2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第07讲 二次根式的混合运算

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第07讲 二次根式的混合运算，共61页。学案主要包含了二次根式的加减运算，二次根式的乘除法运算，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，分母有理化，已知字母的值，化简求值，已知条件式，化简求值，二次根式的应用等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 二次根式的加减运算
典型例题二 二次根式的乘除法运算
典型例题三 二次根式的混合运算
典型例题四 比较二次根式的大小
典型例题五 分母有理化
典型例题六 已知字母的值，化简求值
典型例题七 已知条件式，化简求值
典型例题八 二次根式的应用
知识点01 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即时训练】
1．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·河北承德·一模）若，则__________．
知识02 二次根式的乘法
二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根.
推广：
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的结果是（ ）
A．B．6C．D．1
2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）填空：______．
知识点03 二次根式的除法
二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根.
【即时训练】
1．（2026·河南平顶山·二模）若，则的值为（ ）
A．B．C．5D．25
2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）计算结果是________．
知识点04 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·山西阳泉·模拟预测）计算的结果为______．
【典型例题一 二次根式的加减运算】
【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（25-26七年级下·河北保定·期中）计算：（ ）
A．B．8C．D．16
【例3】（25-26八年级上·四川南充·期中）计算：，结果是___．
【例4】（2026·安徽阜阳·二模）法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用，卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．则_______．
1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）计算：；
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【典型例题二 二次根式的乘除法运算】
【例1】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【例2】 （24-25八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【例3】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算：的值为______．
【例4】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算：
(1)；
(2)．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段检测）计算：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)．
(6)；
【典型例题三 二次根式的混合运算】
【例1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）计算×＋的结果是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30B．C．D．
【例3】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）计算的结果是________．
【例4】（2026八年级上·天津西青·模拟预测）计算：的结果等于______；的结果等于______．
1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)已知，求x的值．
2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【典型例题四 比较二次根式的大小】【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
【例2】（2025九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A．B．C．D．无法确定
【例3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”）
【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小（用“>”、“b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小．
解：，，
∵，∴，
参考上面例题的解法，解答下列问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较 与的大小．
【典型例题五 分母有理化】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A．B．分数的基本性质
C．D．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算“★”是，则__________．
【例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是______ ，的倒数是______ ，的绝对值是______ ．
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值．
3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
(1)求，的值；
(2)求的值．
【典型例题六 已知字母的值，化简求值】
【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A．2024B．2025C．2026D．
【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________
【例4】（25-26八年级下·河南濮阳·期中）我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出，利用三角形的三边求面积的公式（其中a，b，c为三角形的三边长）．已知三边长分别是2，3，4的三角形，这个三角形的面积是_______．
1．（24-25八年级下·浙江·期末）计算：
(1)．
(2)已知，，求下列代数式的值．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
【典型例题七 已知条件式，化简求值】
【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（ ）
A．2005B．2006C．2007D．2008
【例2】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知、为实数，且，求的值为（ ）
A．2B．3C．5D．13
【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，则______．
【例4】（24-25七年级下·吉林·期中）对于两个有理数a，b，定义一种新运算如下：，如：，那么____________．
1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
(1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；
(2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值．
2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读与思考
【阅读理解】
爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的：
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴．
【任务】
请你根据小聪的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：________；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：_________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【典型例题八 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A．B．C．D．12s
【例2】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【例3】（2025·吉林长春·三模）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是_______．
【例4】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
设（为正整数），当时，的值是________．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值；
(2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值．
2．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）有一个长方形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，那么最多能截出几个这样的木条？直接写出答案．
3．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．
(1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，
_________．
根据海伦公式可得_________．
(2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
(3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长．
1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级下·河北承德·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______．
7．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若，则的值为______．
8．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．

9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________
11．（25-26八年级下·全国·期末）计算：
(1)
(2)
12．（2026·河北石家庄·二模）计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚．
(1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________；
(2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数．
13．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，．把作为整体，得．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
14．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等．
15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小明同学每次回家时，总能看见张贴在电梯间的提示标语“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)已知小明家住20层，离地面的高度为60米，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留根号）；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量 E（单位：） 物体质量() 高度()，一串质量为 的钥匙经过 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：的能量就会对人体造成危害）
……第一步
……第二步
………………第三步
……………………第四步
典型示例
作差法
平方法
穿墙术
比较和的大小．
解：因为
所以
比较和的大小．
解：，
，
而28＞27，
所以
比较和的大小．
解：因为，
，
而，
则，
所以
任务完成
（1）请比较和的大小；
（2）请比较与的大小．
答案解析
知识点01 二次根式的加减
【即时训练】
1．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，被开方数不变．
【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，因此A计算错误；
B选项：，B计算正确；
C选项：5是有理数，与不是同类二次根式，不能合并，因此C计算错误；
D选项：，D计算错误．
2．（2026·河北承德·一模）若，则__________．
【答案】
【详解】解：，
．
知识02 二次根式的乘法
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的结果是（ ）
A．B．6C．D．1
【答案】C
【详解】解：．
2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）填空：______．
【答案】10
【详解】解：．
知识点03 二次根式的除法
【即时训练】
1．（2026·河南平顶山·二模）若，则的值为（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】C
【分析】两边同时除以即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）计算结果是________．
【答案】
【详解】解： ．
知识点04 二次根式的混合运算
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：
2．（2026·山西阳泉·模拟预测）计算的结果为______．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式展开原式，再合并同类二次根式，即可得到计算结果．
【详解】解：
．
【典型例题一 二次根式的加减运算】
【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式的运算规则逐一判断计算是否正确即可．
【详解】．∵，∴计算正确；
．∵是有理数，是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法合并，∴，∴计算错误；
．，∴计算正确；
．，∴计算正确．
综上，计算错误的是．
【例2】（25-26七年级下·河北保定·期中）计算：（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】C
【分析】利用同类二次根式合并规则，将系数相加，根式部分保持不变，即可计算出结果.
【详解】解：题中两个根式为同类二次根式，可写为 ，
∵ ，合并同类二次根式时系数相加，根式部分不变，
∴ .
【例3】（25-26八年级上·四川南充·期中）计算：，结果是___．
【答案】
【详解】解：
【例4】（2026·安徽阜阳·二模）法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用，卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．则_______．
【答案】1
【分析】将代入表达式，根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：将代入，
得
．
1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）计算：；
【答案】
【详解】解：
．
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式.
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
（2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，去括号，最后运算加减法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【典型例题二 二次根式的乘除法运算】
【例1】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果．
【详解】解：
．
【例2】 （24-25八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④．
【详解】解：，所以①正确；
，所以②正确；
因为，则，所以③正确；
与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．
【例3】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算：的值为______．
【答案】1
【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【例4】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
根据新定义运算的规则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段检测）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先进行二次根式的乘除运算，再计算立方根，然后进行加减计算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)．
(6)；
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)3
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确计算的前提．
（1）先计算乘法，再计算减法，即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可；
（3）先化简，再合并同类二次根式即可；
（4）先计算括号内的，再计算除法即可；
（5）先计算除法，再合并同类二次根式即可；
（6）先计算乘法，再计算除法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【典型例题三 二次根式的混合运算】
【例1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）计算×＋的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式后相加，即可得到结果．
【详解】解：×＋
．
【例2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30B．C．D．
【答案】B
【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴的整数部分，小数部分
∵，
∴．
【例3】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）计算的结果是________．
【答案】
【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：
．
【例4】（2026八年级上·天津西青·模拟预测）计算：的结果等于______；的结果等于______．
【答案】
【分析】利用平方差公式展开，然后结合二次根式的性质计算； 利用完全平方公式展开，分别计算各项后合并，得到最简结果．
【详解】解：：；
：．
1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)已知，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可；
（2）先化简绝对值和立方根，再运算加减，即可作答．
（3）先将方程两边同时乘，再根据平方根解方程，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：，
，
∴，
解得，
2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)5
(3)4
(4)0
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明；
（2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
即为定值；
（2）解：，
，
，
，
得，，即：，
两边平方得，，解得：，
经检验，是原方程的解．
【典型例题四 比较二次根式的大小】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】B
【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大．
【详解】解： ， ，，，
∵，
∴．
【例2】（2025九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】解：，
∵，
∴，
∴.
【例3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”）
【答案】
【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系．
【详解】解：，
∵
∴．
【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小（用“>”、“
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，根据二次根式的性质可得，，再比较与的大小即可得出结论．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：>．
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小．
【答案】
【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小．
【详解】，
．
2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）先观察解题过程，再解决问题．
比较与的大小．
解：∵，，
∴，．
又∵，
∴．
试用以上方法，比较与的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键．
根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∴，，
又∵，
∴＜，即：．
3．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小．
解：，，
∵，∴，
参考上面例题的解法，解答下列问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较 与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键．
（1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案；
（2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，，
又，即，
，
∴，
∴．
【典型例题五 分母有理化】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘，
．
【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A．B．分数的基本性质
C．D．
【答案】C
【分析】本题需要分析小明化简的每一步过程，判断所用到的数学知识，进而找出没有用到的数学知识．本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分数的基本性质．解题的关键在于对二次根式化简过程中每一步所依据的数学知识进行准确判断，熟悉相关性质和法则在化简中的应用．
【详解】解：第一步：
这一步运用了，这里， ，将分式形式转化为根式形式．
第二步：
这一步运用了分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的数，分数的大小不变．这里分子分母同时乘以．
第三步：
这是对乘法运算结果的整理．
第四步：
再次运用了 ．
第五步：
这一步运用了 ，因为，所以 ．
在整个化简过程中，没有用到 ，
故选： C．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算“★”是，则__________．
【答案】/
【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴当，时，．
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是______ ，的倒数是______ ，的绝对值是______ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根、倒数、绝对值的运算，熟练掌握平方根的定义、倒数的化简方法（分母有理化）、绝对值的性质是解题的关键．分别根据平方根、倒数、绝对值的定义，依次计算三个空的结果．
【详解】解：∵，，
∴的平方根是；
∵，，
∴的倒数是；
∵，
∴的绝对值是
故答案为：；；．
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【详解】解：原式，
当时，原式．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键．
先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
把，代入，得
原式
．
3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的知识点是二次根式的分母有理化、代数式的化简求值以及完全平方公式的应用，解题关键是先对、进行分母有理化，再利用代数式变形计算求解．
（1）先对、分别进行分母有理化，再分别计算和的值；
（2）将变形为，代入（1）中所求值计算．
【详解】（1）解：
（2）解：
【典型例题六 已知字母的值，化简求值】
【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，即．
故选：A．
【例2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A．2024B．2025C．2026D．
【答案】C
【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________
【答案】/
【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【例4】（25-26八年级下·河南濮阳·期中）我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出，利用三角形的三边求面积的公式（其中a，b，c为三角形的三边长）．已知三边长分别是2，3，4的三角形，这个三角形的面积是_______．
【答案】
【分析】将三角形三边长代入已知的面积公式，根据整式运算与二次根式的化简法则计算，即可得到三角形面积.
【详解】解：将代入公式得
1．（24-25八年级下·浙江·期末）计算：
(1)．
(2)已知，，求下列代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，已知式子的值求代数式的值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用二次根式的性质化简以及运算除法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵，，
∴
．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果；
（3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：由题意得，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）解：
；
（3），
，
∴，即．
∴．
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．
【典型例题七 已知条件式，化简求值】
【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（ ）
A．2005B．2006C．2007D．2008
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【例2】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知、为实数，且，求的值为（ ）
A．2B．3C．5D．13
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
解得：，
∴ ，
∴，
故选：C．
【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，则______．
【答案】
【分析】先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可．
【详解】解：，
将，代入
得：原式=，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．
【例4】（24-25七年级下·吉林·期中）对于两个有理数a，b，定义一种新运算如下：，如：，那么____________．
【答案】4
【分析】根据新定义的运算转换成所学知识二次根式的有关计算，然后再计算即可．
【详解】解：=3==4．
故答案为：4．
【点睛】二次根式的化简是本题的考点，正确理解题目中新定义的运算是解题的关键．
1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
(1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；
(2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)32或16
【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案；
（2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
由题意得，
，
，，
，且a，m，n均为正整数，
∴m，n的值可能为15，1或5，3，
∴当、时，，
则；
当、时，，
则；
综上，的值为32或16．
2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读与思考
【阅读理解】
爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的：
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴．
【任务】
请你根据小聪的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：________；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式分母有理化即可得答案；
（2）把各项分别分母有理化，再加减即可得答案；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：_________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2）原式
；
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键．
【典型例题八 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A．B．C．D．12s
【答案】C
【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
【例2】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积是75，
∴，
∵，
∴，
∴空白小正方形的边长，
∴这个小正方形的面积为．
【例3】（2025·吉林长春·三模）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是_______．
【答案】12
【分析】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积，先根据正方形的面积公式和已知条件，求出和，从而求出，然后根据阴影部分的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积的面积的面积
．
故答案为：12．
【例4】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
设（为正整数），当时，的值是________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的规律计算，理解规律，掌握二次根式的计算是关键．
根据材料提示，找出规律即可求解．
【详解】解：①；
②；
③；
，
∴，
∴，
∴
，
故答案为： ．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值；
(2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义得到,即可求出的值．
（2）根据定义得，整理得出，最后得出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
．
（2）解：由题意可得，
整理得，
∴．
2．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）有一个长方形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，那么最多能截出几个这样的木条？直接写出答案．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出的近似数，再根据题意解答．
【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原矩形木板的面积为；
（2）解：最多能截出4块这样的木条．理由如下：
，，
（块），（块），
从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．
3．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．
(1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，
_________．
根据海伦公式可得_________．
(2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
(3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解；
（2）代入公式求解；
（3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解．
【详解】（1）解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，
．
根据海伦公式可得；
（2）解：根据题意可得，，，
；
（3）解：，
，
，
．
1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
2．（24-25八年级下·河北承德·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将原式变形为，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键．
根据流程图的计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意，当输入时，，
∵，
∴循环计算；
当输入时，，
∵，
∴输出的结果为．
故选：C．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可.
【详解】解：∵ ，且，
∴．
∵，且，
∴．
∵，且，
∴．
∴, , ,
．
故选：A．
5．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∴
．
6．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______．
【答案】
【详解】解：
．
7．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若，则的值为______．
【答案】2
【分析】根据得出，，进而代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
8．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．

【答案】0
【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，，
∴原式＝

故答案为：0
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.
9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
【答案】
【分析】观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立．
【详解】解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律：
第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为，
等式右侧分母为，根号内的两个因式为和，
由此猜想第n个等式为．
验证：
10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________
【答案】
【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可．
【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
11．（25-26八年级下·全国·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（2026·河北石家庄·二模）计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚．
(1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________；
(2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数．
【答案】(1)二，
(2)
【分析】（1）嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）根据“原式的计算结果为”列方程求出“□”代表的数即可．
【详解】（1）解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；
；
（2）解：若原式的计算结果为，
则，
，
，
，
∴．
13．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，．把作为整体，得．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)8
(2)2029
【分析】（1）根据题目中的例子，先将转化，求出的值，然后即可求得所求式子的值；
（2）根据得，仿照题目中的例子，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
；
（2）解：，
，
，
，即，
．
14．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键．
（1）运用穿墙术进行比较即可；
（2）运用作差法进行比较即可．
【详解】解：（1）因为，
，
而，
则，
所以；
（2）
，
因为，，，
所以，，
所以，，
即，
所以，．
15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小明同学每次回家时，总能看见张贴在电梯间的提示标语“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)已知小明家住20层，离地面的高度为60米，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留根号）；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量 E（单位：） 物体质量() 高度()，一串质量为 的钥匙经过 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：的能量就会对人体造成危害）
【答案】(1)秒
(2)会对楼下的行人产生危害
【分析】（1）把代入公式求解即可；
（2）把代入公式确定米，然后计算钥匙所带的能量，进行比较即可．
【详解】（1）解：把代入，得（秒）
（2）把代入，得
∴，
∴米，
∴
∴会对楼下的行人产生危害．……第一步
……第二步
………………第三步
……………………第四步
典型示例
作差法
平方法
穿墙术
比较和的大小．
解：因为
所以
比较和的大小．
解：，
，
而28＞27，
所以
比较和的大小．
解：因为，
，
而，
则，
所以
任务完成
（1）请比较和的大小；
（2）请比较与的大小．