苏教版小学数学五上第六单元测试卷

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因数与倍数单元测试卷教师解析版一、填空题（每空1分，共20分）1．答案：9；4；9；4 【解析】根据因数与倍数的关系：如果a÷b=c（a、b、c都是非零自然数），则b和c是a的因数，a是b和c的倍数。36÷9=4，所以9和4是36的因数，36是9和4的倍数。 【评分】每空1分2．答案：1、2、3、4、6、9、12、18、36 【解析】找因数要有序、不遗漏：36÷1=36, 36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6。共9个因数。 【评分】全对1分3．答案：10；90 【解析】同时是2和5的倍数，个位必须是0。最小两位数10，最大两位数90。 【评分】每空1分4．答案：30；120 【解析】同时是2、3、5的倍数 = 30的倍数。最小两位数30，最小三位数120。 【评分】每空1分5．答案：偶数；奇数 【解析】奇数+奇数=偶数（如3+5=8），奇数×奇数=奇数（如3×5=15）。这是奇偶运算的基本规律。 【评分】每空1分6．答案：9 【解析】1~20中既是奇数又是合数的数：9(=3×3)、15(=3×5)。最小的是9。 【评分】1分7．答案：6；36 【解析】12的因数：1,2,3,4,6,12。18的因数：1,2,3,6,9,18。公因数：1,2,3,6。最大公因数=6。最小公倍数=12×18÷6=36。 【评分】每空1分8．答案：7；13 【解析】设两质数为p和q。p×q=91=7×13，验证7+13=20✓。两个质数分别是7和13。 【评分】每空1分9．答案：6；12 【解析】正方形边长为24和18的公因数，最大边长=gcd(24,18)=6厘米。沿长裁4个，沿宽裁3个，4×3=12个。 【评分】每空1分10．答案：1；7 【解析】2□0个位是0，已是2和5的倍数。是3的倍数需各位数字之和(2+□+0)是3的倍数。□可取1、4、7。最小1，最大7。 【评分】每空1分二、判断题（每题1分，共5分）11．答案：√ 【解析】1只有1个因数（本身），质数要求恰好2个因数，合数要求至少3个因数。所以1既不是质数也不是合数，说法正确。 【评分】判断正确得1分12．答案：× 【解析】反例：13的个位是3，但1+3=4不是3的倍数，所以13不是3的倍数。判断3的倍数要看"各位数字之和"是否能被3整除。 【评分】判断正确得1分13．答案：× 【解析】反例：2是偶数，但2只有1和2两个因数，是质数不是合数。2是唯一的偶数质数。 【评分】判断正确得1分14．答案：√ 【解析】24÷1=24, 24÷2=12, 24÷3=8, 24÷4=6。因数：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。说法正确。 【评分】判断正确得1分15．答案：√ 【解析】相邻非零自然数差为1，它们的公因数只有1（互质）。互质的两个数最小公倍数等于它们的乘积。如3和4：gcd=1，lcm=12=3×4。 【评分】判断正确得1分三、选择题（每题2分，共10分）16．答案：A 【解析】B中1不是质数（1既不是质数也不是合数）；C中9=3×3是合数；D中4=2×2是合数。只有A组2、3、7全部是质数。 【评分】选对得2分，选错得0分17．答案：A 【解析】20以内奇数：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19。其中合数：9=3×3, 15=3×5。共2个。注意1不是合数。 【评分】选对得2分，选错得0分18．答案：C 【解析】24÷1=24, 24÷2=12, 24÷3=8, 24÷4=6。因数：1,2,3,4,6,8,12,24，共8个。 【评分】选对得2分，选错得0分19．答案：B 【解析】a÷b=5说明a=5b，a是b的5倍。当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数b。 【评分】选对得2分，选错得0分20．答案：B 【解析】36=2²×3², 48=2⁴×3。最大公因数取各质因数的最小次幂：2²×3=12。 【评分】选对得2分，选错得0分四、操作与分类题（共10分）1．（5分）答案： 质数：2、23、37、97 合数：9、15、28、51 奇数：9、15、23、37、51、97 偶数：2、28 【解析】质数只有1和本身两个因数：2✓ 9=3²✗ 15=3×5✗ 23✓ 28=4×7✗ 37✓ 51=3×17✗ 97✓ 【评分】每类全对得1分，共4分；书写规范、不遗漏不重复得1分。每类错或漏扣0.5分。2．（5分）答案： （1）□6是两位数，个位6已经是2的倍数。是3的倍数需□+6是3的倍数。 □+6=9,12,15 → □=3,6,9。答：3、6、9 （2）2□□同时是2、3、5的倍数 → 个位必须是0 → 形如2□0 需2+□+0是3的倍数 → □=1,4,7 → 210、240、270 【评分】(1)找对全部3个数字得2分（漏写扣1分）；(2)全对3分（漏写每个扣1分）五、计算题（共15分）1．分解质因数（每题2分，共8分）24 = 答案：24=2×2×2×3（或2³×3） 【解析】分解过程：24→2×12→2×2×6→2×2×2×3 【评分】结果正确2分；过程正确但结果有误扣1分；未用乘法连接不得分45 = 答案：45=3×3×5（或3²×5） 【解析】分解过程：45→3×15→3×3×5 【评分】结果正确2分；过程正确但结果有误扣1分；未用乘法连接不得分78 = 答案：78=2×3×13 【解析】分解过程：78→2×39→2×3×13 【评分】结果正确2分；过程正确但结果有误扣1分；未用乘法连接不得分100 = 答案：100=2×2×5×5（或2²×5²） 【解析】分解过程：100→2×50→2×2×25→2×2×5×5 【评分】结果正确2分；过程正确但结果有误扣1分；未用乘法连接不得分2．最大公因数和最小公倍数（共7分）16和24（2分）： 最大公因数 = 8，最小公倍数 = 48 【解析】16=2⁴, 24=2³×3。GCD=2³=8, LCM=2⁴×3=48 【评分】GCD和LCM都正确得2分；对一个得1分12和18（2分）： 最大公因数 = 6，最小公倍数 = 36 【解析】12=2²×3, 18=2×3²。GCD=2×3=6, LCM=2²×3²=36 【评分】GCD和LCM都正确得2分；对一个得1分15和25（2分）： 最大公因数 = 5，最小公倍数 = 75 【解析】15=3×5, 25=5²。GCD=5, LCM=3×5²=75 【评分】GCD和LCM都正确得2分；对一个得1分20和30（1分）： 最大公因数 = 10，最小公倍数 = 60 【解析】20=2²×5, 30=2×3×5。GCD=2×5=10, LCM=2²×3×5=60 【评分】GCD和LCM都正确得1分；对一个得1分六、解决问题（共40分）26．（6分）答案：这些图书至少有24本。【分析】平均分给6个班或8个班都正好分完 → 图书数是6和8的公倍数 → 求"至少"即最小公倍数【解题过程】6 = 2×3，8 = 2×2×2 = 2³最小公倍数 = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24【检验】24÷6=4✓ 24÷8=3✓【评分要点】分析题意1分 + 分解质因数2分 + 求最小公倍数2分 + 完整作答1分 = 6分27．（8分）答案：边长最大12米，最少分成12块。【分析】正方形边长必须同时是36和48的因数（公因数），求"最大"即最大公因数【解题过程】36 = 2² × 3²，48 = 2⁴ × 3最大公因数 = 2² × 3 = 12（米）块数 = (36÷12) × (48÷12) = 3 × 4 = 12（块）【检验】12×3=36✓ 12×4=48✓【评分要点】分析2分 + 求GCD 3分 + 计算块数2分 + 作答1分 = 8分28．（8分）答案：至少经过24分钟，这时是7时24分。【分析】再次同时发车时间 = 6和8的最小公倍数【解题过程】6 = 2×3，8 = 2³最小公倍数 = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24（分钟）时刻：7:00 + 24分钟 = 7:24【检验】24÷6=4次✓ 24÷8=3次✓【评分要点】分析2分 + 求LCM 3分 + 计算时刻2分 + 作答1分 = 8分29．（10分）答案：（1）小于10的质数：2、3、5、7（2）最小的两位数：30 = 2×3×5（3）共6个：30、42、60、70、84、90【解析】(1) 10以内的质数：2、3、5、7(2) 选3个不同质数相乘得两位数，最小组合 = 2×3×5 = 30(3) 从{2,3,5,7}中选3个不同质数的组合： {2,3,5} → 2×3×5=30, 2²×3×5=60, 2×3²×5=90 {2,3,7} → 2×3×7=42, 2²×3×7=84 {2,5,7} → 2×5×7=70 {3,5,7} → 3×5×7=105 > 99（不是两位数，排除） 共6个：30、42、60、70、84、90【评分要点】(1)列举正确2分；(2)找到最小值并写出过程4分（过程2分+结果2分）；(3)穷举正确4分（每少1个扣1分，全对满分）= 10分30．（8分）答案：（1）距离最大30米（2）一共需要种10棵树【解析】(1) 边界等距种树且四角都种 → 间距是长和宽的公因数 → 最大间距 = GCD(90,60) 90 = 2 × 3² × 5，60 = 2² × 3 × 5 GCD = 2 × 3 × 5 = 30（米）(2) 周长 = (90+60) × 2 = 300（米） 封闭图形等距种树：棵数 = 周长 ÷ 间距 = 300 ÷ 30 = 10（棵） 注意：围成一圈种树时棵数=段数（与直线种树不同）【评分要点】(1)分析2分 + 求GCD 2分 = 4分；(2)求周长2分 + 计算棵数2分 = 4分；共8分附：双向细目表（知识点 × 能力层级覆盖表）能力层级说明：A=识记 B=理解 C=应用 D=综合拓展知识点覆盖统计能力层级分布题号分值知识模块能力层级考查要点14分因数倍数意义A因数与倍数的相互依存关系21分因数倍数意义B有序找因数（不遗漏）32分倍数特征B同时是2和5的倍数的特征42分倍数特征B同时是2、3、5的倍数52分奇偶性B奇数加减乘的奇偶规律61分质数合数B奇数合数的识别72分公因数公倍数B求最大公因数和最小公倍数82分质数合数C质数的综合运算92分公因数公倍数C裁正方形问题的应用102分倍数特征C填数字满足多重倍数条件111分质数合数B1的特殊性121分倍数特征B3的倍数特征辨析131分质数合数B偶数质数的特殊性141分因数倍数意义B因数的个数151分公因数公倍数B互质数的公倍数规律162分质数合数B质数的判断172分质数合数B奇数合数的计数182分因数倍数意义B/C因数的个数192分公因数公倍数C倍数关系下的最大公因数202分公因数公倍数C分解质因数求最大公因数215分质数合数+奇偶B数的分类能力225分倍数特征C填数字满足倍数条件248分质数合数B分解质因数的方法257分公因数公倍数B/C求GCD和LCM的方法266分公因数公倍数C最小公倍数的实际应用278分公因数公倍数C最大公因数的实际应用288分公因数公倍数C最小公倍数的实际应用2910分质数合数+综合D质数分解的综合拓展308分公因数公倍数D最大公因数的综合应用知识模块分值占比因数倍数意义11分11%倍数特征（2/3/5）11分11%奇偶性2分2%质数与合数27分27%公因数与公倍数42分42%综合拓展7分7%合计100分100%能力层级分值占比说明A 识记4分4%基本概念的记忆B 理解42分42%概念的理解与辨析C 应用38分38%知识的直接应用D 综合拓展16分16%知识的综合运用与拓展合计100分100%