2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第11讲 整式的加法与减法（学生版+解析）学案

这是一份2025-2026新初一数学上册暑假预习讲义（14讲）第11讲 整式的加法与减法（学生版+解析）学案，共3页。学案主要包含了新教材人教版，知识点1 同类项，题型1 同类项的判断，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】
模块二 整式的加减
下图中的长方形由两个小长方形组成．
（1）利用图中信息，化简8n+5n，并用运算律解释你的化简结果。
（2）你能用类似的方法化简2xy+3xy及−7a2b+2a2b吗？
【知识点1 同类项】
一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．
判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同．
【知识点2 合并同类项】
1. 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项．
2. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．其实质是逆用乘法的分配律．
3. 步骤：（1）发现同类项；（2）确定各同类项系数；（3）合并同类项．
【知识点3 去括号法则】
括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变．
【知识点4 整式的加减运算】
整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则去掉括号，然后合并同类项．
整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）找出同类项，合并同类项；（3）没有同类项的项照写．
【题型1 同类项的判断】
【例1】下列代数式中，是同类项的是（）
A．m和−nB．a和−2C．3x2和−13xD．13b和−b
【变式1-1】下列选项中，与2a2bc是同类项的是（ ）
A．ab2cB．a2bcC．2abcD．2ab2c
【变式1-2】下面不是同类项的是（ ）
A．−3与4B．−2a2b与a2bC．−x2y2与6x2y2D．2m与2n
【变式1-3】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（ ）
（1）3a2b和−5ba2 （2）12x2y和12xy2 （3）6和23 （4）5xn和−3xn4
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 已知同类型，求指数中字母或代数式的值】
【例2】若单项式−3x2y3m+2与12x2ny6是同类项，则m=________，n=________．
【变式2-1】若3x3ym与−7xny4是同类项，则mn=______．
【变式2-2】已知单项式−25x3ym与3xny2的和是单项式，那么m+n的值是（ ）
A．6B．5C．−6D．−5
【变式2-3】如果单项式−xa+1y3与 12ya−1xb是同类项，那么a+b=___．
【题型3 合并同类项】
【例3】下列计算正确的是（ ）
A．7a+a=8aB．3a+2b=5abC．a2b−2ab2=−ab2D．a2+a2=a4
【变式3-1】下列各式中，计算正确的是（ ）
A．3x2−3x2=x2B．x2+x3=x5
C．4x2−2x2=2D．5x4y3−4x4y3=x4y3
【变式3-2】下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．5x2−3x2=2B．x2+x2=x4
C．3a+2b=5abD．ab2−3b2a=−2ab2
【变式3-3】计算5a2−6a2−a2的结果等于__________．
【题型4 去括号】
【例4】下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x−y+z=x−y+zB．x−122y−4z=x−y+2z
C．x+3y−z=x+3y−zD．x−5y−z=x−5y−5z
【变式4-1】下列去括号正确的是（ ）
A．−2a+b=−2a+bB．−2a+b=−2a−b
C．−2a+b=−2a−2bD．−2a+b=−2a+2b
【变式4-2】下列去括号中，正确的是（ ）
A．c−2a−b=c−2a+2bB．a−b−c=a−b−c
C．a+b−c=a+b+cD．c+2a−b=c+2a−b
【变式4-3】下列去括号：①a−b+c=a−b−c；②a+b−c=a+b−c；③2a−b=2a−2b；④−2a−2b=−2a−4b．其中正确的共有______个．
【题型5 添括号】
【例5】下列添括号正确的是（ ）
A．a+b−c=a−b−cB．a−b−c=a−b+c
C．a−b+c=a−b+cD．a+b+c=a−b−c
【变式5-1】不改变多项式a−2b+c−d的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“−”，则结果为（ ）
A．a−(2b+c−d)B．a−(2b−c+d)
C．a−2(b+c−d)D．a−2(b−c+d)
【变式5-2】下列添括号变形中，正确的是（ ）
A．2a−3b−c=2a−3b−cB．3a+4b−1=3a+22b−1
C．a+2b−3c=a+2b−3cD．m−n+a−b=m−n+a−b
【变式5-3】在等式1−a2+2ab−b2=1−中，括号里应填（ ）．
A．a2−2ab+b2B．a2−2ab−b2
C．−a2−2ab+b2D．−a2+2ab−b2
【题型6 整式的加减运算】
【例6】计算：
(1)4x2−212x2+2x−6−3x−6
(2)3a2+2b3−a2b−24a2+3b3−2a2b
【变式6-1】化简：6y3+4(x3−2xy)−2(3y3−xy)．
【变式6-2】计算：−3x+47y−x−35y；
【变式6-3】先去括号，再合并同类项：
(1)5a−a+3b；
(2)a2+2ab+b2−a2−2ab+b2；
(3)32x2−y2−23y2−2x2；
(4)−x2+5x+4+25x−4+2x2．
【题型7 整式加减中的化简求值】
【例7】先化简，再求值：3ab−5b2+2a2−7ab+16a2−25b2，其中a−1+b+22=0．
【变式7-1】先化简，再求值：2a2+b−a2−4b−3b+c，其中a=1，b=12，c=13．
【变式7-2】先化简，再求值：23a−a2+ab2+132a−3+a2−ab2，其中a=12，b=1．
【变式7-3】化简求值：
(1)5a2b−3ab2−22a2b−6ab2，其中a=−12,b=3
(2)2x−3y+5xy−x−4y−3xy，其中x+y=−3,xy=−4
【题型8 整式加减中的无关型问题】
【例8】已知A=2x3+3x2y−2xy2+1,B=−2x3+2xy2−3x2y−y3，
(1)化简：2A−B
(2)在计算“当x=−2024,y=−2,求A+B的值”时，小聪同学把“x=−2024”错抄成“x=2024”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【变式8-1】有这样一道题：求2x2−3xy−1−3x2−xy−19+5x2−313的值，其中x=2，y=−18；有位同学把x=2错抄成x=−2，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【变式8-2】已知A=2x2+3mx−2x−1，B=−x2+mx−1．
(1)求3A+6B；
(2)若3A+6B的值与x无关，求m的值．
【变式8-3】已知整式M=ax2+bx−2,N=−x2+2x+c，其中a、b、c为常数．
(1)若M+N的结果中不含x2项和x项，求a、b的值；
(2)若对于任意x，2M−N的值始终为3x2−2x+1，求a、b、c的值．
【题型9 整式加减的应用】
【例9】如图，公园有一块长为2a−1米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
(1)花圃的宽AB为 米，花圃的长BC为 米；（用含a，b的代数式表示）
(2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示）
(3)若a=6，b=1，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？
【变式9-1】1分钟跳绳练习时，小王前两次的平均成绩是a下，第三次成绩比前两次的平均数高9下．小王这三次跳绳的平均成绩是（ ）下．
A．a−9B．a+9C．a−3D．a+3
【变式9-2】如图，四边形ABCD是一个长方形，AD=a，CD=b，BE=c，BF=2．
(1)请用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S．
(2)当a=6，b=4，c=3时，求S的值．
【变式9-3】某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题：
(1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元；
(2)王老师在该超市一次性购物x元x>400，她实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
(3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元450b，则化简a+c+b−c−a−b的结果为______．
【变式10-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：3a+b−3c−a−3b+2．
【变式10-3】有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，设x=ab+c+bc+a+ca+b，则代数式x2025−2025的值为（ ）．
A．−2024B．0或1C．−2026D．−2024或−2026
模块三 课后作业
1．下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A．−2x3与−2x2B．4m与6mn
C．a2b与−ab2D．−13ab与18ba
2．若x2a−5b与−14x2为同类项，则4a−10b+6的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
3．合并同类项2x2y−3x2y的结果是（ ）
A．−1B．x2yC．−x2yD．1
4．下列计算正确的是（ ）．
A．a+−b+c−3d=a−b+c−3d
B．a−−2b+c−d=a+2b−c−d
C．a−2−2b+4c−3d=a+4b+8c−6d
D．a−2−3b+c−7d=a+6b−c+7d
5．不改变多项式a2+3a−b+c的值，下列添括号错误的是（ ）
A．a2+3a−b+cB．a2+3a−b+c
C．a2−−3a+b−cD．a2+3a+−b+c
6．化简：
(1)x−2x．
(2)2x2y3+−4y3x2−−3x3y2．
(3)4x+7+23x−2．
(4)3x2+x−4−2x2+x−5．
(5)−4x2y−2x2y+y+3x2y−xy．
(6)5x2−3x−22x−3+7x2．
7．先化简，再求值：12x2y−2xy−13xy2−32xy−13xy2，其中x、y满足x−1=2，y2=9，且y>x．
8．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是40 km/h，水流速度是b km/h．
(1)3h后两船相距多远？
(2)3h后甲船比乙船多航行多少千米？
9．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，
形式如下：−3m2+mx=5mx+10x−1．
(1)设所遮住的整式为A，小明认为整式A=−3m2+8mx+10x−1，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A．
(2)在（1）的条件下．设B=m2−mx．若A−3B的值与x的取值无关，求m的值．
10．解答下列各题．
(1)已知aa+bb=0，求abab的值；
(2)已知a，b，c是不为0的有理数，求aa+bb+cc的值．
（解析版）第11讲 整式的加法与减法（暑假预习讲义）
【新教材人教版】
【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】
模块二 整式的加减
下图中的长方形由两个小长方形组成．
（1）利用图中信息，化简8n+5n，并用运算律解释你的化简结果。
（2）你能用类似的方法化简2xy+3xy及−7a2b+2a2b吗？
【知识点1 同类项】
一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．
判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同．
【知识点2 合并同类项】
1. 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项．
2. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．其实质是逆用乘法的分配律．
3. 步骤：（1）发现同类项；（2）确定各同类项系数；（3）合并同类项．
【知识点3 去括号法则】
括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变．
【知识点4 整式的加减运算】
整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则去掉括号，然后合并同类项．
整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）找出同类项，合并同类项；（3）没有同类项的项照写．
【题型1 同类项的判断】
【例1】下列代数式中，是同类项的是（）
A．m和−nB．a和−2C．3x2和−13xD．13b和−b
【答案】D
【分析】本题考查同类项的概念，根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，几个常数项是同类项），逐一判断选项即可．
【详解】解：根据同类项的定义判断：
∵选项A中，m和−n所含字母不相同，
∴不是同类项；
∵选项B中，a含字母a，−2是常数项，所含字母不相同，
∴不是同类项；
∵选项C中，3x2和−13x中，相同字母x的指数分别为2和1，指数不相同，
∴不是同类项；
∵选项D中，13b和−b所含字母都是b，且b的指数都是1，符合同类项定义，
∴是同类项．
故选：D．
【变式1-1】下列选项中，与2a2bc是同类项的是（ ）
A．ab2cB．a2bcC．2abcD．2ab2c
【答案】B
【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、2a2bc与ab2c中字母a,b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
B、符合同类项的定义，故选项符合题意；
C、2a2bc与2abc中字母a的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
D、2a2bc与2ab2c中字母a,b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】下面不是同类项的是（ ）
A．−3与4B．−2a2b与a2bC．−x2y2与6x2y2D．2m与2n
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：∵ 选项A中，−3和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项；
∵ 选项B中，−2a2b与a2b所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项；
∵ 选项C中，−x2y2与6x2y2所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项；
∵ 选项D中，2m所含字母为m，2n所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项．
故选：D．
【变式1-3】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（ ）
（1）3a2b和−5ba2 （2）12x2y和12xy2 （3）6和23 （4）5xn和−3xn4
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据同类项定义逐个判断每组代数式是否为同类项，统计符合要求的数量即可，同类项定义为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项，同类项与系数大小，字母排列顺序无关.
【详解】解：(1) 对于3a2b和−5ba2，
∵所含字母都是a,b，a的指数都是2，b的指数都是1，字母顺序不影响同类项判定，
∴这一组是同类项，符合要求；
(2) 对于12x2y和12xy2
∵x的指数分别为2和1，y的指数分别为1和2，相同字母指数不同，
∴这一组不是同类项，不符合要求；
(3) 对于6和23
∵两个都是常数项，所有常数项都是同类项，
∴这一组是同类项，符合要求；
(4) 对于5xn和−3xn4，
∵所含字母都是x，x的指数都是n，符合同类项定义
∴这一组是同类项，符合要求.
综上，符合要求的情况共有3个．
故选：C．
【题型2 已知同类型，求指数中字母或代数式的值】
【例2】若单项式−3x2y3m+2与12x2ny6是同类项，则m=________，n=________．
【答案】 43/113 1
【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，列出关于m和n的方程，求解方程即可得到结果．
【详解】解：∵单项式−3x2y3m+2与12x2ny6是同类项，
∴ 2n=2，3m+2=6，
解得n=1，m=43．
故答案为：43；1．
【变式2-1】若3x3ym与−7xny4是同类项，则mn=______．
【答案】64
【分析】根据同类项的定义，可得相同字母的指数相等，求出m和n的值，再代入计算mn即可．
【详解】解：∵3x3ym与−7xny4是同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同．
∴n=3，m=4，
将m=4，n=3代入mn得：
mn=43=64．
故答案为：64．
【变式2-2】已知单项式−25x3ym与3xny2的和是单项式，那么m+n的值是（ ）
A．6B．5C．−6D．−5
【答案】B
【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出m和n的值，再计算m+n即可．
【详解】解：∵单项式−25x3ym与3xny2的和是单项式，
∴−25x3ym与3xny2是同类项，
∴n=3，m=2，
∴m+n=2+3=5．
故选：B．
【变式2-3】如果单项式−xa+1y3与 12ya−1xb是同类项，那么a+b=___．
【答案】9
【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出a和b的值，再计算a+b．
【详解】解：单项式−xa+1y3与12ya−1xb是同类项，
可得：a+1=ba−1=3，
解得：a=4b=5，
∴a+b=4+5=9．
故答案为：9．
【题型3 合并同类项】
【例3】下列计算正确的是（ ）
A．7a+a=8aB．3a+2b=5abC．a2b−2ab2=−ab2D．a2+a2=a4
【答案】A
【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算判断即可．
【详解】解：选项A：7a+a=(7+1)a=8a，计算正确，符合题意；
选项B：3a与2b所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
选项C：a2b与2ab2中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
选项D：a2+a2=2a2≠a4，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
【变式3-1】下列各式中，计算正确的是（ ）
A．3x2−3x2=x2B．x2+x3=x5
C．4x2−2x2=2D．5x4y3−4x4y3=x4y3
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可．
【详解】解：对选项A：3x2−3x2=(3−3)x2=0≠x2，A错误；
对选项B：x2与x3相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误；
对选项C：4x2−2x2=(4−2)x2=2x2≠2，C错误；
对选项D：5x4y3−4x4y3=(5−4)x4y3=x4y3，D正确．
故选：D．
【变式3-2】下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．5x2−3x2=2B．x2+x2=x4
C．3a+2b=5abD．ab2−3b2a=−2ab2
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，逐项分析验证即可得到答案．
【详解】解：A、5x2−3x2=2x2，故此选项结果错误，不符合题意；
B、x2+x2=2x2，故此选项结果错误，不符合题意；
C、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项结果错误，不符合题意；
D、ab2−3b2a=−2ab2，故此选项结果正确，符合题意．
故选：D．
【变式3-3】计算5a2−6a2−a2的结果等于__________．
【答案】−2a2
【分析】根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，保留字母和字母的指数不变，计算得出最终结果．
【详解】解：5a2−6a2−a2
=5−6−1a2
=−2a2．
故答案为：−2a2．
【题型4 去括号】
【例4】下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x−y+z=x−y+zB．x−122y−4z=x−y+2z
C．x+3y−z=x+3y−zD．x−5y−z=x−5y−5z
【答案】B
【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解．
【详解】解：∵ 对选项A，x−(y+z)=x−y−z≠x−y+z，∴A错误．
∵ 对选项B，x−122y−4z=x−12×2y−12×4z=x−(y−2z)=x−y+2z，∴B正确．
∵ 对选项C，x+3y−z=x+3y−3z≠x+3y−z，∴C错误．
∵ 对选项D，x−5y−z=x−5y+5z≠x−5y−5z，∴D错误．
故选：B．
【变式4-1】下列去括号正确的是（ ）
A．−2a+b=−2a+bB．−2a+b=−2a−b
C．−2a+b=−2a−2bD．−2a+b=−2a+2b
【答案】C
【分析】根据去括号法则计算原式，再对比选项即可求解，解题关键是掌握去括号时系数要乘遍括号内所有项，并且括号前是负系数时括号内各项都要变号．
【详解】解：A、−2a+b=−2a−2b，选项计算错误，不符合题意；
B、−2a+b=−2a−2b，选项计算错误，不符合题意；
C、−2a+b=−2a−2b，选项计算正确，符合题意；
D、−2a+b=−2a−2b，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【变式4-2】下列去括号中，正确的是（ ）
A．c−2a−b=c−2a+2bB．a−b−c=a−b−c
C．a+b−c=a+b+cD．c+2a−b=c+2a−b
【答案】A
【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、c−2a−b=c−2a−2b=c−2a+2b，计算正确，符合题意；
B、a−b−c=a−b+c≠a−b−c，计算错误，不符合题意；
C、a+b−c=a+b−c≠a+b+c，计算错误，不符合题意；
D、c+2a−b=c+2a−2b≠c+2a−b，计算错误，不符合题意．
故选：A．
【变式4-3】下列去括号：①a−b+c=a−b−c；②a+b−c=a+b−c；③2a−b=2a−2b；④−2a−2b=−2a−4b．其中正确的共有______个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可．
【详解】解：①a−b+c=a−b−c，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确；
②a+b−c=a+b−c，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确；
③2a−b=2a−2b，应用分配律，故③正确；
④−2a−2b=−2a+4b，但原式给出−2a−4b，故④错误．
综上，正确的共有3个．
故答案为：3．
【题型5 添括号】
【例5】下列添括号正确的是（ ）
A．a+b−c=a−b−cB．a−b−c=a−b+c
C．a−b+c=a−b+cD．a+b+c=a−b−c
【答案】B
【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“+”时，括号内各项符号不变；括号前是“−”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键．
【详解】解：A、a−b−c=a−b+c≠a+b−c，故原选项添括号错误，不符合题意；
B、a−b+c=a−b−c，故原选项添括号正确，符合题意；
C、a−b+c=a−b−c≠a−b+c，故原选项添括号错误，不符合题意；
D、a−b−c=a−b+c≠a+b+c，故原选项添括号错误，不符合题意；
故选：B．
【变式5-1】不改变多项式a−2b+c−d的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“−”，则结果为（ ）
A．a−(2b+c−d)B．a−(2b−c+d)
C．a−2(b+c−d)D．a−2(b−c+d)
【答案】B
【分析】本题主要考查了添括号，解题的关键是掌握添括号法则．
根据添括号法则进行计算即可．
【详解】解：a−2b+c−d=a−(2b−c+d)，
故选：B．
【变式5-2】下列添括号变形中，正确的是（ ）
A．2a−3b−c=2a−3b−cB．3a+4b−1=3a+22b−1
C．a+2b−3c=a+2b−3cD．m−n+a−b=m−n+a−b
【答案】C
【分析】本题考查了添括号，根据添括号规则：括号前是“+”号，括号内各项符号不变；括号前是“−”号，括号内各项符号改变，逐一验证各选项即可，掌握添括号规则是解题的关键．
【详解】解：A、等式右边2a−3b−c=2a−3b+c，与左边2a−3b−c不相等，故该选项错误，不符合题意；
B、等式右边3a+22b−1=3a+4b−2，与左边为3a+4b−1不相等，故该选项错误，不符合题意；
C、等式右边a+2b−3c=a+2b−3c，与左边相等，故该选项正确，符合题意；
D、等式右边m−n+a−b=m−n−a+b，与左边为m−n+a−b不相等，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式5-3】在等式1−a2+2ab−b2=1−中，括号里应填（ ）．
A．a2−2ab+b2B．a2−2ab−b2
C．−a2−2ab+b2D．−a2+2ab−b2
【答案】A
【分析】本题考查添括号，熟练掌握添括号中符号的变化规律是解题关键．
根据整式减法的性质，括号前是负号，因此括号内所有项的符号都要改变．
【详解】解：∵ 括号前是负号，
∴括号内所有项的符号都要改变，
∴应填a2−2ab+b2．
故选：A．
【题型6 整式的加减运算】
【例6】计算：
(1)4x2−212x2+2x−6−3x−6
(2)3a2+2b3−a2b−24a2+3b3−2a2b
【分析】（1）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得．
【详解】（1）解：原式=4x2−212x2+2x−12−3x−6
=4x2−x2−4x+24+6x−6
=3x2+2x+18；
（2）解：原式=3a2+6b3−3a2b−8a2−6b3+4a2b
=−5a2+a2b．
【变式6-1】化简：6y3+4(x3−2xy)−2(3y3−xy)．
【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
原式=6y3+4x3−8xy−6y3+2xy
=4x3−6xy．
【变式6-2】计算：−3x+47y−x−35y；
【分析】先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】解：−3x+47y−x−35y
=−3x+47y−x+35y
=−3x−x+47y+35y
=−3x−x+2035y+2135y
=−4x+4135y．
【变式6-3】先去括号，再合并同类项：
(1)5a−a+3b；
(2)a2+2ab+b2−a2−2ab+b2；
(3)32x2−y2−23y2−2x2；
(4)−x2+5x+4+25x−4+2x2．
【详解】（1）解：5a−a+3b=5a−a−3b=4a−3b；
（2）解：a2+2ab+b2−a2−2ab+b2
=a2+2ab+b2−a2+2ab−b2，
=4ab；
（3）解：32x2−y2−23y2−2x2，
=6x2−3y2−6y2+4x2，
=10x2−9y2；
（4）解：−x2+5x+4+25x−4+2x2
=−x2+5x+4+10x−8+4x2，
=3x2+15x−4．
【题型7 整式加减中的化简求值】
【例7】先化简，再求值：3ab−5b2+2a2−7ab+16a2−25b2，其中a−1+b+22=0．
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：3ab−5b2+2a2−7ab+16a2−25b2
=3ab−15b2+6a2−7ab−16a2+25b2
=−4ab−10a2+10b2，
∵a−1+b+22=0，
∴a−1=0，b+2=0，
解得：a=1，b=−2，
∴原式=−4×1×−2−10×12+10×−22=8−10+40=38．
【变式7-1】先化简，再求值：2a2+b−a2−4b−3b+c，其中a=1，b=12，c=13．
【分析】先利用整式的加减运算法则化简，然后将a=1，b=12，c=13代入运用含乘方的有理数混合运算法则求值即可．
【详解】解：2a2+b−a2−4b−3b+c
=2a2+b−a2+4b−3b−3c
=a2+2b−3c，
当a=1，b=12，c=13时，原式=a2+2b−3c=12+2×12−3×13=1．
【变式7-2】先化简，再求值：23a−a2+ab2+132a−3+a2−ab2，其中a=12，b=1．
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入a、b的值计算即可求解．
【详解】解：23a−[a2+ab2+13(2a−3)]+(a2−ab2)
=23a−a2−ab2−23a+1+a2−ab2
=−2ab2+1．
当a=12，b=1时 原式=−2×12×12+1=−1+1=0．
【变式7-3】化简求值：
(1)5a2b−3ab2−22a2b−6ab2，其中a=−12,b=3
(2)2x−3y+5xy−x−4y−3xy，其中x+y=−3,xy=−4
【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可；
（2）先去括号，再合并同类项后，把x+y和xy的值代入求值即可．
【详解】（1）解：5a2b−3ab2−22a2b−6ab2
=5a2b−15ab2−4a2b+12ab2
=a2b−3ab2，
当a=−12,b=3时，
原式=−122×3−3×−12×32
=14×3−3×−12×9
=34+272
=574；
（2）解：2x−3y+5xy−x−4y−3xy
=2x−3y+5xy−x+4y+3xy
=x+y+8xy，
当x+y=−3,xy=−4时，
原式=−3+8×−4
=−3−32
=−35．
【题型8 整式加减中的无关型问题】
【例8】已知A=2x3+3x2y−2xy2+1,B=−2x3+2xy2−3x2y−y3，
(1)化简：2A−B
(2)在计算“当x=−2024,y=−2,求A+B的值”时，小聪同学把“x=−2024”错抄成“x=2024”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解；
（2）先对整式A+B进行化简运算，然后再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵A=2x3+3x2y−2xy2+1,B=−2x3+2xy2−3x2y−y3，
∴2A−B
=22x3+3x2y−2xy2+1−−2x3+2xy2−3x2y−y3
=4x3+6x2y−4xy2+2+2x3−2xy2+3x2y+y3
=6x3+9x2y−6xy2+y3+2；
（2）解：∵A=2x3+3x2y−2xy2+1,B=−2x3+2xy2−3x2y−y3，
∴A+B=2x3+3x2y−2xy2+1−2x3+2xy2−3x2y−y3
=1−y3；
∵A+B的计算结果中不含有x的项，
∴A+B的计算结果就与x的取值无关，
∴小聪同学把“x=−2024”错抄成“x=2024”，但他计算的结果也是正确的，
正确的结果为：把y=−2代入得：原式=1−−23=9．
【变式8-1】有这样一道题：求2x2−3xy−1−3x2−xy−19+5x2−313的值，其中x=2，y=−18；有位同学把x=2错抄成x=−2，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而x=2时和x=−2时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确．
【详解】解：2x2−3xy−1−3x2−xy−19+5x2−313
=2x2−3xy−1−3x2+3xy+13+5x2−313
=4x2−4，
当x=2，y=−18时，原式=4×22−4=4×4−4=16−4=12，
当x=−2，y=−18时，原式=4×−22−4=4×4−4=16−4=12，
∵原式化简的结果为4x2−4，
∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而x=2时和x=−2时的x的绝对值相同，
∴这位同学的计算结果也正确．
【变式8-2】已知A=2x2+3mx−2x−1，B=−x2+mx−1．
(1)求3A+6B；
(2)若3A+6B的值与x无关，求m的值．
【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）根据3A+6B的值与x无关可得15m−6=0，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵A=2x2+3mx−2x−1，B=−x2+mx−1，
∴3A+6B=32x2+3mx−2x−1+6−x2+mx−1
=6x2+9mx−6x−3−6x2+6mx−6
=15mx−6x−9；
（2）解：∵3A+6B的值与x无关，且3A+6B=15mx−6x−9=15m−6x−9，
∴15m−6=0，
∴m=25．
【变式8-3】已知整式M=ax2+bx−2,N=−x2+2x+c，其中a、b、c为常数．
(1)若M+N的结果中不含x2项和x项，求a、b的值；
(2)若对于任意x，2M−N的值始终为3x2−2x+1，求a、b、c的值．
【分析】（1）把M与N代入M+N中，去括号合并后，根据结果不含x2项和x项，可求出a、b的值；
（2）把M与N代入2M−N中，去括号合并后，根据2M−N的值始终为3x2−2x+1，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：M+N=ax2+bx−2+−x2+2x+c=a−1x2+b+2x−2+c，
∵M+N的结果中不含x2项和x项，
∴a−1=0，b+2=0，
解得a=1，b=−2；
（2）解：2M−N
=2ax2+bx−2−−x2+2x+c
=2a+1x2+2b−2x−4−c，
∵对于任意x，2M−N的值始终为3x2−2x+1，
∴2a+1=3，2b−2=−2，−4−c=1，
解得a=1，b=0，c=−5．
【题型9 整式加减的应用】
【例9】如图，公园有一块长为2a−1米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
(1)花圃的宽AB为 米，花圃的长BC为 米；（用含a，b的代数式表示）
(2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示）
(3)若a=6，b=1，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？
【分析】（1）利用图中尺寸计算即可；
（2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度；
（3）直接将a和b代入第（2）问所得的式子中，将所得结果乘以篱笆的单价，得出篱笆的总价．
【详解】（1）解：AB=a−b米，BC=2a−1−2b=2a−2b−1米，
（2）解：由图可得：花圃的长为(2a−1−2b)米，宽为(a−b)米；
∴篱笆的总长度为：(2a−1−2b)+2(a−b)
=2a−1−2b+2a−2b
=4a−4b−1米，
答：篱笆的总长度(4a−4b−1)米；
（3）解：当a=6，b=1时，篱笆的总长度为4a−4b−1=4×6−4×1−1=19（米），
篱笆的总价为19×50=950（元），
答：篱笆的总价为950元．
【变式9-1】1分钟跳绳练习时，小王前两次的平均成绩是a下，第三次成绩比前两次的平均数高9下．小王这三次跳绳的平均成绩是（ ）下．
A．a−9B．a+9C．a−3D．a+3
【答案】D
【分析】先根据平均数求出前两次总成绩，再得到第三次的成绩，最后计算三次的平均成绩即可得到结果．
【详解】解：∵小王前两次的平均成绩是a下，
∴前两次跳绳的总成绩为2a下，
∵第三次成绩比前两次的平均数高9下，
∴第三次跳绳的成绩为a+9下，
∴三次跳绳的总成绩为2a+a+9=3a+9下，
∴三次的平均成绩为3a+93=a+3下．
故选：D．
【变式9-2】如图，四边形ABCD是一个长方形，AD=a，CD=b，BE=c，BF=2．
(1)请用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S．
(2)当a=6，b=4，c=3时，求S的值．
【分析】（1）根据S阴影=S四边形ABCD−S△BEF−S△ADC求解即可；
（2）把a=6，b=4，c=3代入（1）中式子求解即可．
【详解】（1）解：因为AD=a，CD=b，BE=c，BF=2．
所以，S阴影=S四边形ABCD−S△BEF−S△ADC
=AD⋅CD−12AD⋅CD−12BE⋅BF
=ab−12ab−12×2×c
=12ab−c；
（2）解：当a=6，b=4，c=3时，
S=12ab−c
=12×6×4−3
=12−3
=9．
【变式9-3】某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题：
(1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元；
(2)王老师在该超市一次性购物x元x>400，她实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
(3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元450