2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第14讲 探索与表达规律（学生版+解析）学案

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【题型1 数字类规律探索】
1．已知下列各数：13，−38，515，−724，935，−1148……第10个分数是______．
2．观察这一列数：−14，37，−510，713，−916…，根据它们的排列规律写出第6个数是___________．
3．按规律排列的一组数：12,35,510,717⋯，按此规律第n个数为________．
4．有一列数按如下规律排列：1610,2518,3628,4940⋯⋯请你根据规律写出第6个数：______．
5．有一组算式：4+2，5+8，6+14，7+20，⋯那么，第100个算式的得数是________．
6．阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着−5,−2,1,4,7,⋯⋯照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________．
7．若一列数依次为1,3,7,15,31⋅⋅⋅，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______．
8．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是（ ）
A．9B．3C．7D．1
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；…………以此类推，则a2026=______．
10．观察a, −2a2, 3a3, −4a4, ⋯，根据这些式子的变化规律，可得第2026个式子为____________．
11．按一定规律排列的代数式：a−b，a3+b，a5−b，a7+b，……，第n个代数式是（ ）
A．a2n−1+bB．a2n−1+−1nbC．a2n+1−bD．a2n+1+−1nb
12．a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的“差倒数”，如2的“差倒数”是11−2=−1，－1的“差倒数”是11−−1=12，已知a1=−13,a2是a1的“差倒数”，a3是a2的“差倒数”，a4是a3的“差倒数”，…，依次类推，则a2026=______．
13．已知整数a1、a2、a3、a4、···满足下列条件：a1=1，a2=−a1+1，a3=−a2+2，a4=−a3+3，⋅⋅⋅，an+1=−an+n（n为正整数），以此类推，则a2026的值为（ ）
A．−1012B．−1013C．−1014D．−2024
14．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）．
A．135B．118C．152D．169
15．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，⋯,则82022的个位数字是____．
16．观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807⋯根据其中的规律可得71+72+73+⋯+72026的结果的个位数字是__________．
17．第1个等式：11×3=12×1−13；
第2个等式：13×5=12×13−15；
第3个等式：15×7=12×15−17；
第4个等式：17×9=12×17−19．
(1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________；
(2)求11×5+15×9+19×13+⋯+12021×2025的值．
18．在数学活动中，小明为了求2+22+23⋯+2n−1+2n的值，写出下列解题过程．
设：S=2+22+23⋯+2n−1+2n①
两边同乘以2得：
2S=22+23⋯+2n−1+2n+2n+1②
由②−①得：S=2n+1−2
(1)应用结论：2+22+23⋯+2100=______；
(2)拓展探究：
①求：4+42+43⋯+4n−1+4n的值；
②求：12+122+123+124+⋯+12n的值．
19．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题．
(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”；
(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数；
(3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由．
20．如图①是2024年11月份的日历，小明在其中画出一个3×3的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“a+d−b+c”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图①中5+21−7+19的结果为________；将3×3的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现a+d−b+c的值为________；
(2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整．
设a=x，则b=________，c=________，d=________．
求a+d−b+c的值．
(3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．
在日历中用“Y型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“a+d−b+c”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
【题型2 图形类规律探索】
21．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ）
A．15B．17C．19D．21
22．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（ ）
A．16B．19C．22D．25
23．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（ ）
A．64B．65C．66D．67
24．观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（ ）
A．18B．19C．21D．22
25．如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第n个图案中棋子的总个数用含n的代数式表示为（ ）
A．5n−1B．5n+1C．3n+1D．3n−1
26．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（ ）
A．17B．19C．21D．23
27．按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）
A．148个B．125个C．126个D．128个
28．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中棋子的个数为（ ）
A．51B．50C．49D．48
29．将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第n个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）．
30．用木棒按照如下方式摆图形．
摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒．
31．用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米．
32．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成，⋯，那么第⑤号图由______个八分音符组成，第n号图由______个八分音符组成．
33．天气符号是代表各种天气现象、云状等的专用符号．如图，将形状大小完全相同的云朵符号按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5个云朵符号，第2个图形中有6个云朵符号，第3个图形中有7个云朵符号，第4个图形中有8个云朵符号，…，依此规律，第7个图形中云朵符号有____个．
34．把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中正方形的个数是_____．
35．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形．
36．下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____．
37．我们用若干个大小相同的三角形按照一定的规律摆放得到了如图所示的图形，其中第1个图形中有5个三角形，第2个图形中有11个三角形，第3个图形中有19个三角形，第4个图形中有29个三角形，则第8个图形中三角形的个数为________．
38．用长度相等的火柴棒按如图所示的规律拼接图形，则第n个图形需要_____根火柴棒．（用含n的代数式表示）
39．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼成若干图案：则第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多________​个（用含n的代数式表示）．
40．如图，一张桌子每边可以坐2人，一共可以坐8个人，用这种相同的桌子拼成一排．
(1)2张桌子拼成的长条桌可以坐______人，3张桌子拼成的长条桌可以坐______人；
(2)用含n的代数式表示n张桌子拼成的长条桌可以坐多少人？
(3)如果长条桌要提供100个座位，则最少需要多少张这样的桌子？
（解析版）第14讲 探索与表达规律（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【题型1 数字类规律探索】
1．已知下列各数：13，−38，515，−724，935，−1148……第10个分数是______．
【答案】−19120
【分析】本题为数字规律探究题，分别分析符号、分子、分母的变化规律，推导得到第n个数的通用表达式，再代入n=10计算即可得到结果．
【详解】解：分别探究符号、分子、分母的规律：
1、符号规律：奇数项为正，偶数项为负，可得第n个数的符号为−1n+1；
2、分子规律：已知分子依次为：1，3，5，7，9，11⋯，可得第n个数的分子为2n−1；
3. 分母规律：已知分母依次为：3=22−1，8=32−1，15=42−1，24=52−1 ⋯，可得第n个数的分母为n+12−1，
因此，第n个数的表达式为−1n+1⋅2n−1n+12−1，
当n=10时，代入计算得：−110+1⋅2×10−110+12−1=−19120．
故答案为：−19120．
2．观察这一列数：−14，37，−510，713，−916…，根据它们的排列规律写出第6个数是___________．
【答案】1119
【分析】本题考查数字的变化规律．分别从符号、分子、分母三个方向找出数字的排列规律．利用规律求解即可．
【详解】解：观察数列可得排列规律：
符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正，
分子规律：第n个数的分子为2n−1，
分母规律：第n个数的分母为3n+1，
∵第6个数位于偶数位置．
∴符号为正．分子为2×6−1=11．分母为3×6+1=19．
∴第6个数为1119．
故答案为：1119．
3．按规律排列的一组数：12,35,510,717⋯，按此规律第n个数为________．
【答案】2n−1n2+1
【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号n的变化规律，归纳得到第n个数的表达式．
【详解】解：观察已知排列的数：
第1个数：12=2×1−112+1；
第2个数：35=2×2−122+1；
第3个数：510=2×3−132+1；
第4个数：717=2×4−142+1；
…；
按此规律，可得第n个数的分子为2n−1，分母为n2+1．
∴第n个数为2n−1n2+1．
故答案为：2n−1n2+1．
4．有一列数按如下规律排列：1610,2518,3628,4940⋯⋯请你根据规律写出第6个数：______．
【答案】8170
【分析】分别拆分分子和分母，寻找各自的变化规律，得到第n个数的表达式，再代入n=6计算得到结果．
【详解】解：有一列数按如下规律排列：1610,2518,3628,4940⋯，
观察分子部分：16=42，25=52，36=62，49=72，可得第n个数的分子为(n+3)2；
观察分母部分：10=2×5=(1+1)×(1+4)，
18=3×6=(2+1)×(2+4)，
28=4×7=(3+1)×(3+4)，
40=5×8=(4+1)×(4+4)，
⋅⋅⋅
可得第n个数的分母为n+1)×(n+4，
当n=6时，
分子：(6+3)2=81，
分母：(6+1)×(6+4)=7×10=70，
因此第6个数是8170．
故答案为：8170．
5．有一组算式：4+2，5+8，6+14，7+20，⋯那么，第100个算式的得数是________．
【答案】699
【分析】分别找出每个算式中第一个加数和第二个加数的变化规律，根据规律求出第100个算式的两个加数，再计算和即可．
【详解】解：观察算式可得第一个加数依次为4，5，6，7，…，后一项比前一项大1，
则第n个算式的第一个加数为4+(n−1)×1=n+3，
因此第100个算式的第一个加数为100+3=103；
第二个加数依次为2，8，14，20，…，后一项比前一项大6，
则第n个算式的第二个加数为2+(n−1)×6=6n−4，
因此第100个算式的第二个加数为6×100−4=596；
所以第100个算式的得数为103+596=699．
故答案为：699．
6．阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着−5,−2,1,4,7,⋯⋯照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________．
【答案】6070
【分析】先观察已知台阶上数字的变化，找出数字的排列规律，推导出第n个台阶上数字的代数式，再代入n=2026计算即可．
【详解】解：观察已知数据可得
第1个台阶上的数：−5=3×1−8，
第2个台阶上的数：−2=3×2−8，
第3个台阶上的数：1=3×3−8，
第4个台阶上的数：4=3×4−8，
...；
由此可得规律，从下到上第n个台阶上的数字为3n−8，
将n=2026代入得3×2026−8=6070．
故答案为：6070．
7．若一列数依次为1,3,7,15,31⋅⋅⋅，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______．
【答案】511
【分析】根据题意给出的递推关系，总结该列数的规律，再代入n=9计算即可得到结果．
【详解】解：由题意可得，第1个数为1=21−1，
第2个数为3=22−1，
第3个数为7=23−1，
第4个数为15=24−1，
．．．，
可推得第n个数为2n−1，
则第9个数为29−1=512−1=511．
故答案为：511．
8．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是（ ）
A．9B．3C．7D．1
【答案】A
【分析】本题为数字规律探究题，先根据题意写出前若干个数，找出循环周期，再用目标序号除以周期，根据结果判断对应数字即可.
【详解】解：根据题意计算得：
∵a1=3，a2=7 从第三个数开始，每个数是前两个数之积的个位数字
∴3×7=21 ，得a3=1
7×1=7，得a4=7
1×7=7，得a5=7
7×7=49，得a6=9
7×9=63，得a7=3
9×3=27，得a8=7
...
由此可知，这列数每6个数为一个循环周期，
∵2016÷6=336 ，刚好整除，
∴a2016等于一个周期内的第6个数，即a2016=9 .
故选：A．
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；…………以此类推，则a2026=______．
【答案】26
【分析】根据题意分别求出n1,n2,n3,n4以及a1,a2,a3,a4的值，由此发现an以26，65，122三个数为一个循环，即可求解．
【详解】解：根据题意得：a1=52+1=26，
∴n2=2+6=8，
∴a2=82+1=65，
∴n3=6+5=11，
∴a3=112+1=122，
∴n4=1+2+2=5，
∴a4=52+1=26，
……，
由此发现，an以26，65，122三个数为一个循环，
∵2026÷3=675⋯1，
∴a2026=26．
10．观察a, −2a2, 3a3, −4a4, ⋯，根据这些式子的变化规律，可得第2026个式子为____________．
【答案】−2026a2026
【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子a,−2a2,3a3,−4a4,…，分别分析符号、系数的绝对值、字母a的指数的变化规律，进而推导出第n个式子的通用表达式，再将n=2026代入，求出第2026个式子．
【详解】解：当n=1时，−11+1×1×a1=a，
当n=2时，−12+1×2×a2=−2a2，
当n=3时，−13+1×3×a3=3a3，
当n=4时，−14+1×4×a4=−4a4，
依此类推，
∴第n个式子为−1n+1nan，
将n=2026代入得，
第2026个式子为−12026+1×2026a2026=−2026a2026．
故答案为：−2026a2026．
11．按一定规律排列的代数式：a−b，a3+b，a5−b，a7+b，……，第n个代数式是（ ）
A．a2n−1+bB．a2n−1+−1nbC．a2n+1−bD．a2n+1+−1nb
【答案】B
【分析】观察a的指数和b的系数的规律可得，a的指数是从1开始递增的奇数，b的系数是±1的循环形式，写出对应的代数式即可．
【详解】解：由题意可得，
第一个代数式，a的指数为2×1−1=1，b的系数为−11=−1；
第二个代数式，a的指数为2×2−1=3，b的系数为−12=1；
第三个代数式，a的指数为2×3−1=5，b的系数为−13=−1；
⋯
∴第n个代数式为a2n−1+−1nb．
故选：B．
12．a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的“差倒数”，如2的“差倒数”是11−2=−1，－1的“差倒数”是11−−1=12，已知a1=−13,a2是a1的“差倒数”，a3是a2的“差倒数”，a4是a3的“差倒数”，…，依次类推，则a2026=______．
【答案】−13
【分析】本题考查数字的变化类规律问题，根据差倒数的定义计算出前几项，找出循环周期，再通过计算2026除以周期的余数，即可确定a2026的值．
【详解】解：由题意得a1=−13，
∴a2=11−−13=34，
∴a3=11−34=4，
∴a4=11−4=−13，……，
可得这列数每3个数为一个周期循环，
∵2026÷3=675⋯⋯1，
∴a2026=a1=−13．
13．已知整数a1、a2、a3、a4、···满足下列条件：a1=1，a2=−a1+1，a3=−a2+2，a4=−a3+3，⋅⋅⋅，an+1=−an+n（n为正整数），以此类推，则a2026的值为（ ）
A．−1012B．−1013C．−1014D．−2024
【答案】C
【分析】本题考查有理数运算与数字规律探究，先计算前几项总结规律，再代入计算a2026即可.
【详解】解：∵ a1=1，
∴a2=−a1+1=−1+1=−2，
a3=−a2+2=−−2+2=0，
a4=−a3+3=−0+3=−3，
a5=−a4+4=−−3+4=−1，
a6=−a5+5=−−1+5=−4，
观察可得：当n为偶数时，an=−n2+1，
∴a2026=−20262+1=−1014．
14．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）．
A．135B．118C．152D．169
【答案】A
【分析】观察可知，右上角的数=2×左下角的数，左下角的数=左上角的数+1，根据右上角的数求a、b的值，再判断出右下角的数=左下角的数与右上角的数的积+左上角的数，得到b×16+a=x，即可求解．
【详解】如图，

∵左下角的数依次为2、3、4……，右上角的数依次为4、6、8……，
∴右上角的数=2×左下角的数，即2b=16，解得：b=8，
∵左上角的数依次为1、2、3……，左下角的数依次为2、3、4……，
∴左下角的数=左上角的数+1，即b=a+1，解得：a=7，
∵根据(1)可得：2×4+1=9，
根据(2)可得：3×6+2=20，
根据(3)可得：4×8+3=35，
∴推出第(n)个式子为：b×16+a=x，
∴x=8×16+7=135．
15．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，⋯,则82022的个位数字是____．
【答案】4
【分析】先探究8的正整数次幂的个位数字的循环规律，确定循环周期，再计算2022除以循环周期的余数，根据余数得到82022的个位数字．
【详解】解：根据题意，得81=8，个位数字为8
82=64，个位数字为4
83=512，个位数字为2
84=4096，个位数字为6
85=32768，个位数字为8
86=262144，个位数字为4
⋯
观察可得，8的正整数次幂的个位数字以8,4,2,6为一个循环周期重复出现，周期为4
∵2022÷4=505⋯⋯2
∴82022的个位数字与循环周期中第2个数的个位数字相同，即为4.
16．观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807⋯根据其中的规律可得71+72+73+⋯+72026的结果的个位数字是__________．
【答案】6
【分析】根据题意可得71,72,73,⋯,7n,⋯这列数每4个数为一个循环，它们的个位数依次是7，9，3，1，则可得到每个周期内的4个数的个数数字之和的个位数字为0，求出2026除以4的商和余数即可得到答案．
【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807……
∴71,72,73,⋯,7n,⋯这列数的个位数字每4个数为一个循环，它们的个位数字依次是7，9，3，1，
∵7+9+3+1=20，
∴每个周期内，4个数的个位数字之和为20，即这4个数的个位数字之和的个位数字为0，
∵2026÷4=506…2，
∴从71到72024，共包含506个完整周期，其和的个位数字为0，72025的个位数字与71相同，为7，72026的个位数字与72相同，为9，
∵0+7+9=16，
∴71+72+⋯+72026的个位数字为6．
17．第1个等式：11×3=12×1−13；
第2个等式：13×5=12×13−15；
第3个等式：15×7=12×15−17；
第4个等式：17×9=12×17−19．
(1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________；
(2)求11×5+15×9+19×13+⋯+12021×2025的值．
【分析】（1）观察所给的式子即可求出；
（2）根据题意把原式变形为141−15+15−19+⋯+12021−12025，即可求解．
【详解】（1）解：第5个等式为19×11=1219−111
（2）解：11×5+15×9+19×13+⋯+12021×2025
=141−15+1415−19+⋯+1412021−12025
=141−15+15−19+⋯+12021−12025
=14×20242025
=5062025
18．在数学活动中，小明为了求2+22+23⋯+2n−1+2n的值，写出下列解题过程．
设：S=2+22+23⋯+2n−1+2n①
两边同乘以2得：
2S=22+23⋯+2n−1+2n+2n+1②
由②−①得：S=2n+1−2
(1)应用结论：2+22+23⋯+2100=______；
(2)拓展探究：
①求：4+42+43⋯+4n−1+4n的值；
②求：12+122+123+124+⋯+12n的值．
【分析】（1）将n=100代入2+22+23+…+2n−1+2n=2n+1−2中即可得解；
（2）①模仿题目中的算法计算即可；
②模仿题目中的算法计算即可.
【详解】（1）解：由题干得：2+22+23+…+2n−1+2n=2n+1−2，
将n=100代入2+22+23+…+2n−1+2n=2n+1−2得：2+22+23+…+299+2100=2101−2；
（2）解：①设S=4+42+43⋯+4n−1+4n ①，
两边同乘4得：4S=42+43+44⋯+4n+4n+1 ②，
由②−①得：3S=4n+1−4，
∴S=4n+1−43；
②设S=12+122+123+124+⋯+12n ①，
两边同乘2得：2S=1+12+122+123+⋯+12n−1 ②，
由②−①得：S=1−12n．
19．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题．
(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”；
(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数；
(3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由．
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键．
（1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答；
（2）将6个数相加即可解答；
（3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，a=7时， a−7=0，日期数字中不可能出现0；当a=26时，a+6=32，日期数字中不可能；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）a−7+a−6+a−1+a+a+5+a+6=6a−3=32a−1
所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数；
（3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 a=7时， a−7=0，日期数字中不可能出现0；当a=26时，a+6=32，a=7时， a−7=0，日期数字中不可能出现0；当a=26时，a+6=32，日期数字中不可能出现32．
20．如图①是2024年11月份的日历，小明在其中画出一个3×3的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“a+d−b+c”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图①中5+21−7+19的结果为________；将3×3的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现a+d−b+c的值为________；
(2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整．
设a=x，则b=________，c=________，d=________．
求a+d−b+c的值．
(3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．
在日历中用“Y型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“a+d−b+c”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键．
（1）根据有理数的加减混合运算法，进行计算可求出5+21−7+19，根据日历排序规律即可求出a+d−b+c；
（2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差1，每一列相邻数字之间相差7，设a=x，依次得到b，c，d的代数式，进行计算，即可；
（3）据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“Y型框”框住位置如图所示的四个数，设a=x，依次得到b，c，d的代数式，进行计算，即可．
【详解】（1）解：5+21−7+19
=26−26
=0；
根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差1，每一列相邻数字之间相差7，
∴b=a+2，c=a+14，d=a+16，
∴a+d−b+c
=a+a+16−a+2+a+14
=2a+16−2a−16
=0．
故答案为：0，0．
（2）解：每一行相邻数字之间相差1，每一列相邻数字之间相差7，
设a=x，
∴b=x+2，c=x+14，d=x+16，
∴a+d−b+c
=x+x+16−x+2+x+14
=2x+16−2x−16
=0．
故答案为：x+2，x+14，x+16，(a+d)−(b+c)=0．
（3）解：a+d−b+c的值均为5，理由如下：
设a=x，则b=x+2，c=x+8，d=x+15，
∴(a+d)−(b+c)
=(x+x+15)−(x+2+x+8)
=(2x+15)−(2x+10)
=2x+15−2x−10
=5．
【题型2 图形类规律探索】
21．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ）
A．15B．17C．19D．21
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第①个图形中圆点的个数为：3=1×2+1，
第②个图形中圆点的个数为：5=2×2+1，
第③个图形中圆点的个数为：7=3×2+1，
…，
所以第n个图形中圆点的个数为2n+1．
当n=8时，
第⑧个图形中圆点的个数为2×8+1=17．
故选：B．
22．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（ ）
A．16B．19C．22D．25
【答案】C
【详解】解：观察图形可知：第1个图案由4个基本图形组成，4=3×1+1；
第2个图案由7个基本图形组成，7=3×2+1；
第3个图案由10个基本图形组成，10=3×3+1；
…
∴第n个图案中基本图形的个数为3n+1；
当n=7时，基本图形的个数为3×7+1=22．
故选：C．
23．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（ ）
A．64B．65C．66D．67
【答案】B
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点的个数为1×1+1；第2个图形共有圆点的个数为2×2+1；第3个图形共有圆点的个数为3×3+1；…；则第n个图形共有实心圆的个数为n2+1，进而得出答案．
【详解】解：第1个图形共有圆点的个数为1×1+1；
第2个图形共有圆点的个数为2×2+1；
第3个图形共有圆点的个数为3×3+1；
……；
则第n个图形共有实心圆的个数为n2+1，
故图⑧中圆点的个数是：82+1=65．
故选：B．
24．观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（ ）
A．18B．19C．21D．22
【答案】B
【分析】根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论．
【详解】解：第1个图形中棋子的个数为4=1+3；
第2个图形中棋子的个数为7=1+3×2；
第3个图形中棋子的个数为10=1+3×3；
∴第n个图形中棋子的个数为1+3n
∴第6个图形中棋子的个数为1+3×6=19．
故选：B．
25．如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第n个图案中棋子的总个数用含n的代数式表示为（ ）
A．5n−1B．5n+1C．3n+1D．3n−1
【答案】A
【分析】根据后面的图案都比他前面一个图案中点的个数多5即可求解．
【详解】解：第一个图案中有4=5−1个点，
第二个图案中有9=5×2−1个点，
第三个图案中有14=5×3−1个点，
第四个图案中有19=5×4−1个点，
依次类推，
第n个图案中有5n−1个点．
故选：A．
26．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（ ）
A．17B．19C．21D．23
【答案】C
【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第①个图形中圆点的个数为：5=2×1+1+1，
第②个图形中圆点的个数为：7=2×2+1+1，
第③个图形中圆点的个数为：9=2×3+1+1，
…，
所以第n个图形中圆点的个数为2×n+1+1．
当n=9时，第⑨个图形中圆点的个数为2×9+1+1=21．
故选：C．
27．按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）
A．148个B．125个C．126个D．128个
【答案】B
【分析】观察图形可知，每个图案由中间的正方形点阵和四周固定的4个☆组成，找出中间☆个数与图案序号的关系即可得出规律，进而求解．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案中☆的个数为1−12+4=4；
第2个图案中☆的个数为2−12+4=5；
第3个图案中☆的个数为3−12+4=8；
第4个图案中☆的个数为4−12+4=13；
……
∴第n个图案中☆的个数为n−12+4，
当n=12时，☆的个数为12−12+4=112+4=121+4=125．
故选：B．
28．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中棋子的个数为（ ）
A．51B．50C．49D．48
【答案】B
【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．
【详解】解：∵图1中棋子有5=1+2+1×2（个），
图2中棋子有10=1+2+3+2×2（个），
图3中棋子有16=1+2+3+4+3×2（个），
……，
∴第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，
∴图7中棋子有1+2+3+4+5+6+7+8+7×2=50（个）．
故选：B．
29．将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第n个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）．
【答案】3n−2/−2+3n
【分析】根据前几个图形中黑色棋子的变化规律可得答案．
【详解】解：根据图形，第1个图形黑色棋子有1=3×1−2个
第2个图形黑色棋子有4=3×2−2个，
第3个图形黑色棋子有7=3×3−2个，
第4个图形黑色棋子有10=3×4−2个，
……
以此类推，第n个图形黑色棋子有3n−2个．
30．用木棒按照如下方式摆图形．
摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒．
【答案】141
【分析】根据图形得出规律摆n个八边形需要7n+1根木棒，即可得出结果．
【详解】解：由图形得：
摆1个八边形需要8根木棒，
摆2个八边形需要8+7×2−1=15根木棒，
摆3个八边形需要8+7×3−1=22根木棒，
…，
∴摆n个八边形需要8+7n−1=7n+1根木棒，
∴摆20个八边形需要7×20+1=141根木棒．
31．用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米．
【答案】 6.28 1.57n
【分析】先列举前3幅图的阴影的面积，以此类推可得第4幅图的阴影面积，然后再归纳规律即可解答．
【详解】解：第1幅图的阴影面积是：3.14×12×12；
第2幅图的阴影面积是： 3.14×12×22；
第3幅图的阴影面积是：3.14×12×32；
由此可知，第4幅图的阴影面积是：3.14×12×42=3.14×1×2=6.28（平方厘米）；
规律：第n幅图的阴影面积是3.14×12×n2=1.57n（平方厘米）；
故答案为：6.28；1.57n．
32．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成，⋯，那么第⑤号图由______个八分音符组成，第n号图由______个八分音符组成．
【答案】 13 2n+3/3+2n
【分析】根据题意①号图八分音符有5=3+2×1（个），②号图八分音符有7=3+2×2（个），③号图八分音符有9=3+2×3（个），⋯，则第n号图八分音符有3+2n（个），然后当n=5时代入即可求解．
【详解】解：①号图八分音符有5=3+2×1（个），
②号图八分音符有7=3+2×2（个），
③号图八分音符有9=3+2×3（个），
⋯，
所以第n号图八分音符有3+2n（个），
当n=5时，第⑤号图八分音符有3+2×5=13（个），
故第⑤号图由13个八分音符组成，第n号图由3+2n个八分音符组成．
故答案为：13；3+2n．
33．天气符号是代表各种天气现象、云状等的专用符号．如图，将形状大小完全相同的云朵符号按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5个云朵符号，第2个图形中有6个云朵符号，第3个图形中有7个云朵符号，第4个图形中有8个云朵符号，…，依此规律，第7个图形中云朵符号有____个．
【答案】11
【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．
【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的云朵符号是4+1=5个，
第2个图形中含有的云朵符号是4+2=6个，
第3个图形中含有的云朵符号是4+3=7个，
第4个图形中含有的云朵符号是4+4=8个，
归纳可得：第n个图形中含有的云朵符号是4+n个，（其中n为正整数），
则第7个图形中含有的云朵符号是4+7=11个．
故答案为：11．
34．把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中正方形的个数是_____．
【答案】25
【分析】观察可知，第1个图案中有5个正方形，后一个图案比前一个图案多4个正方形，据此进行作答即可．
【详解】解：第1个图案中有1+1×4=5个正方形，
第2个图案中有1+2×4=9个正方形，
第3个图案中有1+3×4=13个正方形，
……
∴第n个图案中有(1+4n)个正方形，
∴第6个图案中正方形的个数为1+6×4=25个正方形．
35．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形．
【答案】4054
【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026个图案中三角形的个数．
【详解】解：第①个图案有4个三角形，即4=2×1+2
第②个图案有6个三角形，即6=2×2+2
第③个图案有8个三角形，即8=2×3+2
…
第n个图案三角形个数为2n+2，
所以第2026个图案有三角形的个数为2×2026+2=4054．
36．下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____．
【答案】104
【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号n的平方与常数4的和，归纳出第n个图形的通项公式，代入n=10进行计算即可．
【详解】解：图①中棋子数量为12+4=5，
图②中棋子数量为22+4=8，
图③中棋子数量为32+4=13，
图④中棋子数量为42+4=20， ⋯，
由此规律可知，第n个图形中棋子的数量为n2+4，
当n=10时，棋子数量为102+4=100+4=104．
37．我们用若干个大小相同的三角形按照一定的规律摆放得到了如图所示的图形，其中第1个图形中有5个三角形，第2个图形中有11个三角形，第3个图形中有19个三角形，第4个图形中有29个三角形，则第8个图形中三角形的个数为________．
【答案】89
【分析】根据前4个图形中三角形的个数的变化情况找到规律，根据规律得到第8个图形中三角形的个数．
【详解】解：∵第1个图形中有1+12+1=5个三角形，
第2个图形中有2+12+2=11个三角形，
第3个图形中有3+12+3=19个三角形，
第4个图形中有4+12+4=29个三角形，
⋯，
根据规律可得：第8个图形中三角形的个数为8+12+8=81+8=89个．
38．用长度相等的火柴棒按如图所示的规律拼接图形，则第n个图形需要_____根火柴棒．（用含n的代数式表示）
【答案】8n+4
【分析】第１个图有12根火柴，第2个图有12+8根火柴，以此类推可求第n个图有多少根火柴．
【详解】解：第1个图有12根火柴，
第2个图有12+8根火柴，
第3个图有12+8+8根火柴，
所以第n个图有12＋8n−1＝8n＋4 根火柴．
39．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼成若干图案：则第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多________​个（用含n的代数式表示）．
【答案】n−1
【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．
【详解】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4（个），正四边形的个数为6=1+5（个）；
第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4（个），正四边形的个数为11=1+5×2（个）；
第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4（个），正四边形的个数为16=1+5×3（个）；
…；
第n个图案正三角形个数为2+4n（个），正四边形的个数为1+5n（个），
第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多1+5n−4n+2=n−1个．
40．如图，一张桌子每边可以坐2人，一共可以坐8个人，用这种相同的桌子拼成一排．
(1)2张桌子拼成的长条桌可以坐______人，3张桌子拼成的长条桌可以坐______人；
(2)用含n的代数式表示n张桌子拼成的长条桌可以坐多少人？
(3)如果长条桌要提供100个座位，则最少需要多少张这样的桌子？
【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是理解题意；
（1）根据图形可直接进行求解；
（2）根据（1）可知每增加一张桌子，人数就增加4人，进而可得规律；
（3）根据（2）中规律可进行求解．
【详解】（1）解：由图可知：2张桌子拼成的长条桌可以坐8+4=12（人）；
3张桌子拼成的长条桌可以坐12+4=16（人）；
故答案为12，16；
（2）解：由（1）可知：
1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐8+4人，3张桌子可以坐8+4+4人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐8+4n−1=4n+4（人）；
答：n张桌子拼成的长条桌可以坐4n+4人；
（3）解：由（2）可知：4n+4=100，
∴n=24，
答：最少需要24张这样的桌子．
a−7
a−6
a−1
a
a+5
a+6