专题26.1 反比例函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.1 反比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义；
2. 能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

特别说明：

（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.

（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

以上三种表达式可据实际情况，恰当选择表达式会给我们解题带来很多方便。

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为： ()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.

【典型例题】

类型一、反比例函数中变量关系

1． 用解析式表示下列函数．

（1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数；

（2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可；

（2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可．

解：（1）

（2）

【点拨】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？

【答案】，y是x的反比例函数

【分析】铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可．

解：铺轨天数铁路长每天铺轨量，

，

∴是的反比例函数．

【点拨】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为，关键是得到与之间的函数关系式．

【变式2】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：

（1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化；

（2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化；

（3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；

（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；

（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．

解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间；

（2）根据1000=Sh得：长方体的高；

（3）根据题意，物体对地面的压强．

【点拨】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．

类型二、反比例函数的识别

2． 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？

，，，，，，．

【答案】，．

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），可以判定函数的类型．

解：y＝4x不是反比例函数，

不是反比例函数，

是反比例函数，

y＝6x＋1不是反比例函数，

不是反比例函数，

不是反比例函数，

由xy＝123，可得：

，

所以xy＝123是反比例函数．

综上：y是x的反比例函数的有：，，

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝k（k为常数，k≠0）．

举一反三：

【变式1】 如果是的反比例函数，那么也是的反比例函数吗？

【答案】是，理由见详解．

【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可．

解：如果是的反比例函数，那么也是的的反比例函数．理由如下：

若是的反比例函数，则，

可得：，

所以也是的反比例函数．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义：反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件．

【变式2】写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．

（1）底边为 3cm 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；

（2）一艘轮船从相距 200km 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；

（3）在检修 100m 长的管道时，每天能完成 10m，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．

【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数．

【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系．

解：（1） 根据三角形的面积公式可得 ，

所以不是反比例函数．

（2） 因为 ，

所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数．

（3） 因为 ，

所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式．

类型三、反比例函数中的参数

3．.函数y=（m﹣1）是反比例函数

（1）求m的值；

（2）判断点（，2）是否在这个函数的图象上．

【答案】(1) m=0；（2）点（，2）不在这个函数图象上．

分析：根据反比例函数的定义得到即可求出得值.

把代入反比例函数求得的值，即可判断.

解： 由题意得：

解得

（2）∵反比例函数

当

∴点不在这个函数图象上．

举一反三：

【变式1】已知函数是反比例函数，求的值．

【答案】．

【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可．

解：∵是反比例函数，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键．

【变式2】已知点P在（m，n）直线y＝﹣x+2上，也在双曲线y＝上，求m2+n2的值．

【答案】2

【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征、以及反比例函数图象上点的坐标特征得出、的值，再利用完全平方公式将原式变形即可得到答案．

解：∵点在直线上

∴

∵点在双曲线上

∴

∴．

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及整体代入法求代数式的值，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．

类型四、反比例函数的解析式

4．已知y与x成反比例，当x=1时，y=3，求y与x的函数表达式．

【答案】

【分析】设反比例函数为：，把，代入函数解析式求解即可.

解：设反比例函数为：，

根据题意得，

解得 ，

∴，

【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练的列出方程是解本题的关键.

举一反三：

【变式1】已知反比例函数的图像经过直线上的点，求m和k的值

【答案】；．

【分析】先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值．

解：把，代入的左右两边解得；

把，代入的左右两边解得．

【点拨】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键．

【变式2】反比例函数与一次函数的图像都过．

（1）求A点坐标；

（2）求反比例函数解析式．

【答案】(1)点A的坐标为（4，4）;   (2) y＝

【分析】（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标；

（2）再把点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可．

解：（1）将点A（n，4）代入y＝2x﹣4

得：2n﹣4＝4，

解得：n＝4，

∴点A的坐标为（4，4）．

（2）将点A（4，4）代入得：k＝16，

∴反比例函数解析式为y＝．

【点拨】本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键．

类型五、反比例函数的自变量取值范围和函数值

4．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上．

（1）求此反比例函数的解析式；

（2）若直线与线段相交，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）m的取值范围是．

【分析】（1）利用待定系数法，设出反比例函数的解析式为，把点或代入，即可求出的值，进而求出反比例函数的解析式．

（2）设是线段上任一点，根据点、可求出的取值范围．

解：（1）设所求的反比例函数的解析式是，

依题意得：，，

反比例函数解析式为．

（2）设P（x，y）是线段上任一点，则有，；

，，

所以m的取值范围是．

【点拨】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，及直线与反比例函数图象上线段相交时，直线解析式系数的取值范围，解题的关键在于利用已知的两个点确定m的取值范围．

举一反三：

【变式1】已知反比例函数（）的图像经过点．

(1)  求该函数表达式；

(2)  当时，求的值．

【答案】(1) ；  (2)

【分析】（1）把（-2，1）代入反比例函数中求出k的值，从而得到反比例函数解析式；

（2）把x=3代入解析式即可求得．

解：（1）∵反比例函数的图象经过点（-2，1）．

∴k=-2×1=-2，

∴反比例函数解析式为．

（2）把代入，得

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数的值，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

【变式2】已知反比例函数y＝－.

（1）写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；

（2）求当x＝－3时函数y的值；

（3）求当y＝－2时自变量x的值．

【答案】（1）-6，x≠0 （2）2  （3）3

分析：（1）直接利用比例系数的定义以及分式的性质得出即可；

（2）将x=-3代入原式求出即可；

（3）利用y=-2代入原式求出即可．

解：（1）这个函数的比例系数为：-6，

自变量的取值范围是：x≠0；

（2）当x=-3时，y=-=2；

（3）当y=-2时，

-2=-，

解得：x=3，

即自变量x的值为3．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的定义以及代数式求值，正确理解函数值的意义是解题关键．