2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第08讲 绝对值常考六类压轴题型（学生版+解析）学案

这是一份2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第08讲 绝对值常考六类压轴题型（学生版+解析）学案，共3页。学案主要包含了新教材人教版，6个类型+课后作业，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

【6个类型+课后作业】
【类型1 由绝对值的性质判断参数】
【例1】若|x﹣1|+x＝1，则x一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不大于1D．不小于1
【变式1-1】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜25B．x≤25C．x＜52D．x≤52
【变式1-2】使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（ ）
A．任意一个整数B．任意一个非负数
C．任意一个非正数D．任意一个有理数
【变式1-3】若|x﹣5|＝|x|+5，则x的取值范围是 ．
【类型2 由绝对值的性质去绝对值符号】
【例2】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【变式2-1】若b＜0，ab＜0，则|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【变式2-2】a＜0，则化简a+|a|a−|a|+a|a|的结果为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【变式2-3】设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2cB．bC．b﹣2aD．﹣2a
【类型3 绝对值的非负性】
【例3】已知实数a、b、c满足2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，则a+b+c的值为（ ）
A．0B．3C．6D．9
【变式3-1】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．5C．﹣5D．1
【变式3-2】已知y＝﹣2﹣|x﹣1|，则y有最____值____（ ）
A．大，﹣3B．小，﹣3C．大，﹣2D．小，﹣2
【变式3-3】若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣8B．﹣2C．2D．8
【类型4 多绝对值分类讨论（aa型）】
【例4】已知abc＜0，a+b+c＝0，若x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c，则x的最大值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24B．﹣12C．6D．24
【变式4-1】若三个非零有理数a，b，c满足|abc|abc=−1，则|a|a+|b|b+|c|c的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3或﹣3D．1或﹣3
【变式4-2】已知|x﹣2|+3的最小值是a，|a|a+|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【变式4-3】已知abc＜0，a+b+c＞0，且x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|，则x的值为（ ）
A．0B．0或1C．0或﹣2或1D．0或1或﹣6
【类型5 绝对值分类讨论（整数类问题）】
【例5】适合|3a+7|+|3a﹣5|＝12的整数a的值有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．9个
【变式5-1】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．9个
【变式5-2】已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2，那么|a﹣b|+|a﹣c|的值是 ．
【变式5-3】已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的结果为（ ）
A．0B．0或1C．1D．1或2
【类型6 绝对值求最值类问题】
【例6】已知有理数a＞0，b＞0，则|x﹣a|+|x+b|的最小值为（ ）
A．a﹣bB．a+bC．﹣b﹣aD．b﹣a
【变式6-1】代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b 不存在
【变式6-2】求|12x−1|+|13x−2|+|14x−3|的最小值（ ）
A．12B．6C．72D．3
【变式6-3】已知式子|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，则2x+y的最大值是 ．
模块二 课后作业
1．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
2．已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（ ）
A．若a＝0，则a＜bB．若b＝0，则a＞b
C．若a＞b，则a＝0D．若a＜b，则a＝0
3．已知|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，则|x﹣y|的值为（ ）
A．2B．3C．1或3D．2或3
4．已知a+b+c＜0，abc＜0，则a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2或﹣1或1B．﹣1或﹣2或2C．2或﹣2D．﹣2或1
5．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则a|a|+b|b|+ab|ab|的值为3．其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若有理数x满足|x|+2025＝|x﹣2025|，则x的取值范围是 ．
7．如果|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10，那么a＝ ．
8．若a，b，c是整数，且|a+b|+|b+c|＝2，则|a﹣c|的值为 ．
9．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|＝ ．
10．已知，|a|a=−1，ab≥0，|abc|＝abc，化简|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝ ．
第08讲 绝对值常考六类压轴题型（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【6个类型+课后作业】
【类型1 由绝对值的性质判断参数】
【例1】若|x﹣1|+x＝1，则x一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不大于1D．不小于1
【分析】先把已知的等式变形为|x﹣1|＝1﹣x，然后根据负数或0的绝对值等于它的相反数，即可求出x的取值范围．
【解答】解：∵|x﹣1|+x＝1，
∴|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
即x不大于1，
故选：C．
【变式1-1】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A．x＜25B．x≤25C．x＜52D．x≤52
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
【解答】解：∵|2x﹣5|＝5﹣2x，
∴2x﹣5≤0，
∴x≤52．
故选：D．
【变式1-2】使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（ ）
A．任意一个整数B．任意一个非负数
C．任意一个非正数D．任意一个有理数
【分析】根据绝对值的性质判断出6与x同号或x为0，然后解答即可．
【解答】解：∵|6+x|＝|6|+|x|，
∴6与x同号或x为0，
∴x是任意一个非负数．
故选：B．
【变式1-3】若|x﹣5|＝|x|+5，则x的取值范围是 ．
【分析】运用绝对值的知识进行讨论、求解．
【解答】解：∵当x＞0时，|x﹣5|＝x﹣5；
当x≤0时，|x﹣5|＝﹣x+5，
∴若|x﹣5|＝|x|+5，
则|x|＝﹣x，
∴x≤0．
【类型2 由绝对值的性质去绝对值符号】
【例2】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】根据|a+2|＝﹣a﹣2确定a的取值范围，进而确定a﹣1，2﹣a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：∵|a+2|＝﹣a﹣2，
∴a+2≤0，
即a≤﹣2，
∴a﹣1＜0，2﹣a＞0，
∴|a﹣1|﹣|2﹣a|
＝﹣a+1﹣2+a
＝﹣1，
故选：D．
【变式2-1】若b＜0，ab＜0，则|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据b＜0，ab＜0，可得：a＞0，据此判断出b﹣a、a﹣b+1的正负，再根据绝对值的含义和求法，求出|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值即可．
【解答】解：∵b＜0，ab＜0，
∴a＞0，
∴b﹣a＜0，a﹣b+1＞0，
∴|b﹣a|﹣|a﹣b+1|
＝﹣（b﹣a）﹣（a﹣b+1）
＝﹣b+a﹣a+b﹣1
＝﹣1．
故选：B．
【变式2-2】a＜0，则化简a+|a|a−|a|+a|a|的结果为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】首先根据a＜0得|a|＝﹣a，进而可得出答案．
【解答】解：∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，
∴a+|a|a−|a|+a|a|=a+(−a)a−(−a)+a−a=−1．
故选：B．
【变式2-3】设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2cB．bC．b﹣2aD．﹣2a
【分析】根据题意，可得：a＜0，b＜0，c＞0，据此化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|即可．
【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|
＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a
＝b，
故选：B．
【类型3 绝对值的非负性】
【例3】已知实数a、b、c满足2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，则a+b+c的值为（ ）
A．0B．3C．6D．9
【分析】先对已知的式子进行变形，可得2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b，接下来根据非负数性质求出b的值，再求出a，c的值，然后将其代入式子求得答案．
【解答】解：∵2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，
∴2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b，
根据绝对值以及偶次方的非负性，
得b﹣4≥0，16﹣4b≥0，
∴b≥4且b≤4，
∴b＝4，
∴2|a+3|＝0，（c﹣2）2＝0，
∴a＝﹣3，c＝2，
∴a+b+c＝﹣3+4+2＝3，
故选：B．
【变式3-1】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．5C．﹣5D．1
【分析】根据任何数的绝对值都是非负数，可以得y+3＝0，2x﹣4＝0，即可求解．
【解答】解：∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|，
∴|y+3|+|2x﹣4|＝0，
∴y+3＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴x﹣y＝2+3＝5．
故选：B．
【变式3-2】已知y＝﹣2﹣|x﹣1|，则y有最____值____（ ）
A．大，﹣3B．小，﹣3C．大，﹣2D．小，﹣2
【分析】根据绝对值的非负性即可解答．
【解答】解：∵|x﹣1|≥0，
∴y＝﹣2﹣|x﹣1|≤﹣2，
∴y＝﹣2﹣|x﹣1|有最大值﹣2．
故选：C．
【变式3-3】若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣8B．﹣2C．2D．8
【分析】先化简得到a+b=0b−1≥0，解得a=−bb≥1，即可求解．
【解答】解：∵（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，
∴（a+b）2+|b﹣1|﹣（b﹣1）＝0，
∵|b﹣1|≥（b﹣1），
∴|b﹣1|﹣（b﹣1）≥0，（a+b）2≥0，
∴a+b＝0且|b﹣1|＝b﹣1，
∴a+b=0b−1≥0，
解得a=−bb≥1，
∵|a+3b﹣3|＝5，
∴a+3b﹣3＝5或a+3b﹣3＝﹣5，
∴a+3b＝8或a+3b＝﹣2，
把a＝﹣b代入上式得：b＝4或﹣1 （舍去），
∴a﹣b＝﹣4﹣4＝﹣8．
故选：A．
【类型4 多绝对值分类讨论（aa型）】
【例4】已知abc＜0，a+b+c＝0，若x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c，则x的最大值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24B．﹣12C．6D．24
【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c中一负两正或三负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
当a、b为正，c为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=aa+2bb−−3cc
＝1+2+3
＝6；
当a、c为正，b为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=aa+−2bb−3cc
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
当b、c为正，a为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=−aa+2bb−3cc
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；
则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，
故选：A．
【变式4-1】若三个非零有理数a，b，c满足|abc|abc=−1，则|a|a+|b|b+|c|c的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3或﹣3D．1或﹣3
【分析】由于a，b，c的符号不能确定，所以应分三个数两个大于0、三个都小于0进行解答．
【解答】解：∵|abc|abc=−1，
∴abc＜0，
当a，b，c中有两个大于0时，原式＝1+1﹣1＝1；
当a，b，c均小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故选：D．
【变式4-2】已知|x﹣2|+3的最小值是a，|a|a+|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【分析】根据题意，因为|x﹣2|+3的最小值是a，求出a＝3，得出|a|a=33=1，因为|a|a+|b|b+|c|c=−1，所以|b|b+|c|c=−2，得出|b|b=|c|c=−1，所以b＜0，c＜0，所以ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，求出∴|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc=−1+1﹣1+1＝0，据此解答．
【解答】解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|的最小值是0，
∵|x﹣2|+3的最小值是a，
∴a＝3．
∴|a|a=33=1，
∵|a|a+|b|b+|c|c=−1，
∴|b|b+|c|c=−2，
∴|b|b=|c|c=−1，
∴b＜0，c＜0，
∴|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc
＝﹣1+1+（﹣1）+1
＝0．
故选：C．
【变式4-3】已知abc＜0，a+b+c＞0，且x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|，则x的值为（ ）
A．0B．0或1C．0或﹣2或1D．0或1或﹣6
【分析】由题意可得a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，再运用绝对值知识对各种情况进行求解．
【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，
当a＜0，b＞0，c＞0时，
x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|
=a−a+bb+cc+ab−ab+ac−ac+bcbc
＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1
＝0，
同理可得，当a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，
x＝0，
∴当abc＜0，a+b+c＞0时，x＝0，
故选：A．
【类型5 绝对值分类讨论（整数类问题）】
【例5】适合|3a+7|+|3a﹣5|＝12的整数a的值有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．9个
【分析】由题意可理解为3a到﹣7和5的距离的和，由此可得出3a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|3a+7|表示3a到﹣7的距离，
|3a﹣5|表示3a到5的距离，
则|3a+7|+|3a﹣5|＝12表示由﹣7到5点的距离为12，
故﹣7到5中间所有点都满足，
则﹣7≤3a≤5，由此可得a为整数的值有：﹣2、﹣1、0、1，共4个值，
故选：A．
【变式5-1】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
因为﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
【变式5-2】已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2，那么|a﹣b|+|a﹣c|的值是 ．
【分析】首先根据a，b，c均为整数得|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，再根据|a﹣b|+|b﹣c|＝2即可得出①|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，②|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，③|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，据此根据每一种情况求出|a﹣b|+|a﹣c|的值即可．
【解答】解：∵a，b，c均为整数，
∴|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，
又∵|a﹣b|+|b﹣c|＝2，
∴|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，或|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，或|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，
①当|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2时，a＝b，|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝0+2＝2；
②当|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0时，b＝c，|a﹣c|＝|a﹣b|＝2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝2+2＝4；
③当|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1时，此时|a﹣c|＝0或2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝1+0＝1或|a﹣b|+|a﹣c|＝1+2＝3．
综上所述，|a﹣b|+|a﹣c|的值是1或2或3或4．
故此题答案为：1或2或3或4．
【变式5-3】已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的结果为（ ）
A．0B．0或1C．1D．1或2
【分析】先判断出a﹣b，b﹣c都为整数，再根据|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，得出|a−b|=0|b−c|=1或|a−b|=1|b−c|=0，然后分情况化简绝对值即可．
【解答】解：∵a、b、c都为整数，
∴a﹣b，b﹣c都为整数，
∵|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，
∴|a−b|=0|b−c|=1或|a−b|=1|b−c|=0，
∴a﹣b＝0，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b﹣c＝0，
即a＝b，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b＝c，
当a＝b，|b﹣c|＝1时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝0+1﹣|b﹣c|
＝0+1﹣1
＝0；
当|a﹣b|＝1，b＝c时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝1+0﹣|a﹣b|
＝1+0﹣1
＝0；
综上，|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的值为0，
故选：A．
【类型6 绝对值求最值类问题】
【例6】已知有理数a＞0，b＞0，则|x﹣a|+|x+b|的最小值为（ ）
A．a﹣bB．a+bC．﹣b﹣aD．b﹣a
【分析】根据绝对值的几何意义得出|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，然后列式化简即可．
【解答】解：由绝对值的几何意义可知，|x﹣a|+|x+b|表示x到a和﹣b的距离之和，
∴|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，即|a﹣（﹣b）|＝|a+b|，
∵a＞0，b＞0，
∴|a﹣（﹣b）|＝|a+b|＝a+b，
故选：B．
【变式6-1】代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b 不存在
【分析】分三种情况：当x≥1时；当﹣2＜x＜1时；当x≤﹣2时；进行讨论可求代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3．
故选：C．
【变式6-2】求|12x−1|+|13x−2|+|14x−3|的最小值（ ）
A．12B．6C．72D．3
【分析】利用分类讨论的思想方法和绝对值的意义化简运算后，通过比较计算结果即可得出结论．
【解答】解：当x＜2时，原式＝1−12x+2−13x+3−14x＝6−1312x，
∵x＜2，∴6−1312x＞236；
当2≤x≤6时，原式=12x﹣1+2−13x+3−14x＝4−112x，
∵2≤x≤6，∴72≤4−112x≤236；
当6＜x≤12时，原式=12x﹣1+13x﹣2+3−14x=712x，
∵6＜x≤12，∴72＜712x≤7；
当x＞12时，原式=12x﹣1+13x﹣2+14x﹣3=1312x﹣6，
∵x＞12，∴1312x﹣6＞7．
综上，当x＝6时，原式有最小值为72．
故选：C．
【变式6-3】已知式子|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，则2x+y的最大值是 ．
【分析】利用绝对值的意义求得x，y的取值范围，从而求得x，y的最大值，代入运算即可得出结论．
【解答】解：∵|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，
∴|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10，
|x+1|+|x﹣2|表示的是数轴上到﹣1和2两点的距离的和，
∵当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值为3，即|x+1|+|x﹣2|≥3，
同理：|y+3|+|y﹣4|表示的是数轴上到﹣3和4两点的距离的和，
∵当﹣3≤y≤4时，|y+3|+|y﹣4|取得最小值为7，即|y+3|+|y﹣4|≥7，
∵|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10，
∴﹣1≤x≤2且﹣3≤y≤4．
∴x的最大值为2，y的最大值为4，
∴2x+y的最大值是2×2+4＝8．
故答案为：8．
模块二 课后作业
1．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
【分析】把|m﹣1|+m＝1，转化为|m﹣1|＝1﹣m，再根据绝对值的性质判断即可．
【解答】解：∵|m﹣1|+m＝1，
∴|m﹣1|＝1﹣m，
∴m﹣1≤0，
∴m≤1，
故选：D．
2．已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（ ）
A．若a＝0，则a＜bB．若b＝0，则a＞b
C．若a＞b，则a＝0D．若a＜b，则a＝0
【分析】根据绝对值的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．若a＝0，则|a﹣b|＝|﹣b|＝﹣b，即﹣b＞0，也就是b＜0，所以a＞b，因此选项A不符合题意；
B．若b＝0，则|a﹣b|＝|a|＝﹣a，即a＜0，所以a＜b，因此选项B不符合题意；
C．若a＞b，则|a﹣b|＝a﹣b＝﹣a﹣b，即a＝﹣a，所以a＝0，因此选项C符合题意；
D．若a＜b，则|a﹣b|＝﹣a+b＝﹣a﹣b，即b＝﹣b，所以b＝0，a＜0，因此选项D不符合题意．
故选：C．
3．已知|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，则|x﹣y|的值为（ ）
A．2B．3C．1或3D．2或3
【分析】根据|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，得出x＝a±1，y＝a±2，然后分情况进行讨论即可得出答案．
【解答】解：∵|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，
∴x﹣a＝±1，y﹣a＝±2，
∴x＝a±1，y＝a±2，
当x＝a+1，y＝a+2时，|x﹣y|＝|a+1﹣a﹣2|＝1；
当x＝a+1，y＝a﹣2时，|x﹣y|＝|a+1﹣a+2|＝3；
当x＝a﹣1，y＝a+2时，|x﹣y|＝|a﹣1﹣a﹣2|＝3；
当x＝a﹣1，y＝a﹣2时，|x﹣y|＝|a﹣1﹣a+2|＝1；
综上分析可知，|x﹣y|的值为1或3．
故选：C．
4．已知a+b+c＜0，abc＜0，则a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2或﹣1或1B．﹣1或﹣2或2C．2或﹣2D．﹣2或1
【分析】根据题干信息，对a、b、c三个数的符号进行分类讨论即可求解．
【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＜0，
∴a、b、c三个数中可能是一个负数两正数或三个都是负数，
当a＜0、b＞0、c＞0时，
∴a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc=−1+1﹣1﹣1＝﹣2；
当a＞0、b＜0、c＞0时，
∴a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc=1﹣1﹣1﹣1＝﹣2；
当a＞0、b＞0、c＜0时，
∴a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc=1+1−(−1)+(−1)=2；
当a＜0、b＜0、c＜0时，
∴a|a|+|b|b−c|c|+|abc|abc=(−1)+(−1)−(−1)+(−1)=−2；
综上，|a|a+|b|b+|c|c+|abc|abc=2或﹣2．
故选：C．
5．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则a|a|+b|b|+ab|ab|的值为3．其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用绝对值的定义解答．
【解答】解：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2，错误，x＝2时也成立；
②若a＞b，则|a|＞|b|，错误，例如a＝0，b＝﹣1；
③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0，错误，也可能是a＜0，b＞0，c＞0；
④若ab＞0，则a|a|+b|b|+ab|ab|的值为3．错误，a|a|+b|b|+ab|ab|的值为3或﹣1．
其中错误的是①、②、③、④，共计4个．
故选：D．
6．若有理数x满足|x|+2025＝|x﹣2025|，则x的取值范围是 x≤0 ．
【分析】首先判断x﹣2025的正负，再根据绝对值的非负性，变形|x﹣2025|为﹣x+2025，利用等式的性质及绝对值的意义得结论．
【解答】解：当x﹣2025≥0，即x≥2025时，|x|+2025＝x+2025≠x﹣2025；
∵|x|+2025＝|x﹣2025|成立，
∴x﹣2025≤0．
∴|x﹣2025|
＝﹣（x﹣2025）
＝﹣x+2025
＝|x|+2025．
∴|x|＝﹣x，
∴x≤0．
故答案为：x≤0．
7．如果|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10，那么a＝ ﹣7或6 ．
【分析】根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可．
【解答】解：|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数﹣4，3，a的点的距离之和，
①当a＜﹣4时，
当x＝﹣4时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：7+|a+4|＝10，解得：a＝﹣7或a＝﹣1（舍去）；
②当﹣4≤a≤3时，
当x＝a时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|＝7，不符合题意；
③当a＞3时，
当x＝3时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：7+|a﹣3|＝10，解得：a＝6或a＝0（舍去）；
综上，当a＝﹣7或a＝6时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10．
故答案为：﹣7或6．
8．若a，b，c是整数，且|a+b|+|b+c|＝2，则|a﹣c|的值为 2 ．
【分析】根据绝对值的非负性以及题意，可知当|a+b|＝0时，则|b+c|＝2，当|a+b|＝2时，则|b+c|＝0，分类讨论计算即可．
【解答】解：∵a、b、c是整数，
∴a+b，b+c是整数，
∵|a+b|+|b+c|＝2，
又∵|a+b|≥0，|b+c|≥0，
∴|a+b|＝0时，则|b+c|＝2或|a+b|＝2时，则|b+c|＝0，
∴当a+b＝0，b+c＝2时，
则a＝﹣b，c＝2﹣b，
∴|a﹣c|＝|﹣b﹣2+b|＝2；
∴当a+b＝0，b+c＝﹣2时，
则a＝﹣b，c＝﹣2﹣b，
∴|a﹣c|＝|﹣b+2+b|＝2；
∴当a+b＝2，b+c＝0时，
则a＝2﹣b，c＝﹣b，
∴|a﹣c|＝|2﹣b+b|＝2，
∴当a+b＝﹣2，b+c＝0时，
则a＝﹣2﹣b，c＝﹣b，
∴|a﹣c|＝|﹣2﹣b+b|＝2，
综上可得：|a﹣c|＝2，
故答案为：2．
9．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|＝ ．
【分析】根据数轴得到a＜0，c＞b＞0，进一步判断出b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0，再根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，c＞b＞0，
∴b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0，
∴|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|
＝（c﹣b）﹣（﹣a）﹣（b+c﹣2a）
＝c﹣b+a﹣b﹣c+2a
＝3a﹣2b，
故答案为：3a﹣2b．
10．已知，|a|a=−1，ab≥0，|abc|＝abc，化简|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝ ﹣2b ．
【分析】由|a|a=−1，可得a＜0，再由ab≥0，可得b≤0，再由|abc|＝abc，可得abc≥0，因为ab≥0，所以c≥0，即可得出a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，根据绝对值的性质进行化简即可得出答案．
【解答】解：∵|a|a=−1，
∴a＜0，
∵ab≥0，
∴b≤0，
∵|abc|＝abc，
∴abc≥0，
∴c≥0．
∴a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣（a+b）+（a﹣c）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣b+a+c+a﹣c＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．