2025-2026学年七年级数学下册 第八章 整式乘法与因式分解 单元检测拔尖卷 沪科版（含解析）

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2025-2026学年七年级数学下册 第八章 整式乘法与因式分解 单元检测拔尖卷 沪科版一、单项选择题（每小题5分，满分40分）1．下列计算正确的是（　　）A．a2⋅a3=a6B．(a2)3=a5C．(ab)2=a2b2D．(a+b)2=a2+b22．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为0.00000000034m．数据0.00000000034用科学记数法表示为（　　）A．0.34×10−8B．34×10−9C．3.4×10−9D．3.4×10−103．下列选项中，因式分解正确的是（　　）A．a2−4ab+4b2=(a+2b)2B．a2−a=(a−2)2C．a2+2a+1=(a+1)2D．−2a2+6a=−2(a2+3a)4．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式x3−4x因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　）A．101214B．101410C．141212D．1214165．下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　）A．(4p+q)(4q−p)B．(m+1)(−m−1)C．(−a+b)(a−b)D．(x+2y)(−x+2y)6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a>b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（　　）A．a+b=9B．a−b=3C．a2+b2=45D．ab=367．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，当n−m=3时，S1−S2的值为（　　）A．6B．15C．18D．308．若3a=4，4b=5，5c=9，则abc的值是（　　）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题5分，满分20分）9．因式分解(p−5)(p+1)+9=　 　．10．若b为整数，且x+1是 x2+bx+3的一个因式，则b的值为　 　．11．若a−b=3，ab=2，则a3b−2a2b2+ab3的值为　 　．12．在把x，y的值代入(x+y)(x−3y)−my(nx−y)（m，n均为常数）计算时，小明把y的值看错了，其结果等于9；小红把正确的x，y的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把y的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，m+n=　 　．三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）13．（8分）先化简，再求值：(3x+y)2+y(x−3y)−(3x−y)(3x+y)，其中x=−2，y=3．14．（10分）定义：规定i的平方等于−1，即i2=−1，则i叫做虚数单位，形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数1−2i的实部是1，虚部是−2．（1）复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似．如：①(2+i)+(3−4i)=(2+3)+(1−4)i=5−3i；②(3+i)i=3i+i2=3i−1；填空：①(1−2i)+(2+i)=　 　；②(2+i)(3−i)=　 　；（2）若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：1+2i的共轭复数为1−2i．若a+bi是(2+i)(3−i)的共轭复数，则a=　 　，b=　 　，(b−a)2=　 　；（3）已知(m+i)(n+i)=2−3i，其中m,n为实数，求m2+n2的值．15．（10分）（1）计算：(x+2y)(y−2)+(2y−4x)(y+1)；（2）分解因式：(a2+4)2−16a2．16．（10分）已知a和b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义a∗b=a2+2b，例如：4∗5=42+2×5=26，请根据符号的意义解决下列问题：（1）2∗3的值为　 　；（2）若x∗(kx+2)是一个完全平方式，则k=　 　；（3）已知x−y=1，且(x−3y)∗(3xy−4y2)=13，求xy的值．17．（10分）在学习完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨．（1）若ab=16，a+b=10，求a2+b2的值；（2）阅读以下解法，并解决相应问题．“若y满足(40−y)(y−20)=50，求(40−y)2+(y−20)2的值”．解：设40−y=a，y−20=b，则a+b=(40−y)+(y−20)=20，ab=(40−y)(y−20)=50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足(30−x)(x−22)=6，则(30−x)2+(x−22)2= ；②若x满足(2x+3)2+(2x−1)2=76，求2(2x+3)⋅(2x−1)的值；③如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为24，求图中阴影部分的面积．18．（12分）阅读材料：已知多项式3x3−x2+n有一个因式是x+1，求n的值．解法：设3x3−x2+n=A⋅(x+1)（A为整式）．由于上式为恒等式，为方便计算取x=−1，则3×(−1)3−(−1)2+n=0，解得n=4．根据上述材料，解决下列问题：（1）已知多项式x4+mx2+nx−16有因式(x−1)和(x−2)，则m=　 　，n=　 　．（2）已知x2+2x+1是多项式x3−x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解： A：a2⋅a3=a5，原计算错误； B：(a2)3=a6，原计算错误； C：(ab)2=a2b2，计算正确； D：(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误；故答案为：D.【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.2．【答案】D【解析】【解答】解： 0.000000000034=3.4×10−10.故选： B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1⩽ ∣a∣0,∴a+b=9,a−b=3,解得a=6，b=3，∴ab=6×3=18,a2+b2=36+9=45,因此选项D符合题意，故选： D.【分析】用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：图①中阴影部分面积S1=m(n-6)+(m-6)(6-5)=mn-6m+m-6=mn-5m-6，图②中阴影部分面积S2=n(m-6)+(n-6)(6-5)=mn-6n+n-6=mn-5n-6，∴S1−S2=mn−5m−6−mn−5n−6=5n−m,∴当n-m=3时， S1−S2的值为5×3=15.故选： B.【分析】利用图形得出 S1=mn−5m−6,S2=mn−5n−6,作差得到 S1−S2=5n−m,再代入计算求值即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵3a=4，4b=5，5c=9，∴9=5c=4bc=4bc=(3a)bc=3abc=32，∴abc=2，故答案为：B.【分析】根据幂的乘方运算法则解答即可.9．【答案】(p−2)2【解析】【解答】解：(p−5)(p+1)+9=p2−4p+4=(p−2)2，故答案为：(p−2)2.【分析】先根据多项式的乘法法则将原式展开，再通过合并同类项化简式子，最后利用完全平方公式进行因式分解.10．【答案】4【解析】【解答】解：设另一个因式为x+m，则(x+1)(x+m)=x2+mx+x+m=x2+m+1x+m=x2+bx+3,那么m=3，b=m+1=3+1=4，故答案为：4.【分析】设另一个因式为x+m，计算(x+1)(x+m)后，根据对应系数相等即可求得答案.11．【答案】18【解析】【解答】解：a3b−2a2b2+ab3=ab(a2−2ab+b2)=ab(a−b)2=2×32=18，故答案为：18.【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式，再整体代入计算即可.12．【答案】73【解析】【解答】(x+y)(x-3y)-my(nx-y)=x2−3xy+xy−3y2−mnxy+my2=x2+−2−mnxy+−3+my2,因为不论y为何值，结果都是9，所以-2-mn=0，-3+m=0，所以m=3，n=−23.∴m+n=3+(−23)=73，故答案为：73.【分析】先展开合并，根据题意得到含有y的项的系数为0求出x和y的值，然后代入计算解答即可.13．【答案】解：(3x+y)2+y(x−3y)−(3x−y)(3x+y)=9x2+6xy+y2+xy−3y2−9x2+y2=(9x2−9x2)+(6xy+xy)+(y2−3y2+y2)=7xy−y2；当x=−2，y=3时，原式=7xy−y2=7×(−2)×3−32=−42−9=−51．【解析】【分析】先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则以及平方差公式对原式进行化简，再将x、y的值代入化简后的式子求值.14．【答案】（1）3−i；7+i（2）7；-1；64（3）解：∵(m+i)(n+i)=mn+mi+ni+i2=(mn−1)+(m+n)i，又(m+i)(n+i)=2−3i，∴mn−1=2，m+n=−3，∴mn=3，∴m2+n2=(m+n)2−2mn=(−3)2−2×3=3．【解析】【解答】解：（1）①(1−2i)+(2+i)=1−2i+2+i=3−i；②(2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i．故答案为：3−i，7+i；(2)∵(2+i)(3−i)=7+i，a+bi是(2+i)(3−i)的共轭复数，∴a+bi=7−i，即a=7，b=−1，∴(b−a)2=(−1−7)2=64．故答案为：7；-1；64；【分析】（1）根据复数加减法和乘法运算则逐一计算解答即可；（2）先计算出(2+i)(3-i)的结果，再根据共轭复数的定义求出a、b的值，最后代入计算即可；（3）先将((m+i)(n+i)展开，根据复数相等的条件得到 mn与m+n的值，再运用完全平方公式的变形解答即可.15．【答案】（1）解：(x+2y)(y−2)+(2y−4x)(y+1)=(xy−2x+2y2−4y)+(2y2+2y−4xy−4x)=xy−2x+2y2−4y+2y2+2y−4xy−4x=−6x−3xy+4y2−2y；（2）解：(a2+4)2−16a2=(a2+4)2−(4a)2=(a2−4a+4)(a2+4a+4)=(a−2)2(a+2)2．【解析】【分析】(1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项；(2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式.16．【答案】（1）10（2）±2（3）解：∵a∗b=a2+2b∴(x−3y)∗(3xy−4y2)=(x−3y)2+2(3xy−4y2)=x2−6xy+9y2+6xy−8y2=x2+y2=13，∵x−y=1，∴(x−y)2=x2+y2−2xy=13−2xy=1，∴xy=6．【解析】【解答】解：（1）∵a∗b=a2+2b，∴2∗3=22+2×3=4+6=10，故答案为：10；（2）∵a∗b=a2+2b∴x∗(kx+2)=x2+2(kx+2)=x2+2kx+4，∵x∗(kx+2)是一个完全平方式，∴x2+2kx+4=(x±2)2=x2±4x+4，∴2k=±4，∴k=±2，故答案为：±2；【分析】(1)根据题目中给出的定义代入计算即可；(2)根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可；(3)先根据题目中给出的定义得到 x2+y2=13,再利用完全平方公式得出 x−y2=x2+y2−2xy=13-2xy=1，代入求解即可.17．【答案】（1）解：∵ab=16，a+b=10，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×16=100−32=68；（2）解：①52；②设s=2x+3，t=2x−1，∴s2+t2=76，s−t=2x+3−(2x−1)=2x+3−2x+1=4，∴−2st=(s−t)2−(s2+t2)=42−76=16−76=−60，∴2st=60，∴2(2x+3)⋅(2x−1)=60；③由题意得S阴影=(8−x)2+(4−x)2，设8−x=a，4−x=b，则S阴影=a2+b2，∴a−b=8−x−(4−x)=8−x−4+x=4，∵(8−x)⋅(4−x)=ab=24，∴a2+b2=(a−b)2+2ab=64，∴S阴影=a2+b2=64．【解析】【解答】解：（2）①设30−x=m,x−22=n，则mn=6，m+n=30−x+x−22=8，(30−x)2+(x−22)2=m2+n2=(m+n)2−2mn=82−2×6=52，故答案为：52；【分析】(1)根据已知条件和完全平方公式进行计算即可；(2)①先求出((30-x)+(x-22)，再利用完全平方公式求出答案即可；②设s=2x+3，t=2x-1，再求出 s2+t2,s−t，最后根据完全平方公式进行解答即可；③结合图形，求出CE和CF，最后根据正方形的面积公式求出答案即可.18．【答案】（1）−15；30（2）解：设x3−x2+ax+b=(x+p)(x2+2x+1)．∵(x+p)(x2+2x+1)=x3+(2+p)x2+(1+2p)x+p，∴2+p=−1,1+2p=a,p=b,解得p=−3,a=−5,b=−3,∴多项式x3−x2+ax+b=x3−x2−5x−3，∴x3−x2−5x−3=(x−3)(x2+2x+1)=(x−3)(x+1)2．【解析】【解答】解：（1）设x4+mx2+nx−16=A(x−1)(x−2)（A为整式），分别取x=1和x=2得1+m+n−16=0，16+4m+2n−16=0，解得：m=−15，n=30.故答案为：-15，30；【分析】（1）可根据已知材料中的方法，通过代入特殊值来求解m、n的值；（2）同样利用代入特殊值的方法求出a、b的值，再对多项式进行因式分解.