苏教版小学数学五上第六单元知识梳理与易错精讲

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第一单元 因数与倍数 · 知识梳理与易错精讲（学生版）苏教版五年级下册数学第一部分：知识梳理一、因数和倍数1. 概念如果 a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。【注意】因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数。必须说"谁是谁的因数"或"谁是谁的倍数"。2. 找一个数的因数方法：一对一对地找，从1开始，找到重复为止，做到不重复、不遗漏。例如：18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18所以18的因数有：1、2、3、6、9、183. 一个数的因数的特点• 最小因数是1，最大因数是它本身• 因数的个数是有限的4. 找一个数的倍数方法：依次用这个数乘1、2、3、4...例如：3的倍数：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12...所以3的倍数有：3、6、9、12、15...5. 一个数的倍数的特点• 最小倍数是它本身，没有最大倍数• 倍数的个数是无限的二、2、5、3的倍数特征【关键结论】• 是2的倍数的数叫偶数（包括0），不是2的倍数的数叫奇数• 个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数• 判断3的倍数，不能只看个位，要看各位上数字之和三、质数和合数1. 分类标准：按因数个数分类2. 20以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19（共8个，必须熟记！）【提醒】2是唯一的偶数质数，也是最小的质数。四、分解质因数1. 概念把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。这些质数就是这个合数的质因数。2. 方法：短除法步骤：• 第一步：用能整除这个合数的最小质数去除• 第二步：把商写在下面，继续用质数去除• 第三步：直到商是质数为止• 第四步：把所有除数和最后的商写成连乘的形式例如：把24分解质因数24=2×2×2×3【注意】分解质因数只能用于合数，质数不能分解质因数。书写时合数在等号左边，质因数相乘在等号右边。五、公因数和最大公因数1. 概念• 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数• 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做最大公因数2. 求法方法一：列举法先分别找出每个数的因数，再找公有的因数，其中最大的就是最大公因数。例如：求12和18的最大公因数12的因数：1、2、3、4、6、1218的因数：1、2、3、6、9、1812和18的公因数：1、2、3、6，最大公因数是63. 特殊关系的两个数六、公倍数和最小公倍数1. 概念• 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数• 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做最小公倍数2. 求法方法一：列举法先分别找出每个数的倍数（各找几个），再找公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。例如：求4和6的最小公倍数4的倍数：4、8、12、16、20、24...6的倍数：6、12、18、24...4和6的公倍数：12、24...，最小公倍数是123. 特殊关系的两个数七、知识网络图本单元各知识点之间的联系：因数与倍数 → 是相互依存的概念（a×b=c）奇数与偶数 → 按是否是2的倍数来分类质数与合数 → 按因数个数来分类（非0自然数）公因数与最大公因数 → 从单个数的因数扩展到多个数的公共因数公倍数与最小公倍数 → 从单个数的倍数扩展到多个数的公共倍数分解质因数 → 是求最大公因数和最小公倍数的重要基础核心关系：因数 → 公因数 → 最大公因数；倍数 → 公倍数 → 最小公倍数第二部分：易错汇总以下是本单元同学们最容易犯的典型错误，请认真对照自查：易错一：混淆因数和倍数的关系典型错误：说"6是因数"或"12是倍数"（单独说，不说清谁是谁的因数/倍数）正确做法：因数和倍数必须成对出现、相互依存。应该说"6是12的因数"或"12是6的倍数"。易错二：找因数时遗漏或重复典型错误：找36的因数时，只找到1、2、3、4、6、9、12，漏掉了18和36正确做法：一对一对有序地找：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6，到重复时停止。36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36易错三：混淆2、3、5的倍数特征典型错误：认为个位是3的倍数，这个数就是3的倍数（如认为13是3的倍数，因为个位3是3的倍数）正确做法：3的倍数特征不是看个位，而是看各位上数字之和是否是3的倍数。13：1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数。易错四：忽略1的特殊性典型错误：认为1是质数，或认为1既不是质数也不是合数所以不属于自然数正确做法：1只有1个因数（就是1本身），不满足质数"有两个因数"的条件，也不满足合数"有超过两个因数"的条件。所以1既不是质数，也不是合数，但1是自然数。易错五：分解质因数书写不规范典型错误：把12分解质因数写成12=2×6（6不是质数），或写成2×2×3=12（等号两边颠倒）正确做法：分解质因数时，等号左边是原来的合数，右边是所有质因数的连乘积。每一个因数都必须是质数。12=2×2×3易错六：求最大公因数和最小公倍数时方法不当典型错误：求最大公因数时找成了公倍数，或求最小公倍数时找成了公因数正确做法：先明确概念：公因数是两个数都有的因数（比两个数都小或相等），公倍数是两个数都有的倍数（比两个数都大或相等）。可以用列举法分别验证。易错七：混淆质数与奇数、合数与偶数典型错误：认为所有奇数都是质数（如认为9是质数），或认为所有偶数都是合数正确做法：分类标准不同！奇数/偶数按是否是2的倍数分，质数/合数按因数个数分。2是质数但也是偶数；9是奇数但是合数（9=3×3）。第三部分：易错精讲以下每道例题都包含错例分析、正确解法思路和方法总结。请同学们先独立思考，再对照分析。例1：判断对错题目：判断下列说法是否正确，如错误请改正。（1）因为3×8=24，所以24是倍数，3和8是因数。（2）1是最小的质数。（3）所有的偶数都是合数。▶ 错例分析：（1）错误。因数和倍数不能单独说，必须说清关系。（2）错误。1既不是质数也不是合数，最小的质数是2。（3）错误。2是偶数但是质数，不是合数。▶ 方法总结：因数与倍数必须成对出现；1是特殊的数；判断质数要看因数个数，不能与奇偶性混淆。例2：找因数题目：找出48的所有因数。▶ 错例分析：常见错误：只找到1、2、3、4、6、8、12、16，漏掉了24和48。原因是没有找到完整的配对。▶ 正确思路：一对一对有序地找：1×48=48，2×24=48，3×16=48，4×12=48，6×8=48。48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48（共10个）▶ 方法总结：找因数要"有序配对"，从小到大依次试除，每找到一对就写下来，直到两个因数越来越接近（出现重复或交叉）时停止。例3：倍数特征综合判断题目：在下面的数中，哪些是3的倍数？51、62、73、84、95、111、123、201▶ 错例分析：常见错误：只看个位数判断，如认为62是3的倍数（因为个位2...不对），或者认为73是3的倍数（个位3是3的倍数）。▶ 正确思路：逐一计算各位数字之和：51：5+1=6，6是3的倍数 ✔62：6+2=8，8不是3的倍数 ✘73：7+3=10，10不是3的倍数 ✘84：8+4=12，12是3的倍数 ✔95：9+5=14，14不是3的倍数 ✘111：1+1+1=3，3是3的倍数 ✔123：1+2+3=6，6是3的倍数 ✔201：2+0+1=3，3是3的倍数 ✔所以3的倍数有：51、84、111、123、201▶ 方法总结：判断3的倍数，必须把各个数位上的数字相加，看和是否是3的倍数。绝对不能只看个位！例4：分解质因数题目：把36和54分别分解质因数。▶ 错例分析：常见错误1：36=4×9（4和9都不是质数，分解不彻底）常见错误2：写成2×2×3×3=36（等号两边位置写反）▶ 正确思路：36：用最小质数2去除→36÷2=18→18÷2=9→9÷3=3→3是质数，停止36=2×2×3×354：用最小质数2去除→54÷2=27→27÷3=9→9÷3=3→3是质数，停止54=2×3×3×3▶ 方法总结：分解质因数必须从最小质数2开始试除，每次都用能整除的最小质数去除，直到商是质数为止。书写格式：合数=质因数×质因数×...例5：求最大公因数和最小公倍数题目：求16和24的最大公因数和最小公倍数。▶ 错例分析：常见错误1：把最大公因数和最小公倍数搞混常见错误2：列举时没有找全，如只列了几个因数就停了▶ 正确思路：第一步：分别列出因数16的因数：1、2、4、8、1624的因数：1、2、3、4、6、8、12、24公因数：1、2、4、8 → 最大公因数=8第二步：分别列出倍数16的倍数：16、32、48、64...24的倍数：24、48、72...公倍数：48、96... → 最小公倍数=48▶ 方法总结：求最大公因数→找公有的因数中最大的（一定≤较小数）；求最小公倍数→找公有的倍数中最小的（一定≥较大数）。可以利用这个特点来检验答案是否合理。例6：特殊关系的最大公因数和最小公倍数题目：（1）甲数是乙数的倍数（甲÷乙=5），甲和乙的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。（2）a和b是相邻的自然数（如5和6），它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。▶ 错例分析：常见错误：不利用特殊关系的规律，硬用列举法，费时且容易出错。▶ 正确思路：（1）倍数关系：最大公因数=较小数=乙，最小公倍数=较大数=甲（2）相邻自然数一定互质：最大公因数=1，最小公倍数=a×b▶ 方法总结：看到倍数关系或互质关系，要直接运用特殊规律，不必逐一列举。常见互质情况：相邻自然数、1和任何自然数、两个不同质数。第四部分：易错专练（共20题，针对以上易错点进行专项练习）一、填空题1. 在36÷4=9中，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。2. 24的因数有（ ），一共有（ ）个。3. 50以内9的倍数有（ ）。4. 一个数的最小倍数是24，这个数是（ ），它的最大因数是（ ）。5. 在1–20的自然数中，质数有（ ），合数有（ ），（ ）既不是质数也不是合数。6. 把30分解质因数：30=（ ）。7. 18和24的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。8. 如果a=5b（a、b都是非0自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。二、判断题（对的画✔，错的画✘）9. 因为5×6=30，所以5和6是因数，30是倍数。（ ）10. 1是所有非0自然数的因数。（ ）11. 所有的奇数都是质数。（ ）12. 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（ ）13. 个位上是3、6、9的数一定是3的倍数。（ ）三、选择题14. 下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）。A. 5和15 B. 0.5和1 C. 6和4 D. 10和315. 下面哪个数既是2的倍数又是3的倍数？（ ）A. 35 B. 51 C. 46 D. 7816. 两个质数的积一定是（ ）。A. 质数 B. 合数 C. 奇数 D. 无法确定四、操作题17. 把下面各数分解质因数：（1）42=（ ）（2）60=（ ）（3）45=（ ）18. 分别求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数：（1）12和18（2）7和21（3）8和15五、解决问题19. 一间长48分米、宽36分米的房间，要用同样的正方形地砖铺满（地砖边长为整分米数），地砖的边长最大是多少分米？至少需要多少块这样的地砖？20. 公共汽车A路每6分钟发一次车，B路每8分钟发一次车。如果早上7:00两路车同时发车，那么下一次同时发车是什么时间？倍数特征判断方法举例2的倍数特征个位上是0、2、4、6、812、34、56、80、1085的倍数特征个位上是0或515、20、45、70、1052和5公有的倍数特征个位上是010、20、30、40、503的倍数特征各位上数的和是3的倍数123：1+2+3=6，6是3的倍数类别定义举例质数（素数）只有1和它本身两个因数2、3、5、7、11、13...合数除了1和它本身，还有其他因数4、6、8、9、10、12...1只有1个因数，既不是质数也不是合数1关系最大公因数举例倍数关系（如6和18）较小数就是最大公因数gcd(6,18)=6互质关系（如5和7）最大公因数是1gcd(5,7)=1关系最小公倍数举例倍数关系（如6和18）较大数就是最小公倍数lcm(6,18)=18互质关系（如5和7）最小公倍数是两数之积lcm(5,7)=35