2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第09讲 代数式（学生版+解析）学案

这是一份2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第09讲 代数式（学生版+解析）学案，共3页。学案主要包含了新教材人教版，知识点1 代数式，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】
模块二 代数式
问题1：列车在冻土地段的行驶速度是10 km/h，则在冻土地段行驶2 h可行驶多少千米？a h呢？
问题2：长方形的长是a，宽是b，这个长方形的周长l是多少？面积S呢？
问题3：全班共有学生x人，其中女生占48%，女生人数比男生人数少多少人？
【知识点1 代数式】
1．用含字母的式子表示数
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.
用含字母的式子表示数的书写规则:
（1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”;
（2）字母与数相乘时,数通常写在字母的前面;
（3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数;
（4）字母与字母相除时,要写成分数的形式；
（5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号.
2．代数式的概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
3．代数式的意义
根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义.
4．列代数式
把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子a-b，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即aa−b（填完整的代数式）.
5．正比例关系和反比例关系
（1）正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值,且k≠0），正比例关系可以用yx=k来表示，其中k叫作比例系数.
（2）反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值,且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=kx来表示，其中k叫作比例系数.
【题型1 代数式的概念】
【例1】在式子5，x＝2，a，a+b，12，m+n＞0，中，属于代数式的有（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】在式子x﹣5，2ab2，C＝πd，2x，a+2＞b中，代数式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】在式子n﹣3，a2b3，m+s＜2，1+80%t，﹣xy，S＝ab中，代数式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】下列式子是代数式的有（ ）
①m2+n2；②mn；③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x﹣2y＝1；⑦m2−1；⑧x﹣2≥0．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【题型2 代数式的书写】
【例2】有下列五个式子：①a•2026；②xy+16；③10÷a（a不等于0）；④119a；⑤﹣n；其中不符合代数式的书写格式的为（ ）
A．①③⑤B．②③④C．①③④D．②④⑤
【变式2-1】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
①113x2y；②ab÷c3；③2mn；④a2−b25；⑤2（m+n）；⑥mb•4；⑦a﹣3千米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-2】下列代数式中符合代数式书写要求的有（ ）
①113x2y；②ab÷c2；③2mn；④mb•4；⑤2（m+n）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-3】下列各式：①113x；②20%x；③4﹣b÷c；④m2−n26；⑤x﹣y千克，不符合代数式书写要求的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【题型3 代数式的意义】
【例3】根据你的生活经验，下列选项中能正确解释代数式a﹣3b的是（ ）
A．小明每季度有零花钱a元，拿出b 元捐给希望工程，平均每月剩余的零花钱
B．初一（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，班级剩余的人数
C．某种汽车油箱装满油为a 升，每小时耗油b 升，行驶了3 个小时，油箱剩余油量
D．某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3 件可以省下的钱
【变式3-1】对于式子10a+10b的解释，错误的是（ ）
A．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，10小时后甲、乙相遇，甲每小时行akm，乙每小时行bkm，则A、B两地的距离为（10a+10b）km
B．甲、乙两个工程队分别从A、B两地修路，10个月修完，甲工程队每月修akm，乙工程队每月修bkm，则A、B两地的距离为（10a+10b）km
C．甲型计算器每个a元，乙型计算器每个b元，则买甲、乙两种计算器各10个的总钱数为（10a+10b）元
D．两个长方形宽都是10m，长分别为am和bm，则这两个长方形的面积和为（10a+10b）m2
【变式3-2】原价为a元的衣服打折后以[（1﹣40%）a﹣20]元出售，下列说法中，能正确表示该衣服售价的是（ ）
A．原价打4折后再减20元
B．原价减20元后再打4折
C．原价打6折后再减20元
D．原价减20元后再打6折
【变式3-3】甲，乙两商场以相同的价格出售同样的商品，当购物金额超出一定数额后，各自推出不同的优惠方案，若在两个商场购买x（x＞100）元的商品，在甲商场需付费[100+0.9（x﹣100）]元，在乙商场需付费[50+0.95（x﹣50）]元，下列关于两个商场优惠方案的说法正确的是（ ）
A．购买金额不超过100元时，两个商场都不优惠
B．购买金额超过50元时，两个商场都有优惠
C．购买金额超过100元时，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费
D．购买金额超过50元时，超出50元的部分，乙商场按95%收费
【题型4 列代数式】
【例4】一个两位数，个位上的数字为m，十位上的数字为n，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为（ ）
A．10n+mB．100n+mC．nmD．100m+n
【变式4-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是a cm．则窗户的外框的总长为（ ）
A．（10a+2πa）cmB．（8a+2πa）cm
C．（6a+2πa）cmD．（6a+πa）cm
【变式4-2】为了合理利用淡水资源，某市自来水的收费标准规定：当每户居民每月的用水量不超过5立方米时，按每立方米m元收费；超过5立方米时，超过的部分按每立方米n（n＞m）元收费，小亮家十二月份共用水8.5立方米，应缴水费为（ ）
A．8.5n元B．（m+8.5n）元
C．（5m+8.5n）元D．（5m+3.5n）元
【变式4-3】张老板以每颗a元的单价买进水蜜桃100颗，现以每颗比单价多20%的价格卖出80颗后，再以每颗比单价低b元的价格将剩下的20颗卖出，则全部水蜜桃共卖（ ）
A．[80a+20（a﹣b）]元
B．[80（1+20%）a+20b]元
C．[100（1+20%）a﹣20（a﹣b）]元
D．[80（1+20%）a+20（a﹣b）]元
【题型5 正比例和反比例】
【例5】下面各种关系中，成反比例关系的是（ ）
A．铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量
B．如果5x＝8y，那么x和y
C．长方形的面积一定，它的长和宽
D．圆的面积一定，它的半径和圆周率
【变式5-1】甲、乙是两个成反比例关系的量，当甲减少20%时，乙（ ）
A．增加20%B．减少20%C．增加25%D．减少25%
【变式5-2】下面各图中，能表示正比例关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个、…正方形，如图所示．
（1）把表格填完整：
（2）正方形个数为6时，每个小正方形的边长是 分米，每个小正方形的面积是 平方分米．
（3）正方形的个数与边长 ；正方形的边长与总面积 ．（填“成正比例关系”“成反比例关系”或“不成比例关系”）
（4）若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系： ．
【题型6 求代数式的值】
【例6】若a2+2a＝1，则3a2+6a+2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式6-1】已知2x﹣y＝4，则整式6﹣4x+2y的值为（ ）
A．﹣2B．14C．2D．10
【变式6-2】若a﹣3b＝﹣5，则2（a﹣3b）2+3b﹣a﹣15＝ ．
【变式6-3】若a﹣b＝2，a﹣c＝1，则（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2＝ ．
【题型7 在实际问题中求代数式的值】
【例7】某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？
【变式7-1】如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am，计算：
（1）窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）窗户内外框的总长是多少？
（3）如果窗户上安装的是玻璃，购买玻璃的费用是40元/m2，购买窗框的费用是24元/m，当a＝0.5时，制作一扇窗户需要的费用是多少元？（取π＝3）．
【变式7-2】小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中b＜a（单位：米）．
（1）这套住房的建筑总面积是 平方米；（用含a、b的式子表示）
（2）当a＝5，b＝4时，求出小语家这套住房的具体面积．
（3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由．
【变式7-3】本学期的十月份，正是秋高气爽的时节，某学校七年级甲班的4名老师决定带领本班m名学生去长沙县某茶叶庄园参加秋季劳动实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择：
方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠．
（1）若该班级按方案A购票，4名老师全价购票的总费用为 元，m名学生半价购票的总费用为 元；若该班级按方案B购票，4名老师按6折优惠购票总费用为 元，m名学生按6折优惠购票总费用为 元（请分别用数字或含m的代数式表示）．
（2）当学生人数m＝40，且只能从A、B两种方案中选择一种购票时，请通过计算按A、B两种方案购票分别所需的总费用来说明选择哪种方案更为优惠．（每种方案的总费用＝4名教师购票所需总费用+m名学生购票所需总费用）
模块三 课后作业
1．在π，x2+2，1﹣2x＝0，x+y，ab，a＞3，0，1a中，代数式有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
2．下列式子中，符合代数式书写格式的有（ ）
①m×n；②313ab；③14(x+y)；④m+2天；⑤abc3
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（ ）
A．（2a+b）2B．2（a+b）2C．2a+b2D．（a+2b）2
4．小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法：
说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元；
说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元．
则下面判断正确的是（ ）
A．Ⅰ对Ⅱ错B．Ⅰ错Ⅱ对C．Ⅰ与Ⅱ都对D．Ⅰ与Ⅱ都错
5．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A．6xB．10x+6C．100x+6D．600+x
6．超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（ ）
A．0.2×（1+20%）aB．0.2×（1﹣20%）a
C．0.8×（1+20%）aD．0.8×（1﹣20%）a
7．如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ）
A．（8a+b）厘米B．（8b+a）厘米
C．（9a﹣b）厘米D．（9b﹣a）厘米
8．若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
9．如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（ ）
A．64B．16C．4D．1
10．如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π）
（2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π）
（3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1）
（解析版）第09讲 代数式（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】
模块二 代数式
问题1：列车在冻土地段的行驶速度是10 km/h，则在冻土地段行驶2 h可行驶多少千米？a h呢？
问题2：长方形的长是a，宽是b，这个长方形的周长l是多少？面积S呢？
问题3：全班共有学生x人，其中女生占48%，女生人数比男生人数少多少人？
【知识点1 代数式】
1．用含字母的式子表示数
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.
用含字母的式子表示数的书写规则:
（1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”;
（2）字母与数相乘时,数通常写在字母的前面;
（3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数;
（4）字母与字母相除时,要写成分数的形式；
（5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号.
2．代数式的概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
3．代数式的意义
根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义.
4．列代数式
把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子a-b，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即aa−b（填完整的代数式）.
5．正比例关系和反比例关系
（1）正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值,且k≠0），正比例关系可以用yx=k来表示，其中k叫作比例系数.
（2）反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值,且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=kx来表示，其中k叫作比例系数.
【题型1 代数式的概念】
【例1】在式子5，x＝2，a，a+b，12，m+n＞0，中，属于代数式的有（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式，由此判断即可．
【解答】解：在式子5，x＝2，a，a+b，12，m+n＞0，中，属于代数式的有5，a，a+b，12，共4个，
故选：B．
【变式1-1】在式子x﹣5，2ab2，C＝πd，2x，a+2＞b中，代数式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据代数式的定义对每项分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：由题可知，为代数式的有：x﹣5，2ab2，2x；
即代数式有3个．
故选：C．
【变式1-2】在式子n﹣3，a2b3，m+s＜2，1+80%t，﹣xy，S＝ab中，代数式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据代数式的定义逐个判断，即可得出答案．
【解答】解：所给式子中，m+s＜2含有不等号，不是代数式；S＝ab中含有等号，不是代数式；n﹣3，a2b3，1+80%t，﹣xy是代数式，
因此代数式的个数有4个，
故选：D．
【变式1-3】下列式子是代数式的有（ ）
①m2+n2；②mn；③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x﹣2y＝1；⑦m2−1；⑧x﹣2≥0．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据代数式的定义．代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有＝、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号．据此解答即可．
【解答】解：④x≠12；⑥x﹣2y＝1；⑧x﹣2≥0；因为这些式子含有不等号或等号，所以不是代数式．
①m2+n2；②mn；③12；⑤3x+2；⑦m2−1都是代数式，代数式有5个．
故选：C．
【题型2 代数式的书写】
【例2】有下列五个式子：①a•2026；②xy+16；③10÷a（a不等于0）；④119a；⑤﹣n；其中不符合代数式的书写格式的为（ ）
A．①③⑤B．②③④C．①③④D．②④⑤
【分析】根据代数式的书写要求对各个式子依次进行判断即可解答．
【解答】解：①a•2026，应写为2026a；
②xy+16；
③10÷a（a 不等于0），应写为10a（a 不等于0）；
④119a应写为109a；
⑤﹣n符合代数式的书写格式．
故选：C．
【变式2-1】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
①113x2y；②ab÷c3；③2mn；④a2−b25；⑤2（m+n）；⑥mb•4；⑦a﹣3千米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
【解答】解：在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
③④⑤符合代数式要求．
故选：C．
【变式2-2】下列代数式中符合代数式书写要求的有（ ）
①113x2y；②ab÷c2；③2mn；④mb•4；⑤2（m+n）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据代数式书写规范即可得解．
【解答】解：代数式中符号代数式书写要求的有③2mn、⑤2（m+n）这2个，
故选：B．
【变式2-3】下列各式：①113x；②20%x；③4﹣b÷c；④m2−n26；⑤x﹣y千克，不符合代数式书写要求的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或﹣1时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④如果代数式是加减运算，后面有单位，前面的代数式要加括号；由此判断即可．
【解答】解：不符合代数式书写要求的：①113x；③4﹣b÷c；⑤x﹣y千克；共3个，
故选：C．
【题型3 代数式的意义】
【例3】根据你的生活经验，下列选项中能正确解释代数式a﹣3b的是（ ）
A．小明每季度有零花钱a元，拿出b 元捐给希望工程，平均每月剩余的零花钱
B．初一（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，班级剩余的人数
C．某种汽车油箱装满油为a 升，每小时耗油b 升，行驶了3 个小时，油箱剩余油量
D．某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3 件可以省下的钱
【分析】读懂题意列代数式判断即可．
【解答】解：根据题意可知A选项平均每月剩余的零花钱：13（a﹣b），不符合题意；
根据题意可知B选项班级剩余的人数：a−13b，不符合题意；
根据题意可知C选项油箱剩余油量为：a﹣3b，符合题意；
根据题意可知D选项买3 件可以省下的钱：3（a﹣b），不符合题意．
故选：C．
【变式3-1】对于式子10a+10b的解释，错误的是（ ）
A．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，10小时后甲、乙相遇，甲每小时行akm，乙每小时行bkm，则A、B两地的距离为（10a+10b）km
B．甲、乙两个工程队分别从A、B两地修路，10个月修完，甲工程队每月修akm，乙工程队每月修bkm，则A、B两地的距离为（10a+10b）km
C．甲型计算器每个a元，乙型计算器每个b元，则买甲、乙两种计算器各10个的总钱数为（10a+10b）元
D．两个长方形宽都是10m，长分别为am和bm，则这两个长方形的面积和为（10a+10b）m2
【分析】根据每个选项，列出代数式，即可得出结果．
【解答】解：A、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，10小时后甲、乙相遇，甲每小时行akm，乙每小时行bkm，则A、B两地的距离为（10a+10b）km，正确；
B、题目没有明确甲工程队从A向B修路，乙工程队从B向A修路，所以，（10a+10b）km可以解释为两队一共修路的长度，不能说成是A、B两地的距离，选项错误；
C、甲型计算器每个a元，乙型计算器每个b元，则买甲、乙两种计算器各10个的总钱数为（10a+10b）元，正确；
D、两个长方形宽都是10m，长分别为am和bm，则这两个长方形的面积和为（10a+10b）m2，正确；
故选：B．
【变式3-2】原价为a元的衣服打折后以[（1﹣40%）a﹣20]元出售，下列说法中，能正确表示该衣服售价的是（ ）
A．原价打4折后再减20元
B．原价减20元后再打4折
C．原价打6折后再减20元
D．原价减20元后再打6折
【分析】原价为a元的衣服，（1﹣40%）a＝60%a表示原价打6折，继而可得答案．
【解答】解：原价为a元的衣服，（1﹣40%）a＝60%a表示原价打6折，
所以[（1﹣40%）a﹣20]表示原价打6折后再减20元，
故选：C．
【变式3-3】甲，乙两商场以相同的价格出售同样的商品，当购物金额超出一定数额后，各自推出不同的优惠方案，若在两个商场购买x（x＞100）元的商品，在甲商场需付费[100+0.9（x﹣100）]元，在乙商场需付费[50+0.95（x﹣50）]元，下列关于两个商场优惠方案的说法正确的是（ ）
A．购买金额不超过100元时，两个商场都不优惠
B．购买金额超过50元时，两个商场都有优惠
C．购买金额超过100元时，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费
D．购买金额超过50元时，超出50元的部分，乙商场按95%收费
【分析】根据当x＞100时，在甲、乙两商场购物所付金额，可得出两商场给出的优惠方案，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞100时，在甲商场需付费[100+0.9（x﹣100）]元，
∴甲商场推出的优惠方案是：购买金额不超过100元时，不优惠，购买金额超过100元时，超出100元的部分按90%收费；
∵当x＞100时，在乙商场需付费[50+0.95（x﹣50）]元，
∴乙商场推出的优惠方案是：购买金额不超过50元时，不优惠，购买金额超过50元时，超出50元的部分按95%收费．
故选：D．
【题型4 列代数式】
【例4】一个两位数，个位上的数字为m，十位上的数字为n，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为（ ）
A．10n+mB．100n+mC．nmD．100m+n
【分析】根据题意正确列式即可．
【解答】解：由题意可知，这个三位数的百位上的数字为n，十位上的数字为0，个位上的数字为m，
即这个三位数是100n+m，
故选：B．
【变式4-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是a cm．则窗户的外框的总长为（ ）
A．（10a+2πa）cmB．（8a+2πa）cm
C．（6a+2πa）cmD．（6a+πa）cm
【分析】由题意得窗户的外框总长等于边长为2a cm的正方形的三条边之和加上半径为a cm的半圆弧长，据此可得答案．
【解答】解：3(a+a)+12(a+a)⋅π=(6a+πa)cm，
∴窗户的外框的总长为（6a+πa）cm，
故选：D．
【变式4-2】为了合理利用淡水资源，某市自来水的收费标准规定：当每户居民每月的用水量不超过5立方米时，按每立方米m元收费；超过5立方米时，超过的部分按每立方米n（n＞m）元收费，小亮家十二月份共用水8.5立方米，应缴水费为（ ）
A．8.5n元B．（m+8.5n）元
C．（5m+8.5n）元D．（5m+3.5n）元
【分析】根据题意，列出小亮家十二月份应缴水费的代数式即可．
【解答】解：根据题意，小亮家十二月份共用水8.5立方米，应缴水费为：
5m+（8.5﹣5）n＝5m+3.5n，
故选：D．
【变式4-3】张老板以每颗a元的单价买进水蜜桃100颗，现以每颗比单价多20%的价格卖出80颗后，再以每颗比单价低b元的价格将剩下的20颗卖出，则全部水蜜桃共卖（ ）
A．[80a+20（a﹣b）]元
B．[80（1+20%）a+20b]元
C．[100（1+20%）a﹣20（a﹣b）]元
D．[80（1+20%）a+20（a﹣b）]元
【分析】先算出80颗的价格，再算出剩下20颗的价格，相加即可．
【解答】解：前80颗共卖：80(1+20%)a元，
后20颗共卖：20（a﹣b）元，
所以全部水蜜桃共卖[80(1+20%)a+20(a﹣b)]元．
故选：D．
【题型5 正比例和反比例】
【例5】下面各种关系中，成反比例关系的是（ ）
A．铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量
B．如果5x＝8y，那么x和y
C．长方形的面积一定，它的长和宽
D．圆的面积一定，它的半径和圆周率
【分析】根据反比例的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量不成反比例关系；
B、如果5x＝8y，那么x和y不成反比例关系；
C、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例关系；
D、圆的面积一定，它的半径和圆周率不成反比例关系，
故选：C．
【变式5-1】甲、乙是两个成反比例关系的量，当甲减少20%时，乙（ ）
A．增加20%B．减少20%C．增加25%D．减少25%
【分析】根据甲、乙是两个成反比例关系的量，正确列式即可．
【解答】解：当甲减少20%时，乙增加了1÷（1﹣20%）﹣1＝25%．
故选：C．
【变式5-2】下面各图中，能表示正比例关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正比例函数图象为过原点的直线判断即可．
【解答】解：由正比例函数图象为过原点的直线，
故选：B．
【变式5-3】小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个、…正方形，如图所示．
（1）把表格填完整：
（2）正方形个数为6时，每个小正方形的边长是 分米，每个小正方形的面积是 平方分米．
（3）正方形的个数与边长 ；正方形的边长与总面积 ．（填“成正比例关系”“成反比例关系”或“不成比例关系”）
（4）若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系： ．
【分析】（1）正方形的边长与正方形的个数的乘积为12，所有正方形的顶点总数每次增加3个，正方形的面积与正方形的个数的乘积为144，据此即可得解；
（2）利用（1）中的规律即可得解；
（3）利用（1）中的规律，乘积一定是反比例，比值是一定是正比例；
（4）由所得正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和可得答案．
【解答】解：（1）由表格数据可知，正方形的边长与正方形的个数的乘积为12，所有正方形的顶点总数每次增加3个，正方形的面积与正方形的个数的乘积为144，
所以表格依次填：3，13，36；
（2）12÷6＝2（分米），
2×2＝4（平方分米）；
所以正方形个数为6时，每个小正方形的边长是2分米，每个小正方形的面积是4平方分米．
（3）因为正方形的个数与边长的乘积一定，所以成反比例关系，
因为正方形的边长与总面积比值一定，所以正反比例关系；
（4）由所得正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和，
所以m＝1+3n．
故答案为：（1）3，13，36；（2）2，4；（3）成反比例关系，成正比例关系；（4）m＝1+3n．
【题型6 求代数式的值】
【例6】若a2+2a＝1，则3a2+6a+2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】将a2+2a＝1整体代入原式即可求出答案．
【解答】解：当a2+2a＝1时，
原式＝3（a2+2a）+2
＝3+2
＝5，
故选：D．
【变式6-1】已知2x﹣y＝4，则整式6﹣4x+2y的值为（ ）
A．﹣2B．14C．2D．10
【分析】根据6﹣4x+2y＝6﹣2（2x﹣y），把2x﹣y＝4整体代入求解即可．
【解答】解：∵2x﹣y＝4，
∴6﹣4x+2y＝6﹣2（2x﹣y）＝6﹣2×4＝6﹣8＝﹣2，
故选：A．
【变式6-2】若a﹣3b＝﹣5，则2（a﹣3b）2+3b﹣a﹣15＝ ．
【分析】把原式化成已知代数式的形式，再整体代入计算便可．
【解答】解：∵a﹣3b＝﹣5，
∴原式＝2（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）﹣15＝2×25+5﹣15＝40，
故答案为：40．
【变式6-3】若a﹣b＝2，a﹣c＝1，则（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2＝ ．
【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2
＝（a﹣b+a﹣c）2+（a﹣c）2
＝（2+1）2+12
＝9+1
＝10．
故答案为：10．
【题型7 在实际问题中求代数式的值】
【例7】某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台微波炉更合算．
【解答】解：（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），
（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；
故答案为：（200x+6000）；（180x+7200）
（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），
方案二：180×30+7200＝12600（元），
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，
共10×800+200×20×90%＝11600（元）．
【变式7-1】如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am，计算：
（1）窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）窗户内外框的总长是多少？
（3）如果窗户上安装的是玻璃，购买玻璃的费用是40元/m2，购买窗框的费用是24元/m，当a＝0.5时，制作一扇窗户需要的费用是多少元？（取π＝3）．
【分析】（1）根据题意列得代数式即可；
（2）根据题意列得代数式即可；
（3）结合（1），（2）中所求列式计算即可．
【解答】解：（1）窗户的总面积是（4a2+12πa2）m2；
（2）15a+12×2πa＝（15a+πa）（m），
即窗户内外框总长为（15a+πa）m；
（3）当a＝0.5时，
已知购买玻璃的费用是40元/m2，购买窗框的费用是24元/m，
则（4×0.52+12×3×0.52）×40+（15×0.5+3×0.5）×24
＝（1+0.375）×40+（7.5+1.5）×24
＝1.375×40+9×24
＝55+216
＝271（元），
即制作这种窗户需要的费用约是271元．
【变式7-2】小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中b＜a（单位：米）．
（1）这套住房的建筑总面积是 平方米；（用含a、b的式子表示）
（2）当a＝5，b＝4时，求出小语家这套住房的具体面积．
（3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由．
【分析】（1）根据图形，可以用代数式表示这套住房的建筑总面积；
（2）将a＝5，b＝4代入（1）中的代数式即可求得小语家这套住房的具体面积；
（3）根据住房的面积×每平方米的单价计算出甲公司和乙公司的钱数，即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：这套住房的建筑总面积是：（2+4+5）×a+（5﹣1+1）×b+（3+2）×（4﹣1）＝（11a+5b+15）平方米，
即这套住房的建筑总面积是（11a+5b+15）平方米．
故答案为：（11a+5b+15）；
（2）当a＝5，b＝4时，
11a+5b+15＝11×5+5×4+15＝55+20+15＝90（平方米）．
答：小语家这套住房的具体面积为90平方米；
（3）选择乙公司比较合算．理由如下：
甲公司的总费用：
4a×240+（5a+5b）×220+2a×180+9×220+6×150
＝960a+1100a+1100b+360a+1980+900
＝（2420a+1100b+2880）（元），
乙公司的总费用：
（11a+5b+15）×210＝（2310a+1050b+3150）（元），
∴2420a+1100b+2880﹣（2310a+1050b+3150）＝（110a+50b﹣270）（元），
∵a＞b＞2，
∴110a＞220，50b＞100，
∴110a+50b﹣270＞220+100﹣270＝50，
所以选择乙公司比较合算．
【变式7-3】本学期的十月份，正是秋高气爽的时节，某学校七年级甲班的4名老师决定带领本班m名学生去长沙县某茶叶庄园参加秋季劳动实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择：
方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠．
（1）若该班级按方案A购票，4名老师全价购票的总费用为 元，m名学生半价购票的总费用为 元；若该班级按方案B购票，4名老师按6折优惠购票总费用为 元，m名学生按6折优惠购票总费用为 元（请分别用数字或含m的代数式表示）．
（2）当学生人数m＝40，且只能从A、B两种方案中选择一种购票时，请通过计算按A、B两种方案购票分别所需的总费用来说明选择哪种方案更为优惠．（每种方案的总费用＝4名教师购票所需总费用+m名学生购票所需总费用）
【分析】（1）根据题意列出两个代数式即可；
（2）把m＝40代入（1）中的两个代数式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）4名老师全价购票的总费用为4×30＝120（元），m名学生半价购票的总费用为12×30m=15m（元），4名老师按6折优惠购票总费用为 4×30×60%＝72（元），m名学生按6折优惠购票总费用为30×60%m＝18m；
故答案为：120；15m；72；18m；
（2）当m＝40时，
选择方案A所需的费用为：120+15×40＝720（元），
选择方案B所需的费用为：18×40+72＝792（元），
∵720＜792，
∴选择方案A更为优惠．
模块三 课后作业
1．在π，x2+2，1﹣2x＝0，x+y，ab，a＞3，0，1a中，代数式有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】根据代数式的定义，代数式是有数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有＝、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号进行解答即可．
【解答】解：∵1﹣2x＝0，a＞3，含有＝和＞，所以不是代数式，
∴代数式的有π，x2+2，x+y，ab，0，1a，共6个．
故选：A．
2．下列式子中，符合代数式书写格式的有（ ）
①m×n；②313ab；③14(x+y)；④m+2天；⑤abc3
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：①正确的书写格式是mn；
②正确的书写格式是103ab；
③的书写格式是正确的，
④正确的书写格式是（m+2）天；
⑤的书写格式是正确的．
故选：A．
3．用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（ ）
A．（2a+b）2B．2（a+b）2C．2a+b2D．（a+2b）2
【分析】先求倍数，然后求平方，再求和．
【解答】解：用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”为2a+b2，
故选：C．
4．小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法：
说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元；
说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元．
则下面判断正确的是（ ）
A．Ⅰ对Ⅱ错B．Ⅰ错Ⅱ对C．Ⅰ与Ⅱ都对D．Ⅰ与Ⅱ都错
【分析】根据题中的条件，计算出每支签字笔的价钱和小咏原有的现金，即可进行选择．
【解答】解：每支签字笔的价钱：50﹣（50﹣8a）＝8a，8a÷8＝a（元）；
小咏原有现金：2a×8+50﹣8a＝（50+8a）元，
∴Ⅰ与Ⅱ都对，故C符合题意，
故选：C．
5．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A．6xB．10x+6C．100x+6D．600+x
【分析】x原来的最高位是十位，现在扩大了10倍，而6写到x的右边组成一个三位数，6成为三位数的个位，即可得出结果．
【解答】解：根据题意可知，x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，
∴相当于将x扩大了10倍，
∴表示这个三位数的式子是10x+6，
故答案为：B．
6．超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（ ）
A．0.2×（1+20%）aB．0.2×（1﹣20%）a
C．0.8×（1+20%）aD．0.8×（1﹣20%）a
【分析】根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10即可求解．
【解答】解：根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10，
得售价为：a（1+20%）×8÷10＝0.8×（1+20%）a，
故选：C．
7．如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ）
A．（8a+b）厘米B．（8b+a）厘米
C．（9a﹣b）厘米D．（9b﹣a）厘米
【分析】画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到9个圆环的长度即可．
【解答】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：3a+b−a2×2＝b+2a，
当圆环个数为9时，链长为9a+2×b−a2=（8a+b）（cm），
故答案选：A．
8．若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
【分析】直接将原式变形，进而代入已知得出答案．
【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4，
∴（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10
＝（﹣4）2+2（x﹣3y）﹣10
＝16+2×（﹣4）﹣10
＝16﹣8﹣10
＝﹣2．
故选：D．
9．如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（ ）
A．64B．16C．4D．1
【分析】计算出前8次的输出结果，找出规律，利用规律求解．
【解答】解：由题意知，第1次输入x的值为1024时，
第1次输出的结果为：1024×14=256，
第2次输出的结果为：256×14=64，
第3次输出的结果为：64×14=16，
第4次输出的结果为：16×14=4，
第5次输出的结果为：4×14=1，
第6次输出的结果为：1+3＝4，
第7次输出的结果为：4×14=1，
第8次输出的结果为：1+3＝4，
……
以此类推可知，从第5次输出结果开始，奇数次输出结果为1，偶数次输出结果为4，
因此第2024次输出的结果为4，
故选：C．
10．如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π）
（2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π）
（3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1）
【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解；
（2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可；
（3）由此利用已知数据求出种草的面积即可．
【解答】解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为14πa2×4=πa2平方米，
故答案为：ab，πa2；
（2）该长方形场地上种草的面积为：
3a⋅b﹣ab﹣πa2＝（2ab﹣πa2）平方米，
故长方形场地上种草的面积为（2ab﹣πa2）平方米；
（3）当a＝2，b＝10时，2ab﹣πa2≈2×2×10﹣3.14×2×2＝27.44≈27平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为27平方米．
正方形个数
1
2
3
4
…
每个正方形的边长（分米）
12
6
4

…
所有正方形的顶点总数
4
7
10

…
所有正方形的总面积（平方分米）
144
72
48

…
正方形个数
1
2
3
4
…
每个正方形的边长（分米）
12
6
4

…
所有正方形的顶点总数
4
7
10

…
所有正方形的总面积（平方分米）
144
72
48

…