重难点11 几何压轴题一 全等模型(16种模型题型汇总+专题训练+13种模型解析)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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（16种模型题型汇总+专题训练+13种模型解析）
【题型汇总】
类型一 构造辅助线
题型01 倍长中线法
【总结】
1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角；
2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断；
3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题.
1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， 若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线， 点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点 F， 若EC=EF， 则DF= ．
2．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明△ADE≌△CFE的依据是（_____）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是_______；
【类比迁移】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点G，使GD=FD，连接GC，请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，连接CP．请判断线段CP与DE的数量关系及位置关系．（不要求证明）
3．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．
(1)利用上述方法求出AD的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在△ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD，AD与CE相交于点O，若四边形ODBE的面积为20，求△ABC的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=4，DF=22，∠GEF=90°，求GF的长．
4．（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）
(2)如图①，在三角形中，AD是△ABC的一条中线，AB=5,AC=3,AD=2，求BC的长．
(3)如图②，在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在△ABC内部（包括边界）作等边三角形△PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当△PMN的周长取最大值时，求线段EF的长．
题型02 截长补短法
【总结】
1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.
2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.
1．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.
1求证：BD⊥EC；
2若AB=1，求AE的长；
3如图2，连接AG，求证：EG−DG=2AG．
2．（2020九年级·全国·专题练习）在菱形ABCD中，射线BM从对角线BD所在的位置开始绕着点B逆时针旋转，旋转角为α0°