔尖检测 限时：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．要使分式x−2x−2的值为0，则x应满足（ ） A. x=2 B. x=−2 C. x≠±2 D. x=±2 2．下列各式：3a，a+b7，x2+12y2，−m−2，m2+1m，1x+1，x8π中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．下列各式中，计算结果正确的是（ ） A. 3xx2⋅x3x=x B. 8a2b2÷−3a4b2=−6a2b C. 2a2y22=4a4y4 D. −3m10xy⋅6m=−120xy 4．分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是（ ） A. x2−y2 B. x2+xy C. x+yy−x D. xx+yx−y 5．分式方程1x=2x+1的解是（ ） A. x=1 B. x=−2 C. x=12 D. x=2 6．如果把2xyx−y中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的13 D. 扩大为原来的9倍 7．已知2a+1b=1a+b≠0，则a+aba+b=（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 3 8．《姑苏繁华图》是清代宫廷画家徐扬的作品，全长1 225 cm，描绘了当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.已知局部临摹画装裱前是一个长为2.6 m，宽为0.6 m的长方形，装裱后的长与宽的比是11:3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x m，根据题意可列方程为（ ） A. 0.6−x2.6−x=311 B. 0.6−2x2.6−2x=311 C. 0.6+x2.6+x=311 D. 0.6+2x2.6+2x=311 9．已知a>1，P=aa−1，Q=a−1a，R=aa+1，则P，Q，R的大小关系是（ ） A. R>P>Q B. P>Q>R C. R>Q>P D. P>R>Q 10．若关于x的不等式组3x−12≤x+2,x≤3x−2a至少有3个整数解，且关于y的分式方程y−ay−1−3y−51−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算：xx−2y−2yx−2y=_ _ _ _ . 12．若a2−3a+1+b2+2b+1=0，则a2+1a2−b=_ _ _ _ . 13．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 14．已知m≠n，对于m+n，1m+1n，m2+n2等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫作完美对称式.若关于x，y的分式yx−mxy是完美对称式. （1） m= _ _ _ _ _ _ ; （2） 若完美对称式yx−mxy满足yx−mxy=xy+2，且x>y>0，则y=_ _ _ _ _ _ _ _ .（用含x 的代数式表示） 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．先化简，再求值：2a+1a−1÷a2+2a+1a，其中a=−2． 16．解分式方程：xx−3−2=53−x. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17． （1） 已知ax−by=1b+y≠0，求x; （2） 已知k=y−mx+mk≠0，求x. 18．某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多处理10 GB数据，模型B处理300 GB数据的时间与模型A处理200 GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据（备注：GB为数据的存储单位）. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．下面是小颖同学进行分式化简的过程. x−1x+1−x2−1x2−2x+1÷xx−1 =[x−1x+1−x+1x−1x−12]÷xx−1…………第一步 =x−1x+1−x+1x−1÷xx−1…………第二步 =x−12−x+12x+1x−1÷xx−1…………第三步 =x2−2x+1−x2+2x+1x+1x−1⋅x−1x…………第四步 =2xx+1…………第五步 =2x2+x.…………第六步 （1） 以上化简步骤中第一步将原式中的x2−1x2−2x+1变形为x+1x−1x−12属于_ _ _ _ ; A. 整式乘法 B. 因式分解 （2） 以上化简步骤中，第_ _ _ _ 步是进行分式的通分，其依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （3） 第_ _ _ _ 步开始出现错误，出现错误的具体原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （4） 请直接写出该分式化简后的正确结果. 20．观察下列等式： 第1个等式：a1=1+11×2=32；第2个等式：a2=1+12×3=76； 第3个等式：a3=1+13×4=1312；第4个等式：a4=1+14×5=2120；…. 根据以上规律解答下列问题： （1） 写出第5个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，写出第n个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 由分式的基本性质可知1n−1n+1=1nn+1，试求a1+a2+a3+⋯+a2 025−2 026的值. 六、（本题满分12分） 21．（12分）阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题. 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一.所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. 例：已知xx2+1=14，求代数式x2+1x2 的值. 解：因为xx2+1=14，所以x2+1x=4，即x2x+1x=4. 所以x+1x=4.所以x2+1x2=x+1x2−2=16−2=14. 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题. 例：已知2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z 的值. 解：令2x=3y=4z=kk≠0，则x=k2，y=k3，z=k4，所以xy+z=12k13k+14k=12712=67. 任务： （1） 已知xx2+x−1=15，求x−1x的值; （2） 已知a2=b4=c5abc≠0，求3b+4c2a的值. 七、（本题满分12分） 22．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A，B两种型号的机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元. （1） 求A，B两种型号的机器人的单价； （2） 该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案. 八、（本题满分14分） 23．若k>0，对k作变化，得到k1=11k+1；再对k1作变化，得到k2=11k1+1；再对k2作变化，得到k3=11k2+1；依次变化下去，⋯ ，kn=11kn−1+1(n为整数且n≥2).在此变化过程中，记dn=1kkn−k，Mn=11−d1+11−d2+⋯+11−dn. （1） 当n=3时，k3=17，求此时的k值； （2） 填空：化简并猜想kn=_ _ _ _ _ _ _ _ ，dn=_ _ _ _ _ _ _ _ ，11−dn=_ _ _ _ _ _ _ _ ；（用只含n 和k 的代数式表示） （3） 当M5M2为整数时，求此时的k值. 第9章 拔尖检测答案 限时：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．要使分式x−2x−2的值为0，则x应满足（ ） A. x=2 B. x=−2 C. x≠±2 D. x=±2 【答案】B 2．下列各式：3a，a+b7，x2+12y2，−m−2，m2+1m，1x+1，x8π中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 3．下列各式中，计算结果正确的是（ ） A. 3xx2⋅x3x=x B. 8a2b2÷−3a4b2=−6a2b C. 2a2y22=4a4y4 D. −3m10xy⋅6m=−120xy 【答案】C 4．分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是（ ） A. x2−y2 B. x2+xy C. x+yy−x D. xx+yx−y 【答案】D 5．分式方程1x=2x+1的解是（ ） A. x=1 B. x=−2 C. x=12 D. x=2 【答案】A 6．如果把2xyx−y中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的13 D. 扩大为原来的9倍 【答案】B 7．已知2a+1b=1a+b≠0，则a+aba+b=（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 8．《姑苏繁华图》是清代宫廷画家徐扬的作品，全长1 225 cm，描绘了当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.已知局部临摹画装裱前是一个长为2.6 m，宽为0.6 m的长方形，装裱后的长与宽的比是11:3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x m，根据题意可列方程为（ ） A. 0.6−x2.6−x=311 B. 0.6−2x2.6−2x=311 C. 0.6+x2.6+x=311 D. 0.6+2x2.6+2x=311 【答案】D 9．已知a>1，P=aa−1，Q=a−1a，R=aa+1，则P，Q，R的大小关系是（ ） A. R>P>Q B. P>Q>R C. R>Q>P D. P>R>Q 【答案】D 【点拨】由题意得P>1，Q0，则y=_ _ _ _ _ _ _ _ .（用含x 的代数式表示） 【答案】（1） −1 （2） xx+1 【解析】 （1） 【点拨】由完美对称式的定义,得yx−mxy=xy−myx， 整理，得y2−mx2=x2−my2. 所以−m=1，解得m=−1. （2） 【点拨】将m=−1代入yx−mxy=xy+2，得 yx+xy=xy+2，则y2+x2xy=xy+2. 所以x2+y2=xy2+2xy. 所以x2−2xy+y2=xy2. 所以x−y2=xy2. 因为x>y>0， 所以x−y=xy，所以y=xx+1. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．先化简，再求值：2a+1a−1÷a2+2a+1a，其中a=−2． 【解】2a+1a−1÷a2+2a+1a =2a+1−aa⋅aa2+2a+1 =a+1a⋅aa+12 =1a+1. 当a=−2时，原式=1−2+1=−1. 16．解分式方程：xx−3−2=53−x. 【解】方程两边都乘以x−3，得x−2x−3=−5， 去括号，得x−2x+6=−5， 移项、合并同类项，得−x=−11， 系数化为1，得x=11. 检验：当x=11时，x−3=11−3=8≠0， 所以x=11是该分式方程的解. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17． （1） 已知ax−by=1b+y≠0，求x; （2） 已知k=y−mx+mk≠0，求x. 【答案】 （1） 【解】移项，得ax=1+by， 整理，得ax=y+by，即y+bx=ay. 因为y+b≠0，所以x=ayy+b. （2） 由已知得kx+km=y−m， 所以kx=y−m−km. 因为k≠0，所以x=y−m−kmk. 18．某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多处理10 GB数据，模型B处理300 GB数据的时间与模型A处理200 GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据（备注：GB为数据的存储单位）. 【解】设模型A每小时能处理x GB数据，则模型B每小时能处理x+10 GB数据， 根据题意，得300x+10=200x，解得x=20， 经检验,x=20是原方程的解，且符合题意. 答：模型A每小时能处理20 GB数据. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．下面是小颖同学进行分式化简的过程. x−1x+1−x2−1x2−2x+1÷xx−1 =[x−1x+1−x+1x−1x−12]÷xx−1…………第一步 =x−1x+1−x+1x−1÷xx−1…………第二步 =x−12−x+12x+1x−1÷xx−1…………第三步 =x2−2x+1−x2+2x+1x+1x−1⋅x−1x…………第四步 =2xx+1…………第五步 =2x2+x.…………第六步 （1） 以上化简步骤中第一步将原式中的x2−1x2−2x+1变形为x+1x−1x−12属于_ _ _ _ ; A. 整式乘法 B. 因式分解 （2） 以上化简步骤中，第_ _ _ _ 步是进行分式的通分，其依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （3） 第_ _ _ _ 步开始出现错误，出现错误的具体原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （4） 请直接写出该分式化简后的正确结果. 【答案】（1） B （2） 三；分式的基本性质 （3） 四；括号前面是负号，去括号时，后两项没有变号 （4） 【解】−4x+1. 20．观察下列等式： 第1个等式：a1=1+11×2=32；第2个等式：a2=1+12×3=76； 第3个等式：a3=1+13×4=1312；第4个等式：a4=1+14×5=2120；…. 根据以上规律解答下列问题： （1） 写出第5个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，写出第n个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 由分式的基本性质可知1n−1n+1=1nn+1，试求a1+a2+a3+⋯+a2 025−2 026的值. 【答案】（1） a5=1+15×6=3130；an=1+1nn+1=nn+1+1nn+1 （2） 【解】a1+a2+a3+⋯+a2 025−2 026 =1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12 025×2 026−2 026 =1−12+12−13+13−14+⋯+12 025−12 026−1 =−12 026. 六、（本题满分12分） 21．（12分）阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题. 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一.所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. 例：已知xx2+1=14，求代数式x2+1x2 的值. 解：因为xx2+1=14，所以x2+1x=4，即x2x+1x=4. 所以x+1x=4.所以x2+1x2=x+1x2−2=16−2=14. 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题. 例：已知2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z 的值. 解：令2x=3y=4z=kk≠0，则x=k2，y=k3，z=k4，所以xy+z=12k13k+14k=12712=67. 任务： （1） 已知xx2+x−1=15，求x−1x的值; （2） 已知a2=b4=c5abc≠0，求3b+4c2a的值. 【答案】 （1） 【解】因为xx2+x−1=15， 所以x2+x−1x=5. 所以x2x+xx−1x=5，即x+1−1x=5. 所以x−1x=4. （2） 设a2=b4=c5=kk≠0，则a=2k，b=4k，c=5k，所以3b+4c2a=3×4k+4×5k2×2k=8. 七、（本题满分12分） 22．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A，B两种型号的机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元. （1） 求A，B两种型号的机器人的单价； （2） 该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案. 【答案】 （1） 【解】设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为x−3万元， 根据题意，得90x=60x−3，解得x=9， 经检验，x=9是原分式方程的根，且符合题意. 所以x−3=6. 所以A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元. （2） 设配备A型机器人y台，则配备B型机器人10−y台， 根据题意，得9y+610−y≤70，解得y≤103. 因为要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数， 所以y的取值为1或2或3. 所以共有3种配备方案： 方案一：配备A型机器人1台，配备B型机器人9台； 方案二：配备A型机器人2台，配备B型机器人8台； 方案三：配备A型机器人3台，配备B型机器人7台. 八、（本题满分14分） 23．若k>0，对k作变化，得到k1=11k+1；再对k1作变化，得到k2=11k1+1；再对k2作变化，得到k3=11k2+1；依次变化下去，⋯ ，kn=11kn−1+1(n为整数且n≥2).在此变化过程中，记dn=1kkn−k，Mn=11−d1+11−d2+⋯+11−dn. （1） 当n=3时，k3=17，求此时的k值； （2） 填空：化简并猜想kn=_ _ _ _ _ _ _ _ ，dn=_ _ _ _ _ _ _ _ ，11−dn=_ _ _ _ _ _ _ _ ；（用只含n 和k 的代数式表示） （3） 当M5M2为整数时，求此时的k值. 【答案】 （1） 【解】k1=11k+1=kk+1，k2=11k1+1=k1k1+1，将k1=kk+1代入可得k2=kk+1kk+1+1=k2k+1. k3=11k2+1=k2k2+1， 把k2=k2k+1代入可得k3=k2k+1k2k+1+1=k3k+1. 因为k3=17，所以k3k+1=17，解得k=14. （2） knk+1；nknk+1；nk+1 （3） 因为11−dn=nk+1， 所以M2=11−d1+11−d2=k+1+2k+1=3k+2，M5=11−d1+11−d2+11−d3+11−d4+11−d5=(k+1)+2k+1+3k+1+(4k+1)+5k+1=15k+5. 所以M5M2=15k+53k+2=53k+2−53k+2=5−53k+2. 因为M5M2为整数，所以3k+2能整除5，即3k+2=±1或3k+2=±5. 所以k=−13或k=−1或k=1或k=−73. 因为k>0，所以k=1. 【解析】 （2） 【点拨】k1=11k+1=kk+1，k2=11k1+1=k2k+1，k3=11k2+1=k3k+1，⋯ ，kn=knk+1，所以dn=1kkn−k=1kknk+1−k=1kk−knk+1nk+1=1kk−nk2−knk+1=1k−nk2nk+1. 因为k>0，n为整数且n≥2,所以dn=nknk+1.将dn=nknk+1代入11−dn,得11−dn=11−nknk+1=nk+1nk+1−nk=nk+1.