苏教版（2024）五年级上册（2024）公因数和公倍数同步测试题

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一、学习目标
1. 结合具体情境，理解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的含义。
2. 会用列举法、筛选法找出两个数的公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数。
3. 探索并发现两个数成倍数关系或互质关系时，最大公因数和最小公倍数的规律。
4. 能运用公因数和公倍数的知识解决简单的实际问题。
二、知识讲解
（一）公因数和最大公因数
【情境引入】
用边长6厘米或4厘米的正方形纸片去铺一个长18厘米、宽12厘米的长方形。
思考：用哪种边长的正方形纸片能正好铺满这个长方形？
分析：边长6厘米的正方形，18÷6＝3，12÷6＝2，长和宽都能整除，正好铺满。
边长4厘米的正方形，18÷4＝4……2，长不能被整除，不能正好铺满。
进一步思考：还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？
边长的厘米数必须既是12的因数，又是18的因数。
【认识公因数】
12的因数：1，2，3，4，6，12
18的因数：1，2，3，6，9，18
1，2，3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
公因数：两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数。
最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。
12和18的公因数有1，2，3，6，其中最大的是6，所以最大公因数是6。
【找最大公因数的方法】
方法一：列举法
分别列出两个数的所有因数，再找出公有的因数。
例：找8和12的最大公因数
8的因数：1，2，4，8
12的因数：1，2，3，4，6，12
8和12的公因数：1，2，4，最大公因数是4。
方法二：筛选法
先列出较小数的所有因数，再从中找出也是较大数因数的那些。
例：找18和24的最大公因数
18的因数：1，2，3，6，9，18
从中筛选出也是24的因数：1，2，3，6
18和24的公因数：1，2，3，6，最大公因数是6。
（二）公倍数和最小公倍数
【情境引入】
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片去铺正方形。
思考：能正好铺满边长多少厘米的正方形？
能正好铺满的正方形，边长的厘米数必须既是2的倍数，又是3的倍数。
6，12，18，24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
【认识公倍数】
公倍数：两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数。
最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数。
注意：两个数的公倍数有无数个，没有最大的公倍数。
【找最小公倍数的方法】
方法一：列举法
分别列出两个数的倍数，再找出公有的倍数。
例：找6和9的最小公倍数
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，54……
9的倍数：9，18，27，36，45，54，63……
6和9的公倍数：18，36，54……最小公倍数是18。
方法二：筛选法
先列举一个数的倍数，再从中找出也是另一个数倍数的那些。
例：找6和9的最小公倍数
9的倍数：9，18，27，36，45，54，63……
其中18，36，54……也是6的倍数。
6和9的公倍数：18，36，54……最小公倍数是18。
（三）特殊关系的规律
【倍数关系】
当两个数成倍数关系时：
最大公因数 ＝ 较小的数
最小公倍数 ＝ 较大的数
例：13和26，因为26÷13＝2，26是13的倍数
最大公因数是13，最小公倍数是26。
【互质关系】
当两个数的公因数只有1时（即互质），这两个数称为互质数。
最大公因数 ＝ 1
最小公倍数 ＝ 两数之积
例：8和9，公因数只有1，它们互质
最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72。
注意：相邻的两个自然数一定互质。
三、典型例题
【例1】用列举法求18和24的最大公因数和公因数。
分别列出18和24的因数，找出它们的公因数，再确定最大公因数。
【分步解答】
18的因数：1，2，3，6，9，18
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
18和24的公因数：1，2，3，6
最大公因数是6。
【思路点拨】
先分别列出每个数的所有因数（注意不要遗漏），再找出两个数公有的因数。列举因数时要有序，从1开始一对一对找，避免遗漏或重复。
【例2】用列举法求6和9的最小公倍数和公倍数。
分别列出6和9的倍数，找出它们的公倍数，再确定最小公倍数。
【分步解答】
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，54……
9的倍数：9，18，27，36，45，54，63……
6和9的公倍数：18，36，54……
最小公倍数是18。
【思路点拨】
两个数的倍数都有无数个，所以公倍数也有无数个。列举倍数时要有条理，建议至少各列6～8个再找公共部分。注意公倍数中最小的那个就是最小公倍数。
【例3】分别求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
（1）13和26 （2）8和9
【分步解答】
（1）13和26：
因为26÷13＝2，26是13的倍数，两个数成倍数关系。
最大公因数是13（较小的数），最小公倍数是26（较大的数）。
（2）8和9：
8的因数：1，2，4，8；9的因数：1，3，9
公因数只有1，所以8和9互质。
最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72。
【思路点拨】
先判断两个数的关系：如果成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如果互质（公因数只有1），最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。掌握特殊规律可以快速求解。
【例4】用边长是整分米数的正方形地砖铺一个卫生间的地面（如右图，长16分米，宽12分米），要求正好铺满（地砖不需切割）。正方形地砖的边长最大是多少分米？
分析：正方形地砖的边长必须同时满足什么条件？
【分步解答】
分析：正方形地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数，即16和12的公因数。要求最大边长，就是求最大公因数。
16的因数：1，2，4，8，16
12的因数：1，2，3，4，6，12
16和12的公因数：1，2，4
最大公因数是4。
答：正方形地砖的边长最大是4分米。
【思路点拨】
这是一道典型的求最大公因数的实际问题。关键是把实际问题转化为数学问题：地砖边长要能同时整除长和宽，即边长是长和宽的公因数。要求“最大”边长，就是求最大公因数。类似的“裁最大正方形”“截最大长度”等问题都用最大公因数来解决。
四、易错点提醒
1. 混淆公因数和公倍数。公因数是「公有的因数」，是「因数中的公共部分」，个数有限；公倍数是「公有的倍数」，是「倍数中的公共部分」，个数无限。
2. 列举因数或倍数时遗漏。列举因数时要有序，从1开始一对一对地找；列举倍数时要列到足够多，至少各列6～8个，才能准确找到公倍数。
3. 忽视特殊关系。当两个数成倍数关系或互质时，有快速求最大公因数和最小公倍数的规律，不必逐一列举，要学会先判断关系再计算。
4. 实际问题分不清求公因数还是公倍数。求「最大」「最多」（如裁最大正方形、铺最大地砖）一般用最大公因数；求「最小」「最少」「下次同时」（如最小时间、最少个数）一般用最小公倍数。
练习部分
一、填空题（每空1分，共12分）
1. 20的因数有1，2，4，5，10，20；30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。20和30的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
2. 6的倍数有6，12，18，24，30……；10的倍数有10，20，30，40，50……6和10的公倍数有（ ），最小公倍数是（ ）。
3. 9和10是相邻的两个自然数，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
4. 如果a是b的倍数（a、b都是非零自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5. 如果a÷b＝7（a、b都是非零自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
6. 一间长60厘米、宽48厘米的长方形地面要铺正方形地砖（不需切割），地砖边长最大是（ ）厘米。
【答案】
1. 1，2，5，10；10
2. 30，60；30
3. 1；90
4. b；a
5. b；a
6. 12
【解析】
1. 从20和30的因数中找出公有的因数：1，2，5，10，其中最大的是10。
2. 从6和10的倍数中找出公有的倍数：30，60……最小的是30。
3. 相邻的两个自然数互质，最大公因数是1，最小公倍数是9×10＝90。
4. a是b的倍数，两个数成倍数关系，最大公因数是较小数b，最小公倍数是较大数a。
5. a÷b＝7说明a是b的7倍，两个数成倍数关系，最大公因数是b，最小公倍数是a。
6. 地砖边长既是60的因数又是48的因数，求最大边长即求最大公因数。60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；公因数：1，2，3，4，6，12，最大公因数是12。
二、判断题（每题1分，共5分）
1. 两个数的公因数一定比这两个数小。（ ）
2. 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（ ）
3. 相邻的两个自然数一定互质。（ ）
4. 两个不同的质数，它们的最大公因数是1。（ ）
5. 如果甲数是乙数的倍数，那么甲、乙两数的最小公倍数是甲数。（ ）
【答案与解析】
1. ×。当两个数相同时（如5和5），公因数5就等于这两个数。
2. ×。当两个数成倍数关系时，最小公倍数就是较大的那个数，并不比它大。例如12和6的最小公倍数是12。
3. √。相邻的两个自然数相差1，公因数只有1，一定互质。
4. √。质数只有1和它本身两个因数，两个不同的质数公因数只有1。
5. √。甲数是乙数的倍数时，两个数成倍数关系，最小公倍数是较大数即甲数。
三、选择题（每题2分，共10分）
1. 24和36的最大公因数是（ ）。
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
2. 1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班。两路车同时发车后，至少再过（ ）分钟两路车再次同时发车。
A. 12 B. 14 C. 24 D. 48
3. 如果两个数的公因数只有1，那么这两个数的最大公因数是（ ）。
A. 1 B. 较小的数 C. 较大的数 D. 两数之积
4. 既是12的因数又是18的因数，最大的数是（ ）。
A. 2 B. 3 C. 6 D. 12
5. 50以内，6和8的最小公倍数是（ ）。
A. 48 B. 24 C. 96 D. 12
【答案与解析】
1. C。24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；公因数：1，2，3，4，6，12，最大公因数是12。
2. C。求6和8的最小公倍数。6的倍数：6，12，18，24……；8的倍数：8，16，24……；最小公倍数是24。
3. A。两个数的公因数只有1，即互质，最大公因数就是1。
4. C。12的因数：1，2，3，4，6，12；18的因数：1，2，3，6，9，18；公因数：1，2，3，6，最大的是6。
5. B。6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48；8的倍数：8，16，24，32，40，48；50以内公倍数：24，48，最小的是24。
四、计算题（每题3分，共18分）
求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
1. 12和18
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
2. 20和25
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
3. 16和24
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
4. 14和21
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
5. 35和49
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
6. 15和16
最大公因数：____________ 最小公倍数：____________
【答案与解析】
1. 12和18：12的因数：1，2，3，4，6，12；18的因数：1，2，3，6，9，18；公因数：1，2，3，6；最大公因数＝6。12的倍数：12，24，36，48……；18的倍数：18，36，54……；最小公倍数＝36。
2. 20和25：20的因数：1，2，4，5，10，20；25的因数：1，5，25；公因数：1，5；最大公因数＝5。20的倍数：20，40，60，80，100……；25的倍数：25，50，75，100……；最小公倍数＝100。
3. 16和24：16的因数：1，2，4，8，16；24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；公因数：1，2，4，8；最大公因数＝8。16的倍数：16，32，48，64……；24的倍数：24，48，72……；最小公倍数＝48。
4. 14和21：14的因数：1，2，7，14；21的因数：1，3，7，21；公因数：1，7；最大公因数＝7。14的倍数：14，28，42，56……；21的倍数：21，42，63……；最小公倍数＝42。
5. 35和49：35的因数：1，5，7，35；49的因数：1，7，49；公因数：1，7；最大公因数＝7。35的倍数：35，70，105，140，175，210，245……；49的倍数：49，98，147，196，245……；最小公倍数＝245。
6. 15和16：15的因数：1，3，5，15；16的因数：1，2，4，8，16；公因数只有1，两数互质；最大公因数＝1，最小公倍数＝15×16＝240。
五、解决问题（每题5分，共20分）
1. 用边长是整分米数的正方形纸片铺一个长24分米、宽16分米的长方形，要求正好铺满（纸片不切割）。正方形纸片的边长最大是多少分米？一共需要多少块？（5分）
2. 小明每4天去一次图书馆，小红每6天去一次图书馆。今天两人在图书馆相遇后，至少再过多少天两人再次在图书馆相遇？（5分）
3. 把一块长60厘米、宽48厘米的木板裁成同样大小的正方形（不能有余料），正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个？（5分）
4. 写出48的所有因数，再找出其中是6的倍数的数，这样的数一共有几个？（5分）
【答案与解析】
1. 正方形纸片的边长必须既是24的因数又是16的因数，求最大边长就是求最大公因数。
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
16的因数：1，2，4，8，16
24和16的公因数：1，2，4，8，最大公因数是8。
正方形纸片的边长最大是8分米。
长边：24÷8＝3（块），宽边：16÷8＝2（块），一共：3×2＝6（块）。
答：正方形纸片的边长最大是8分米，一共需要6块。
2. 求4和6的最小公倍数。
4的倍数：4，8，12，16，20……
6的倍数：6，12，18，24……
4和6的最小公倍数是12。
答：至少再过12天两人再次在图书馆相遇。
3. 正方形的边长必须既是60的因数又是48的因数，求最大边长就是求最大公因数。
60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60
48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48
60和48的公因数：1，2，3，4，6，12，最大公因数是12。
正方形边长最大是12厘米。
长边：60÷12＝5（个），宽边：48÷12＝4（个），一共：5×4＝20（个）。
答：正方形的边长最大是12厘米，一共可以裁出20个。
4. 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
其中是6的倍数的数有：6，12，24，48。
这样的数一共有4个。
答：48的因数中是6的倍数的数有6，12，24，48，一共有4个。