初中数学3 勾股定理的应用当堂达标检测题

这是一份初中数学3 勾股定理的应用当堂达标检测题试卷主要包含了梯子滑动模型5，轮船航行模型6，信号站选择模型8，台风、爆破模型10，超速模型13，风吹莲动模型14，折竹抵地模型15，台阶上的地毯长度模型17等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" 2
\l "_Tc201321764" 模型来源2
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc9865" 模型1.梯子滑动模型5
\l "_Tc25505" 模型2.轮船航行模型6
\l "_Tc20050" 模型3.信号站（中转站）选择模型8
\l "_Tc4862" 模型4.台风（噪音）、爆破模型10
\l "_Tc13998" 模型5.超速模型13
\l "_Tc14006" 模型6.风吹莲动模型14
\l "_Tc29891" 模型7.折竹抵地模型15
\l "_Tc29891" 模型8.台阶上的地毯长度模型17
\l "_Tc16863" 模型.8不规则图形面积模型19
\l "_Tc18836" 23
勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。
（四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2026八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向．
模型1）梯子滑动模型
模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。
模型2）轮船航行模型
模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。
航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
模型3）信号站（中转站）选择模型
相关模型背景：信号塔、中转站等。
解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。
模型4）台风（噪音）、爆破模型
相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。
台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
模型5）测超速、河宽模型
相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。
超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
（3）比较实际行驶速度和规定速度。
模型6）风吹莲动模型
相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。
风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。
模型7）折竹抵地模型
相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。
折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。
模型8）不规则图形面积模型
相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。
解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。
面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。
模型1.梯子滑动模型
例1（2026八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米．
例2（2026·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？

例3（2026八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
模型2.轮船航行模型
例1（2026八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（ ）
A．35海里B．50海里C．60海里D．40海里
例2（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？(2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？
例3（2026八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上．
(1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；(2)求 C，P 两点之间的距离 ；
(3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域．
模型3.信号站（中转站）选择模型
例1（2026八年级上·浙江·专项）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等．(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求的度数．
例2（2026八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长．
例3（2026八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？
模型4.台风（噪音）、爆破模型
例1（2026八年级下·山东日照·阶段练习）如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
例2（2026七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
例3（2026八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
模型5.测超速、河宽模型
例1（2026八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号）
例2（2026八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？
模型6.风吹莲动模型
例1（2026八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（ ）
A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺
例2（2026八年级上·湖北·专项）[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（ ）
A．11.5尺B．12.5尺C．13.5尺D．14.5尺
例3（2026八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A．B．C．D．
模型7.折竹抵地模型
例1（2026八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
例2（2026八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ）
A．B．C．D．
例3（2026八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案：
课题：测量风筝的高度．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D．
测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米；
(1)求风筝的垂直高度；(2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长．
模型.8台阶上的地毯长度模型
例1（2026八年级上·重庆·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（ ）
A．B．C．D．
例2（2026八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．米B．米C．米D．米
例3（2026八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买．
模型.9不规则图形面积模型
例1（2026八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积；
例2（2025八年级上·湖北·专题练习）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？
例3（2026八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
1．（2026八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（）
A．3B．4C．5D．6
2．（2026八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（ ）
A．2米B．3米C．4米D．5米
3．（2026八年级下·浙江台州·期中）如图，圆柱形玻璃杯的底面直径．当吸管直立于杯底时，高出杯口，当吸管与点A，C接触时，杯外部分长，则吸管长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米B．12米C．16米D．24米
5．（2026八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米．
6．（2026八年级下·湖北黄石·期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）．
7．（2026八年级下·湖北武汉·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则
8．（2026八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)通过计算比较两条路线谁更短．
9．（2026八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，(1)求绳索的长度．(2)如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度．
10．（2026八年级上·江苏期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长．
11．（2026八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
(1)求的长；(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
12．（2026八年级上·湖北·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．
(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？
13．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：(1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由；(2)求观景台与观景台之间距离的长．
14．（2026八年级上·山东枣庄·阶段练习）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路的长度；(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用．
15.（2026八年级下·浙江台州·期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．(1)求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
(2)将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
16．（2026八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？
17．（2026八年级下·福建福州·期中）某占地面积为的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示，已知，，，，．
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道的长度；(2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由．
18．（2026八年级下·广东河源·期末）中国天文传统之一，就是“立表测影”，当用来观察季节或时间时：首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在中，，平分，．
(1)若“表”，，求的长；(2)连接，若，判断的形状，并说明理由．
19．（2026八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点．
(1)求的长；(2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？
20．（2026九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：；(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？