北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题07几何最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题07几何最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(原卷版+解析)试卷主要包含了将军饮马模型7，将军饮马模型12，将军遛马模型16等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用7
\l "_Tc22700" 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）7
\l "_Tc26551" 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） PAGEREF _Tc26551 \h 9
\l "_Tc23998" 模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型）12
\l "_Tc4134" 模型4.将军遛马（过桥）模型16
\l "_Tc18836" 20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Hern）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
（西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）

图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
（3）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）；

图1 图2 图3
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
（4）：将军造桥（过桥）模型
已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1（2026八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ．
例2（黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

例3（2026八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（2026八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
例2（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
例3（2026八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ．
例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ．
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型）
例1（2026八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例2（2026八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
例3．（2026八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5B．7C．8D．10
例4（2026八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
模型4.将军遛马与过桥模型
例1（2025·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ．
例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ．
例3（广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2B．1+3C．3+D．
例4（2025·江苏·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

1．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
2.（山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
3．（山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2026·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ．
6．（2026·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
7.（2026八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ．
8.（2026八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ．
9．（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________．
10.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
11.（2026八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
12．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
13.（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
14．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
15．（2025.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

16．（上·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
问题解决：如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？
如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．

数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
(1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值；(2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ．
17．（2026上·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
18．（2025·陕西榆林·三模）问题探究
(1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______；
(2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值；
问题解决
(3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值．
问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？