2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第10讲 整式（学生版+解析）学案

这是一份2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第10讲 整式（学生版+解析）学案，共4页。学案主要包含了新教材人教版，知识点1 单项式，知识点2 多项式，知识点3 整式，题型1 单项式的判断，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。

【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】
模块二 整式
用字母表示数：
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积为____；
（2）若三角形的一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为____；
（3）若a表示正方体的棱长，则正方体的体积为____；
（4）若m表示一个有理数，则它的相反数为____；
（5）小明每年从零花钱中拿出x元捐给希望工程，五年下来小明共捐款____元．
请学生观察所列式子包含哪些运算，有何共同特征？
【知识点1 单项式】
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．
【知识点2 多项式】
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【知识点3 整式】
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【题型1 单项式的判断】
【例1】在整式5x2y，a−b2，−mn2，a，a2+2中，单项式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】下列式子中是单项式的是（ ）
A．−15a3+bB．3bC．2x−y5D．−a
【变式1-2】下列代数式①−2x，②x+12，③x4，④0，⑤xπ中，单项式有_____．（填序号）
【变式1-3】在代数式52x2−3x，π，vt2，2x2y，a，0，n+12，−22中，单项式的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【题型2 单项式的系数、次数】
【例2】单项式−x2y3的系数与次数分别为（ ）
A．−1，3B．−13，2C．−13，3D．3，−13
【变式2-1】单项式−7x2y5的系数是______ ，次数是______ ．
【变式2-2】下列关于单项式−3x2y5的说法中，正确的是（ ）
A．系数是3，次数是2B．系数是−35，次数是 2
C．系数是35 ，次数是 3D．系数是−35，次数是 3
【变式2-3】单项式−72a2b3c的系数和次数分别是（ ）
A．−7，8B．−72，5C．72，6D．−72，6
【题型3 写出满足某些特征的单项式】
【例3】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）．
【变式3-1】写出一个系数是−3，次数是3的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可）
【变式3-2】①含有字母a、b；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________．
【变式3-3】若一个关于m、n的单项式的系数是−4，次数是4，则这个单项式可以是：______________．（只写一个）
【题型4 单项式规律题】
【例4】观察下列关于a 的单项式，探究其规律：a,3a2,5a3,7a4,9a5,⋯，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．2024a2024B．4047a2024C．4048a2023D．4049a2024
【变式4-1】观察a，−a2，a3，−a4，a5，−a6，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________．
【变式4-2】按一定规律排列的单项式：4a2，4a4，4a6，4a8，4a10，…，第n个单项式是（ ）
A．4an+1B．4a2n+1C．4na2nD．4a2n
【变式4-3】按一定规律排列的单项式：x2，3x4，5x6，7x8，9x10，…，第n个单项式是（ ）
A．2n−1xn+1B．2n+1x2nC．nx2nD．2n−1x2n
【题型5 多项式的判断】
【例5】在代数式13xy、x+3y2、2xy2−y+1、5、1x、x3−x2−4中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式5-1】下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．2a2B．38m2−5nC．xyzD．−23vt
【变式5-2】式子 2x+12，ax3，1x+3，x+4，πa+b，x2+2x+1中，多项式有___________个．
【变式5-3】下列式子：①a−b3，②−13b，③x3+2x−4，④−2mn，⑤17，⑥x+y2x，属于多项式的有_______．（填序号）
【题型6 多项式的项、项数和次数】
【例6】下列关于多项式−3ab3c+13c2−7的说法中，错误的是（ ）
A．有三项B．常数项为−7
C．次数是7D．二次项的系数是13
【变式6-1】整式2x2y+5y−2xy是________次________项式．
【变式6-2】多项式2x2y4+x5−1的项数和次数分别是（ ）
A．2，5B．3，6C．2，11D．3，5
【变式6-3】下列多项式是关于x的三次二项式的是（ ）
A．2x2+3B．x3+3xC．−5x2+3x−7D．−7x+83
【题型7 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】多项式2x2yk−k−2xy+1是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________．
【变式7-1】多项式xm+1y2−m−2x+5是关于x，y的五次三项式，则m的值是（ ）
A．−1B．2C．−2或−1D．−2
【变式7-2】已知关于x的多项式−2x3+3+ax2−6x+3不含x2项，那么a的值（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
【变式7-3】多项式m−4xym+1−x+5是关于x、y的六次三项式，则m取值为_____．
【题型8 升（降）幂排列】
【例8】将多项式3x+35−52x2+x3按x的升幂排列，正确的是（ ）
A．−52x2+3x+35+x3B．−52x2+x3+3x+35
C．x3−52x2+3x+35D．35+3x−52x2+x3
【变式8-1】把多项式2x−4x2+3x3−5按字母x的降幂排列是：_____．
【变式8-2】将多项式x2y+34x3−x4+12y4按照字母x的降幂排列，结果为_______．
【变式8-3】整式a3b−a2+3ab2−4a5+3b3按a降幂排列的结果是________________________．
【题型9 整式的判断】
【例9】代数式32x，4x−y，x+y，x2+2π，98中，是整式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】在式子10，2ab，2m+n，3x−4=1，58t中，整式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-2】在代数式x2+32，−xy，3x+1π，6x，−2，5x−3中，整式有（ ）．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式9-3】式子：x3−y2+1，1x，a−3，−5xy，ab2c，0中，是整式的有（ ）个
A．6B．5C．4D．3
【题型10 多项式规律题】
【例10】一组多项式的规律如下：2a2−b,4a3+b,8a4−b,16a5+b，按此规律，第n个多项式是（ ）
A．2nan+1+−1nbB．2ann+1+−1n+1b
C．2nan+1+−1n+1bD．2nan+−1nb
【变式10-1】以下是一组按规律排列的多项式：x−2y，x2−4y，x3−6y，x4−8y……，其中第n个多项式是（ ）
A．xn+yB．xn−ynC．xn+ynD．xn−2ny
【变式10-2】以下是一组按一定规律排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，则第n个多项式是（ ）
A．an+n−1bB．an+nbC．an+n+1bD．an+1+nb
【变式10-3】按一定规律排列的代数式：2x+y3,3x2+y6,4x3+y9,5x4+y12,⋯，则第n个代数式是（ ）
A．n+1xn+y3nB．nxn+1+y2n+1
C．nxn+1+y3nD．n+1xn+yn+3
模块三 课后作业
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单项式13πx的次数为1，系数是13
B．单项式2m2n和3nm2是同类项
C．多项式2x2y+3xy−4是二次三项式
D．多项式−x2+2x−1的项是−x2，2x和1
2．在代数式x2+5,−5x2+6,π,2026x2+1,a2+1a，7×109,3a2b中，整式有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
3．观察下列各多项式：2a+b，4a2−b3，6a3+b5，8a4−b7，…，根据你发现的规律，第6个多项式为（ ）
A．12a6+b11B．12a6−b11C．12a6−b13D．10a6−b11
4．将整式3x7y−4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列后，第二项的系数为 ．
5．下列式子：−m,0,(−1)2xyz,2πR,−a3,x3,1x中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为−1的单项式是 ；单项式(−1)2xyz的次数是 ．
6．已知多项式m−3xm−2y3+x2y−2xy2是关于x,y的四次三项式，m的值是______．
7．已知a+10x3+cx2−2x+5是关于x的二次多项式，且实数a，b，c满足c−182=−a+b，
则a−b+c= ．
8．若多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，则a的值为 ．
9．若关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，且单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则mn的值为 ．
10．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）：
①x−7，②13x，③4ab，④5−x3，⑤y，⑥x7+y7，⑦x2+x2+1，⑧8a3x，⑨−1
单项式集合{ …}；
多项式集合{ …}．
（解析版）第10讲 整式（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】
模块二 整式
用字母表示数：
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积为____；
（2）若三角形的一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为____；
（3）若a表示正方体的棱长，则正方体的体积为____；
（4）若m表示一个有理数，则它的相反数为____；
（5）小明每年从零花钱中拿出x元捐给希望工程，五年下来小明共捐款____元．
请学生观察所列式子包含哪些运算，有何共同特征？
【知识点1 单项式】
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．
【知识点2 多项式】
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【知识点3 整式】
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【题型1 单项式的判断】
【例1】在整式5x2y，a−b2，−mn2，a，a2+2中，单项式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式．
【详解】解：∵5x2y是数与字母的乘积，是单项式
∵a−b2=12a−12b，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式
∵−mn2是数与字母的乘积，是单项式
∵a是单独的一个字母，是单项式
∵a2+2是单项式a2和单项式2的和，属于多项式，不是单项式
综上，单项式共有3个，因此选C．
【变式1-1】下列式子中是单项式的是（ ）
A．−15a3+bB．3bC．2x−y5D．−a
【答案】D
【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式．
【详解】解：A、−15a3+b是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
B、3b的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求；
C、2x−y5=25x+−15y，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
D、−a是−1与a的积，符合单项式的定义，符合要求．
【变式1-2】下列代数式①−2x，②x+12，③x4，④0，⑤xπ中，单项式有_____．（填序号）
【答案】①③④⑤
【分析】明确1π是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可.
【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式.
①−2x是数与字母的积，属于单项式；
②x+12可化为12x+12，是多项式，不属于单项式；
③x4是14与x的积，属于单项式；
④0是单独的一个数，属于单项式；
⑤1π是常数，不是字母，因此xπ是1π与x的积，属于单项式.
故答案为：①③④⑤．
【变式1-3】在代数式52x2−3x，π，vt2，2x2y，a，0，n+12，−22中，单项式的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定义为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
【详解】解：∵52x2−3x是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵π是单独的常数，是单项式；
∵vt2是单项式；
∵2x2y是数与字母的积，是单项式；
∵a是单独的字母，是单项式；
∵0是单独的数，是单项式；
∵n+12=12n+12，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵−22=4，是单独的数，是单项式；
∴符合定义的单项式共6个．
【题型2 单项式的系数、次数】
【例2】单项式−x2y3的系数与次数分别为（ ）
A．−1，3B．−13，2C．−13，3D．3，−13
【答案】C
【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可.
【详解】解：∵ 单项式−x2y3可以改写为−13x2y，
∴ 该单项式的数字因数为−13，即系数为−13；
又∵ x的指数为2，y的指数为1，所有字母的指数和为2+1=3，
∴ 该单项式的次数为3；
综上，该单项式的系数与次数分别为−13，3.
【变式2-1】单项式−7x2y5的系数是______ ，次数是______ ．
【答案】 −75 3
【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式−75x2y的数字因数是−75，因此它的系数是−75，
单项式中字母x的指数为2，字母y的指数为1，所有字母的指数和为2+1=3，因此它的次数是3．
【变式2-2】下列关于单项式−3x2y5的说法中，正确的是（ ）
A．系数是3，次数是2B．系数是−35，次数是 2
C．系数是35 ，次数是 3D．系数是−35，次数是 3
【答案】D
【分析】根据定义求出给定单项式的系数和次数，即可选出正确选项．
【详解】解：对于单项式−3x2y5，它的数字因数为−35，即系数为−35，
其中x的指数为2，y的指数为1，总次数为 2+1=3，即次数为3，
∴正确选项是D．
【变式2-3】单项式−72a2b3c的系数和次数分别是（ ）
A．−7，8B．−72，5C．72，6D．−72，6
【答案】D
【分析】本题考查单项式系数与次数的定义，根据定义分别计算出目标单项式的系数和次数，即可得到正确选项
【详解】解：根据定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数
∵ 题中单项式为 −72a2b3c，
∴ 它的数字因数为−72，即系数为−72.
所有字母的指数和为2+3+1=6，即次数为6.
因此该单项式的系数和次数分别是−72和6．
【题型3 写出满足某些特征的单项式】
【例3】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）．
【答案】−2ab3（答案不唯一）
【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可．
【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母a和b，因此可构造单项式如−2ab3，其中系数为−2，次数为1+3=4；其他符合条件的有−a2b2（系数为−1，次数为2+2=4）或−3a3b（系数为−3，次数为3+1=4）等．
故答案为：−2ab3．（答案不唯一）
【变式3-1】写出一个系数是−3，次数是3的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可）
【答案】−3x3（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为−3、次数为3的单项式需满足数字部分为−3，且字母部分的指数总和为3即可．
【详解】解：可构造一个字母的指数为3、系数为−3的单项式，如−3x3，其中x的指数为3，次数为3，系数为−3，也可用多个字母，如−3x2y，其中x的指数为2，y的指数为1，次数和为3，
故答案为：−3x3（答案不唯一）．
【变式3-2】①含有字母a、b；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________．
【答案】a2b（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式．
根据单项式次数的定义，确定字母a、b的指数和为3，再写出含有字母a、b的单项式即可．
【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为3，
可令a的指数为2，b的指数为1，
则满足条件的单项式可以为a2b（答案不唯一）．
故答案为：a2b（答案不唯一）．
【变式3-3】若一个关于m、n的单项式的系数是−4，次数是4，则这个单项式可以是：______________．（只写一个）
【答案】−4m2n2（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的系数、次数的定义，熟记定义是解题关键．根据单项式的定义，系数是数字部分，次数是所有字母的指数之和，即可解答．
【详解】解：由题意得系数是−4，次数是4，即m、n的指数之和为4，
例如，当m的指数为2，n的指数为2时，单项式为−4m2n2，满足条件，
其他组合如−4m3n或−4mn3也可行，
故答案为：−4m2n2（答案不唯一）．
【题型4 单项式规律题】
【例4】观察下列关于a 的单项式，探究其规律：a,3a2,5a3,7a4,9a5,⋯，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．2024a2024B．4047a2024C．4048a2023D．4049a2024
【答案】B
【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入n=2024即可求解．
【详解】解：∵第1个单项式为a=2×1−1a1，
第2个单项式为3a2=2×2−1a2，
第3个单项式为5a3=2×3−1a3，
……
∴第n 个单项式为2n−1an，
当n=2024时，系数为2×2024−1=4047，次数为2024，
因此第2024个单项式是4047a2024．
【变式4-1】观察a，−a2，a3，−a4，a5，−a6，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________．
【答案】−a2026
【分析】从符号，系数，指数三个部分总结出第n个单项式的通用规律，再代入所求序号计算即可．
【详解】解：观察给出的一列单项式：a，−a2，a3，−a4，a5，−a6，…，
可得：第n个单项式（n为正整数）为(−1)n+1an，
当n=2026时，(−1)2026+1a2026=(−1)2027a2026=−a2026．
【变式4-2】按一定规律排列的单项式：4a2，4a4，4a6，4a8，4a10，…，第n个单项式是（ ）
A．4an+1B．4a2n+1C．4na2nD．4a2n
【答案】D
【分析】分别观察单项式的系数和字母a的指数，归纳得到第n个单项式的规律，即可选出正确答案．
【详解】解：第1个单项式为4a2，
第2个单项式为4a4=4a2×2，
第3个单项式为4a6=4a2×3，
第4个单项式为4a8=4a2×4，
第5个单项式为4a10=4a2×5，
发现规律：第n个单项式中，系数恒为4，字母a的指数为2n，
即第n个单项式为4a2n．
【变式4-3】按一定规律排列的单项式：x2，3x4，5x6，7x8，9x10，…，第n个单项式是（ ）
A．2n−1xn+1B．2n+1x2nC．nx2nD．2n−1x2n
【答案】D
【分析】分别拆分出单项式的系数、x的次数，找出对应规律即可得到结果．
【详解】解：∵给出的单项式为x2,3x4,5x6,7x8,9x10,…，
∴分析系数规律：第1个单项式的系数为1=2×1−1，第2个单项式的系数为3=2×2−1，第3个单项式的系数为5=2×3−1，…，可得第n个单项式的系数为2n−1，
再分析x的次数规律：第1个单项式中x的次数为2=2×1，第2个单项式中x的次数为4=2×2，第3个单项式中x的次数为6=2×3，…，可得第n个单项式中x的次数为2n，
∴第n个单项式是2n−1x2n．
【题型5 多项式的判断】
【例5】在代数式13xy、x+3y2、2xy2−y+1、5、1x、x3−x2−4中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可．
【详解】解：在代数式13xy、x+3y2、2xy2−y+1、5、1x、x3−x2−4中，多项式有x+3y2、2xy2−y+1、x3−x2−4，共3个；
故选B．
【变式5-1】下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．2a2B．38m2−5nC．xyzD．−23vt
【答案】B
【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式．
【详解】解：A：2a2是数与字母的积，属于单项式；
B：38m2−5n是两个单项式38m2与−5n的和，属于多项式；
C：xyz是数与字母的积，属于单项式；
D：−23vt是数与字母的积，属于单项式；
故选：B．
【变式5-2】式子 2x+12，ax3，1x+3，x+4，πa+b，x2+2x+1中，多项式有___________个．
【答案】3
【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键．
【详解】解：式子2x+12可化为x+12，分母为常数，故为多项式；
ax3中系数a为字母，非常数，为单项式，故不是多项式；
1x+3分母含变量，故不是多项式；
x+4为多项式；
πa+b分母含变量，故不是多项式；
x2+2x+1为多项式，
因此多项式有2x+12，x+4，x2+2x+1，共3个，
故答案为：3．
【变式5-3】下列式子：①a−b3，②−13b，③x3+2x−4，④−2mn，⑤17，⑥x+y2x，属于多项式的有_______．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了多项式的定义．
根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和．
【详解】①a−b3=13a−13b，是单项式13a和−13b的和，因此是多项式；
②−13b分母中含有字母，是分式，不是多项式；
③x3+2x−4是单项式x3、2x和−4的和，因此是多项式；
④−2mn是单项式；
⑤17是常数，是单项式；
⑥x+y2x分母中含有字母，不是多项式；
故属于多项式的有①③．
故答案为：①③．
【题型6 多项式的项、项数和次数】
【例6】下列关于多项式−3ab3c+13c2−7的说法中，错误的是（ ）
A．有三项B．常数项为−7
C．次数是7D．二次项的系数是13
【答案】C
【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解．
【详解】解：∵ 多项式−3ab3c+13c2−7 由3个单项式组成，
∴ 多项式共有三项，A选项说法正确；
∵ 不含字母的项是−7，
∴ 常数项为−7，B选项说法正确；
∵ 最高次项为−3ab3c ，次数为1+3+1=5，
∴ 多项式的次数为5，不是7，C选项说法错误；
∵ 二次项是13c2，数字因数为13，
∴ 二次项的系数是13，D选项说法正确．
综上，错误的是C．
【变式6-1】整式2x2y+5y−2xy是________次________项式．
【答案】 三 三
【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可．
【详解】解：整式2x2y+5y−2xy包含三个单项式，分别为2x2y，5y，−2xy，其中2x2y的次数为2+1=3，5y的次数为1，−2xy的次数为1+1=2，可得最高次项的次数为3，项数为3，因此该整式是三次三项式．
【变式6-2】多项式2x2y4+x5−1的项数和次数分别是（ ）
A．2，5B．3，6C．2，11D．3，5
【答案】B
【分析】本题考查多项式的项数和次数的定义，根据题意，确定多项式的各项，再分别计算各项的次数，找到最高次数即为多项式的次数，数出项数即可解答．
【详解】∵多项式2x2y4+x5−1的项分别为2x2y4、x5、−1，
∴项数为3，
∵2x2y4的次数为2+4=6，x5的次数为5，常数项−1的次数为0，
∴次数最高的项是2x2y4，次数为6，
∴该多项式的项数是3，次数是6．
故选：B．
【变式6-3】下列多项式是关于x的三次二项式的是（ ）
A．2x2+3B．x3+3xC．−5x2+3x−7D．−7x+83
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是多项式的项、项数或次数，解题关键是熟练掌握多项式的项、项数或次数．
根据三次二项式的定义（最高次项次数为3，且多项式仅有两项），逐一分析各选项即可得出答案．
【详解】解：A选项，2x2+3最高次项次数为2，是二次二项式，不符合题意；
B选项，x3+3x最高次项次数为3，且只有两项，符合三次二项式的定义，符合题意；
C选项，−5x2+3x−7最高次项次数为2，且有三项，是二次三项式，不符合题意；
D选项，−7x+83最高次项次数为1，是一次二项式，不符合题意．
故选：B．
【题型7 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】多项式2x2yk−k−2xy+1是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________．
【答案】2
【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为4，且xy项的系数为0，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵多项式2x2yk−k−2xy+1是关于x，y的四次二项式，
∴最高次项的次数为4，可得：
2+k=4，
解得k=2，即k=2或k=−2，
又∵多项式为二项式，
∴ xy项的系数为0，可得：
−k−2=0，
解得k=2，
验证得k=2符合四次二项式的要求．
【变式7-1】多项式xm+1y2−m−2x+5是关于x，y的五次三项式，则m的值是（ ）
A．−1B．2C．−2或−1D．−2
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵多项式xm+1y2−m−2x+5是关于x,y的五次三项式，
∴m+1+2=5，且m−2≠0，
∴m=2，且m≠2，
∴m=−2，
故选：D．
【变式7-2】已知关于x的多项式−2x3+3+ax2−6x+3不含x2项，那么a的值（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
【答案】D
【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令x2的系数为0即可求出a的值．
【详解】解：∵关于x的多项式−2x3+3+ax2−6x+3不含x2项，
∴3+a=0
解得：a=−3
故选：D．
【变式7-3】多项式m−4xym+1−x+5是关于x、y的六次三项式，则m取值为_____．
【答案】−4
【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为m+2，应等于6，且系数不为零．
【详解】解：多项式是关于 x，y 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项，
第一项 m−4xym+1的次数为m+2，
令m+2=6，得m=4，
所以m=4或m=−4，
当m=4时，第一项系数m−4=0，多项式变为−x+5，只有两项，不符合三项式要求，
故m=−4，
故答案为：−4．
【题型8 升（降）幂排列】
【例8】将多项式3x+35−52x2+x3按x的升幂排列，正确的是（ ）
A．−52x2+3x+35+x3B．−52x2+x3+3x+35
C．x3−52x2+3x+35D．35+3x−52x2+x3
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．
按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案．
【详解】解： 3x+35−52x2+x3=35+3x−52x2+x3，
故选：D．
【变式8-1】把多项式2x−4x2+3x3−5按字母x的降幂排列是：_____．
【答案】3x3−4x2+2x−5
【分析】先确定多项式各项中字母x的指数，再按照x的指数从大到小的顺序重新排列各项即可.
【详解】解：原多项式的各项分别为2x，−4x2，3x3，−5，
各项中x的指数依次为1，2，3，0，
按字母x的降幂排列得：3x3−4x2+2x−5
【变式8-2】将多项式x2y+34x3−x4+12y4按照字母x的降幂排列，结果为_______．
【答案】−x4+34x3+x2y+12y4
【分析】确定各项中字母x的次数，按x的次数从大到小排列即可．
【详解】解：多项式x2y+34x3−x4+12y4各项中字母x的次数分别为2，3，4，0，
∴按字母x的降幂排列为：−x4+34x3+x2y+12y4．
【变式8-3】整式a3b−a2+3ab2−4a5+3b3按a降幂排列的结果是________________________．
【答案】−4a5+a3b−a2+3ab2+3b3
【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项a的指数，再按照a的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项．
【详解】解：确定多项式a3b−a2+3ab2−4a5+3b3中各项a的指数分别为3，2，1，5，0，按照a的降幂排列，即按a的指数从大到小排列各项，
可得−4a5+a3b−a2+3ab2+3b3
【题型9 整式的判断】
【例9】代数式32x，4x−y，x+y，x2+2π，98中，是整式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案．
【详解】解：代数式32x，4x−y，x+y，x2+2π，98中，整式有32x，x+y，x2+2π，98，共4个，
故选：D．
【变式9-1】在式子10，2ab，2m+n，3x−4=1，58t中，整式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式，
∴在给出的式子中，10是单独的数，属于单项式（整式）；
2ab是数与字母的积，属于单项式（整式）；
2m+n是两个单项式的和，属于多项式（整式）；
3x−4=1是等式，不是整式；
58t是数与字母的积，属于单项式（整式），
∴整式的个数有4个，
故选：B．
【变式9-2】在代数式x2+32，−xy，3x+1π，6x，−2，5x−3中，整式有（ ）．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键．
根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式，
∴对各代数式逐一判断：①x2+32可化为x22+32，是多项式，属于整式；②−xy是单项式，属于整式；③3x+1π中π是常数，该式是多项式，属于整式；④6x分母含字母x，是分式，不属于整式；⑤−2是单独的常数，属于单项式，是整式；⑥5x−3分母含字母x，是分式，不属于整式；
综上，整式共有4个．
故选：B．
【变式9-3】式子：x3−y2+1，1x，a−3，−5xy，ab2c，0中，是整式的有（ ）个
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不属于整式．
【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式．
∴x3−y2+1是多项式，属于整式．
1x分母含字母，不是整式．
a−3是多项式，属于整式．
−5xy是单项式，属于整式．
ab2c分母含字母，不是整式．
0是单独的数，属于单项式，即整式．
∴整式共有4个．
故选：C
【题型10 多项式规律题】
【例10】一组多项式的规律如下：2a2−b,4a3+b,8a4−b,16a5+b，按此规律，第n个多项式是（ ）
A．2nan+1+−1nbB．2ann+1+−1n+1b
C．2nan+1+−1n+1bD．2nan+−1nb
【答案】A
【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式．
【详解】解：推导a的系数的规律：
∵n=1时系数为2=21，n=2时系数为4=22，n=3时系数为8=23，n=4时系数为16=24
∴第n个多项式a的系数为2n，
推导a的次数的规律：
∵n=1时a的次数为2=1+1，n=2时a的次数为3=2+1，n=3时a的次数为4=3+1，n=4时a的次数为5=4+1
∴第n个多项式中a的次数为n+1，
推导b的系数：
∵n=1时b的系数为−1，n=2时b的系数为1，n=3时b的系数为−1，n=4时b的系数为1，
∴n为奇数时b的系数为−1，n为偶数时b的系数为1，
即第n个多项式中b的系数为−1n，
综上可知，第n个多项式是2nan+1+−1nb．
【变式10-1】以下是一组按规律排列的多项式：x−2y，x2−4y，x3−6y，x4−8y……，其中第n个多项式是（ ）
A．xn+yB．xn−ynC．xn+ynD．xn−2ny
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的规律问题．
通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是2n且为负号，因此第n个多项式为xn−2ny．
【详解】解：第1个多项式为x−2×y，
第2个多项式为x2−2×2y，
第3个多项式为x3−2×3y，
以此类推，第n个多项式为xn−2ny．
故选：D．
【变式10-2】以下是一组按一定规律排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，则第n个多项式是（ ）
A．an+n−1bB．an+nbC．an+n+1bD．an+1+nb
【答案】B
【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可．
【详解】解：将排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，拆成两组单项式为：
a，a2，a3，a4，a5，⋯⋯，
b，2b，3b，4b，5b，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
第n个单项式为an和nb，
∴第n个多项式是an+nb．
故选：B．
【变式10-3】按一定规律排列的代数式：2x+y3,3x2+y6,4x3+y9,5x4+y12,⋯，则第n个代数式是（ ）
A．n+1xn+y3nB．nxn+1+y2n+1
C．nxn+1+y3nD．n+1xn+yn+3
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式的规律题，根据所给各多项式，观察系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：第一个单项式为2x，3x2，4x3，5x4…，
则第n个单项式是：n+1xn，
第二个单项式为：y3，y6，y9，y12…
则第n个单项式是：y3n，
则多项式第n个代数式是：n+1xn+y3n，
故选：A
模块三 课后作业
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单项式13πx的次数为1，系数是13
B．单项式2m2n和3nm2是同类项
C．多项式2x2y+3xy−4是二次三项式
D．多项式−x2+2x−1的项是−x2，2x和1
【答案】B
【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：A，单项式13πx的系数为13π，次数为1，选项说法错误；
B，2m2n和3nm2所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确；
C，多项式2x2y+3xy−4的最高次项次数为2+1=3，共3项，该多项式是三次三项式，选项说法错误；
D，多项式−x2+2x−1 的项是−x2，2x和−1，选项说法错误．
2．在代数式x2+5,−5x2+6,π,2026x2+1,a2+1a，7×109,3a2b中，整式有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，
对各代数式判断如下：
x2+5是多项式，属于整式；
−5x2+6是多项式，属于整式；
π是单独的常数，属于单项式，是整式；
2026x2+1分母含字母，不是整式；
a2+1a中1a分母含字母，不是整式；
7×109是单独的常数，属于单项式，是整式；
3a2b是单项式，属于整式；
综上，整式共有5个．
故选：C．
3．观察下列各多项式：2a+b，4a2−b3，6a3+b5，8a4−b7，…，根据你发现的规律，第6个多项式为（ ）
A．12a6+b11B．12a6−b11C．12a6−b13D．10a6−b11
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式．观察每个多项式中各项的系数与次数，从而得出规律，进而解决此题．
【详解】解：每个多项式的第一项，底数为a，指数为序号，系数为序号的2倍；
第二项，底数为b，指数为序号的2倍减1，序号为奇数时，系数为1；序号为偶数时，系数为−1；
所以第六个多项式为2×6a6−b2×6−1=12a6−b11．
故选：B．
4．将整式3x7y−4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列后，第二项的系数为 ．
【答案】−4
【分析】本题主要考查了多项式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可．
【详解】解：整式3x7y−4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列为：x3y6−4xm+1y4+2xmy2+3x7y，
∵第二项是−4xm+1y4，
∴第二项的系数是−4，
故答案为：−4．
5．下列式子：−m,0,(−1)2xyz,2πR,−a3,x3,1x中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为−1的单项式是 ；单项式(−1)2xyz的次数是 ．
【答案】 6 (−1)2xyz，x3 −m 3
【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法得出答案．
【详解】解：单项式有：−m,0,(−1)2xyz,2πR,−a3,x3共6个，
系数为1的单项式是：(−1)2xyz,x3，
系数为−1的单项式是：−m，
单项式(−1)2xyz的次数是：3．
故答案为：6；(−1)2xyz,x3；−m；3．
6．已知多项式m−3xm−2y3+x2y−2xy2是关于x,y的四次三项式，m的值是______．
【答案】−3
【分析】本题考查多项式的概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数必须为4，且系数不为零，以确保多项式为四次三项式．据此解答即可．
【详解】解：∵多项式是关于x,y的四次三项式，
∴最高次项的次数为4，且项数为3．
∵第二项x2y的次数为2+1=3，第三项−2xy2的次数为1+2=3，
故第一项m−3xm−2y3的次数必须为4，即m−2+3=4，解得m=3或m=−3．
又∵多项式是三项式，第一项的系数m−3≠0，即m≠3，故m=−3．
故答案为：−3．
7．已知a+10x3+cx2−2x+5是关于x的二次多项式，且实数a，b，c满足c−182=−a+b，则a−b+c= ．
【答案】−2
【分析】本题考查了多项式，非负数的性质，解题的关键是掌握多项式的次数和非负数的性质是解题的关键．
根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质求得b、c，代入求解即可．
【详解】解：∵a+10x3+cx2−2x+5是关于x的二次多项式，
∴a+10=0，c≠0，
∴a=−10，c≠0．
∵c−182=−a+b，
∴c−182+a+b=0，
∴c=18，a+b=0，
∴b=10，
∴a−b+c=−10−10+18=−2．
故答案为：−2．
8．若多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，则a的值为 ．
【分析】根据多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式可知|a﹣1|＝2且a﹣3≠0，解方程和不等式，求出m即可．
【解答】解：∵多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，
∴|a−1|=2①a−3≠0②，
由①得：a﹣1＝±2，
a＝3或﹣1，
由②得：a≠3，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．若关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，且单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则mn的值为 ．
【分析】直接利用多项式的项和次数以及单项式的系数与次数确定方法分别得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵单项式﹣4a4b3的系数为﹣4，次数为7次，
又∵多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的项为：x3、2xm+1y3、2nx2y2，其次数分别为3次、（m+4）次、4次；
∵关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，
∴m+4＝7，解得m＝3，
∵单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，
∴n＝﹣4，
∴mn＝3×（﹣4）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
10．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）：
①x−7，②13x，③4ab，④5−x3，⑤y，⑥x7+y7，⑦x2+x2+1，⑧8a3x，⑨−1
单项式集合{ …}；
多项式集合{ …}．
【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦
【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键．
根据单项式、多项式的定义解答即可．
【详解】解：单项式有：13x，4ab，y，8a3x，−1，
即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}；
多项式有：x−7，5−x3，x7+y7，x2+x2+1；
则多项式集合{①④⑥⑦…}．
故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦．